Уравнение 5 степени от 8 переменных

vicvolf · 17.08.2019, 17:01

nnosipov в сообщении #1410926 писал(а):

vicvolf в сообщении #1410914 писал(а):

По 1 задаче у меня получился полином - $8N^4+8N^3+N^2$ .

Очень смелый результат.

Верно, ошибся в знаке второго слагаемого - $8N^4-8N^3+N^2$ .

nnosipov · 17.08.2019, 17:13

vicvolf в сообщении #1410927 писал(а):

Верно, ошибся в знаке второго слагаемого - $8N^4-8N^3+N^2$ .

А теперь --- скромный. Уже ведь заметили, что будет по крайней мере $24A_N^4$ решений.

gris · 17.08.2019, 17:23

Я всё равно немножко не понял. Для малых $N$ , конечно, можно вручную посчитать. Но возмём $N$ чуть побольше. Можно сформировать разные четвёрки из разных чисел. Их будет $N(N-1)(N-2)(N-3) \sim N^4$ . Это для иксов. Игреки получаем всеми тоже разными перестановками иксов. Их $4!=24$ штуки. То есть в асимптотике у нас должно получаться $24N^4$ :?:

А вот написали, но то ли же самое? :oops:

Раз nnosipov обещает не кошмарное, то попробую до кубов. $24A_N^4\approx 24N^4-144N^3$ . Добавим решения вида $(aabc)$ c перестановками для иксов. Их
$\approx 12N^3$ штук. На каждый иксовую строку двенадцать игрековых. То есть кубы сокращаются.
Не уверен в правильности.

nnosipov · 17.08.2019, 18:13

gris в сообщении #1410931 писал(а):

То есть в асимптотике у нас должно получаться $24N^4$

Ну, ясен же пень :-)

Если что, секретный многочлен могу выслать почтой (в смысле, ЛС). Незаконный способ его получить Вы уже обнаружили:

gris в сообщении #1410931 писал(а):

Для малых $N$ , конечно, можно вручную посчитать.

Но можно и в полном соответствии с конституцией законами элементарной комбинаторики.

-- Сб авг 17, 2019 22:15:31 --

gris в сообщении #1410931 писал(а):

Не уверен в правильности.

Да, с кубами у Вас недобор.

gris · 17.08.2019, 18:19

Вот опять терзают сомнения, а делать аккуратно с самого начала уж больно кропотливо. Добавляем решения $(aabb), (aaab),(aaaa)$ . И получаем многочлен для $N>3$ . А разве он будет работать при меньших $N$ ?
С кубами недобор. Кубы могут появиться только в вариантах $(abcd)$ и $(aabc)$ . В первом их $-24\cdot 6$ штук, а во втором $12\cdot 12$ :?:

vicvolf · 17.08.2019, 18:22

Давайте начнем с более простого уравнения, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

Однородное уравнение:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k=0$ (1)
имеет решения: $x_1=y_1$ , $x_2=y_2$ и поэтому в области $B^4$ , где $B=1,…N$ , имеет $N^2$ - таких натуральных решений.
Уравнение (1) еще имеет дополнительно натуральные решения, в случае если $x_1 \not = y_1$ , $x_2 \not = y_2$ .
Например, если $x_1=a,y_1=b$ , то натуральными решениями будут симметричные значения $x_2=b,y_2=a$ , где $a,b$ - натуральные.
Если $a>b$ , то таких натуральных решений в области $B^4$ , где $B=1,…N$ , будет число сочетаний $C_N^2$ и столько же натуральных решений будет, если $b>a$ .
Таким образом, в области $B^4$ , где $B=1,…N$ , уравнения (1) будет иметь $2C_N^2=N(N-1)$ дополнительных натуральных решений.
Поэтому общее число натуральных решений уравнения (1) в области $B^4$ , где $B=1,…N$ , будет:
$R^{+}_4 (N)=N^2+N(N-1)=2N^2-N=O(N^2)$ (2)

nnosipov · 17.08.2019, 18:26

gris в сообщении #1410940 писал(а):

Добавляем решения $(aabb), (aaab),(aaaa)$ .

Не забудьте $(aabc)$ .

gris · 17.08.2019, 18:37

nnosipov
А я $(aabc)$ уже добавлял!
"Добавим решения вида $(aabc)$ c перестановками для иксов. Их $\approx 12N^3$ штук. На каждый иксовую строку двенадцать игрековых. То есть кубы сокращаются." Я имел в виду, что всего получается $12\cdot 12=144$ куба и кубы сокращаются.