Уравнение 5 степени от 8 переменных

[vicvolf]

Дано однородное уравнение:

$x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5=y_1^5+y_2^5+y_3^5+y_4^5$.

Поставим две задачи:

1. Выполнить (по возможности точно) оценку снизу количества натуральных решений данного уравнения при $x_i,y_i \leq N$. Решение получить в виде полинома от N.

2. Сделать асимптотическую оценку сверху количества натуральных решений данного уравнения при $x_i,y_i \leq N$.

[mathpath]

Для представления числа в виде суммы 4-х квадратов например есть кажется теорема якоби:
Количество способов представить n как сумму четырех квадратов в восемь раз превышает сумму делителей n, если n нечетно, и в 24 раза больше суммы нечетных делителей n, если n четно.

Интересно, а для 5-й степени есть что-то подобное ?

[vicvolf]

mathpath в сообщении #1410860 писал(а):

Для представления числа в виде суммы 4-х квадратов например есть кажется теорема якоби:
Количество способов представить n как сумму четырех квадратов в восемь раз превышает сумму делителей n, если n нечетно, и в 24 раза больше суммы нечетных делителей n, если n четно.

Вы наверно имеете в виду теорему Лагранжа о 4 квадратах https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BE%D0%B2. Это частный случай проблемы Варинга. Сейчас уже известно, что любое натуральное число можно представить, как сумму 9 кубов, т.е. $g(3)=9$, а $g(4)=19$. Естественно $g(5)>19$. Так, что любое натуральное число нельзя представить, как сумму 4 натуральных чисел в 5 степени. Но это и не требуется в данном случае. Для решения первой задачи достаточно знаний элементарной комбинаторики.

[gris]

А решения, которые получаются специфической перестановкой элементов частного решения, считаются? Ну, то есть для $N=2$:
$(1,1,1,2;\;1,1,1,2),\;(1,1,1,2;1,1,2,1),\;(1,1,1,2;1,2,1,1)...\;(2,1,1,1;2,1,1,1)$.
Это чистая комбинаторика, хотя и кошмарная, наверное. И даёт оценку снизу.
Или нужно думать и о существовании иных решений, которых пример могу только вообразить?
Ну вроде $\approx (3,3,4,9;\;5,6,7,8)$ Их должно быть много для больших $N$

[vicvolf]

gris в сообщении #1410889 писал(а):

А решения, которые получаются специфической перестановкой элементов частного решения, считаются? Ну, то есть для $N=2$:
$(1,1,1,2;\;1,1,1,2),\;(1,1,1,2;1,1,2,1),\;(1,1,1,2;1,2,1,1)...\;(2,1,1,1;2,1,1,1)$.
Это чистая комбинаторика, хотя и кошмарная, наверное. И даёт оценку снизу.

Именно так.

gris в сообщении #1410889 писал(а):

.
Или нужно думать и о существовании иных решений, которых пример могу только вообразить?
Ну вроде $\approx (3,3,4,9;\;5,6,7,8)$ Их должно быть много для больших $N$

Об этих решениях мы поговорим во второй задаче при оценке сверху.

[gris]

На пальцах до $N=30$ "неперестановочных" решений не отыскал Хоть бы одним глазком увидеть такое.
(Нолик же не относится в задаче к натуральным, а то встретилось тут $(1,8,14,27;\;0,3,22,25)$ ).

[vicvolf]

gris в сообщении #1410895 писал(а):

На пальцах до $N=30$ "неперестановочных" решений не отыскал Хоть бы одним глазком увидеть такое.

Их конечно значительно меньше, чем перестановочных. Попробуйте сначала определиться в 1 задаче со степенью полинома от $N$ числа перестановочных решений? Это очень просто даже без комбинаторики.

gris в сообщении #1410895 писал(а):

(Нолик же не относится в задаче к натуральным, а то встретилось тут $(1,8,14,27;\;0,3,22,25)$ ).

Хороший пример, но, к сожалению не относится к задаче о натуральных. Но я и не спрашиваю о конкретных примерах в задаче 2. Мне нужна только асимптотическая оценка сверху количества натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$.

[gris]

Очень слабая оценка снизу — $N^4$
(Я надеюсь, что подтянутся компетентные люди и катастрофически улучшат).

[vicvolf]

gris в сообщении #1410899 писал(а):

Очень слабая оценка снизу — $N^4$

Верно полином 4 степени. Ну а теперь добавим указанные Вами перестановки и немного уточним полином.

[gris]

Не, я догадываюсь, куда можно порассуждать.
Количество "перестановочных" решений из неповторяющихся первых четырёх чисел равно $ 24 A_N^4$. Плюс $N$ решений из одинаковых чисел. Плюс добавить решения их трёх и двух разных чисел. Спасибо SiberianSemion за поправку. В субботу никак нельзя заниматься комбинаторикой

[Yadryara]

gris в сообщении #1410895 писал(а):

На пальцах до $N=30$ "неперестановочных" решений не отыскал Хоть бы одним глазком увидеть такое.

Есть кое-что.

$(4,7,7,7;\;\;5,6,6,8)$

$(3,48,52,61;\;\;13,36,51,64;\;\;18,36,44,66)$

[gris]

Yadryara, попробовали бы Вы это на счётах
А я да, промахнулся для восьмёрки. Вот ещё маленькое решение: $(14,11,11,8;\;13,12,12,7)$

[Yadryara]

gris, я занимался наглым и беспринципным гугляжом по OEIS и нашёл-таки здесь: http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation5thPowers.html

[vicvolf]

gris в сообщении #1410902 писал(а):

Не, я догадываюсь, куда можно порассуждать.
Количество "перестановочных" решений из неповторяющихся первых четырёх чисел равно $ 24A_N^4$. Плюс $N$ решений из одинаковых чисел. Плюс добавить решения их трёх и двух разных чисел. Спасибо SiberianSemion за поправку. В субботу никак нельзя заниматься комбинаторикой

Ну ладно не буду мучить Вас в субботу. По 1 задаче у меня получился полином - $8N^4+8N^3+N^2$.

Кстати никто почему-то не обратил внимание, что натуральные решения данного уравнения,получаемые из равенств и перестановки переменных, не зависят от степени уравнения?

Поэтому оценка снизу количества натуральных решений данного уравнения $R_8^{+}(N) \geq 8N^4+8N^3+N^2$ справедлива для уравнения $x_1^k+x_2^k+x_3^k+x_4^k=y_1^k+y_2^k+y_3^k+y_4^k$, где $k$ -любое натуральноое число.

Yadryara в сообщении #1410910 писал(а):

gris, я занимался наглым и беспринципным гугляжом по OEIS и нашёл-таки здесь: http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation5thPowers.html

Это относится уже ко 2-ой задаче, так как включает не только перестановочные решения. Какие мысли по поводу асимптотической оценки сверху? Будет ли она иметь такой же порядок, что и оценка снизу $O(N^4)$ или другой с учетом несимметричных решений?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410914 писал(а):

По 1 задаче у меня получился полином - $8N^4+8N^3+N^2$.

Очень смелый результат. При $N=1$ он гарантирует по крайней мере 17 решений. Интересно было бы взглянуть хотя бы на 2 из них.

-- Сб авг 17, 2019 20:39:53 --

gris в сообщении #1410889 писал(а):

Это чистая комбинаторика, хотя и кошмарная, наверное.

С чего вдруг кошмарная-то? Вот было бы по 100500 переменных слева и справа --- вот тогда да.