2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение13.08.2019, 18:56 


17/07/19

55
Здравствуйте. В этой теме я бы хотел обсудить некоторые стороны понятия непрерывности функции в точке и на множестве. Всюду ниже речь про одномерный анализ.
При первом знакомстве с понятием непрерывности иногда демонстрируют следующую аналогию: функция непрерывна, если "ее график можно нарисовать не отрывая карандаш от бумаги". Понятно, что область применимости этой аналогии заканчивается где-то в конце седьмого класса. Я бы посмотрел на человека, который попытался бы нарисовать карандашом функцию Вейерштрасса :-) А если вспомнить, что функция Римана непрерывна в иррациональных и разрывна в рациональных, то тут карандаш точно не поможет. Но несмотря на все эти примеры, понятие непрерывности (для меня) всегда очень хорошо согласовывалось с интуицией. До тех пор, пока я не прочитал определение Зорича...
Зорич писал(а):
Определение 1. Функция $f:E \to \mathbb{R}$ называется непрерывной в точке $a\in E$, если для любой окрестности $V(f(a))$ значения $f(a)$ функции, принимаемого ею в точке $a$, найдется такая окрестность $U_E(a)$ точки $a$ в множестве $E$, образ которой $f(U_E(a))$ содержится в $V(f(a)).$
Следуя этому определению, любая функция вида $f:\mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}$ непрерывна в любой изолированной точке своей области определения. Следовательно, любая последовательность оказывается непрерывна на всей своей области определения. Представьте график последовательности $x_n = n$. Если "нарисовать не отрывая карандаш" звучит неточно, то набор отдельных точек совсем не вписывается ни в какую интуицию, связанную с непрерывностью. Я бы не стал поднимать подобного рода тему, если бы понятие непрерывности было бы каким-то совершенно абстрактным. Но это (на мой взгляд) совсем не так.

Что потеряет анализ, если ограничиться рассмотрением непрерывности только в точках области определения, предельных для нее? Определение непрерывности тогда сведется к равенству предела и значения функции в точке. Доказательства многих стандартных теорем станут проще, т.к. не надо будет помнить про вырожденный случай. Да и с интуицией понятие непрерывности будет согласовываться достаточно хорошо. Зорич сам упоминает, что "Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда $a\in E$ и $a$-предельная точка множества $E$". В таком случае может быть стоило сразу формулировать не такое определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение13.08.2019, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6138
Nickname1101
Обычно в курсах матанализа понятие непрерывности и рассматривается только в предельных точках области определения.

Определение, данное Зоричем, используется в общей топологии. Это наука, обобщающая понятие непрерывности и открытого множества так, что эти понятия для $\mathbb R$ и вообще для всех "интуитивно хороших" пространств и функций оказываются лишь очень узким частным случаем. И в ней ещё не такие чудеса случаются.

Зорич знаменит тем, что стремится к максимальной общности понятий, залезая в общую топологию, теорию метрических пространств, функциональный анализ и прочие дебри там, где без этого легко можно обойтись (и все остальные авторы обходятся).

Именно по этой причине его учебник неудобен для первого знакомства с матаном. Его можно рекомендовать для второго чтения, когда студент уже знает матан, и ему нужно объяснить, как сей матан вписан в более широкую математическую картину.

Впрочем, некоторые преподаватели придерживаются иного мнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение13.08.2019, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
Собственно говоря, мне трудно уловить суть претензии.
Обычно изучение непрерывности начинается с функций, которые определены на некотором интервале, содержащее точку непрерывности, и определение для этого случая не содержит упоминания области определения.
К сожалению, не все функции, встречающиеся в математическом анализе, удовлетворяют этому условию, и такое простейшее определение приходится обобщить. Результатом обобщения в математическом анализе является как раз определение из учебника Зорича. Оно вовсе не происходит из топологии, однако полностью согласовано с топологическим определением.
И да, в изолированной точке области определения функция непрерывна и обладает всеми свойствами непрерывных функций, которые не требуют, чтобы точка не была изолированной. Если это противоречит вашей интуиции, то тем хуже для вашей интуиции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение13.08.2019, 22:39 


17/07/19

55
Someone
Someone в сообщении #1410184 писал(а):
Собственно говоря, мне трудно уловить суть претензии.
Да нет, никаких претензий к Зоричу у меня нету и быть не может. Он профессионал, а я нет. Я лишь пытаюсь понять, почему его определение именно такое, какое оно есть.
Someone в сообщении #1410184 писал(а):
Обычно изучение непрерывности начинается с функций, которые определены на некотором интервале, содержащем точку непрерывности, и определение для этого случая не содержит упоминания области определения.
В моем случае этот факт сыграл со мной очень злую шутку. Когда я первый раз изучал теорию пределов я все никак не мог понять, почему функция обязана быть определенной во всей окрестности предельной точки. Если бы я узнал сразу про понятие предельной точки и про то, что функция не обязана быть определенной в каждой точке проколотой окрестности, это сэкономило бы мне пару месяцев и много нервов. А то я потом заново перечитывал всю теорию пределов с позиции предела произвольной функции (из подмножества $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$) в некоторой предельной для ее области определения точки.
Someone в сообщении #1410184 писал(а):
К сожалению, не все функции, встречающиеся в математическом анализе, удовлетворяют этому условию...
В моем случае это к большому счастью. Наверное во всей теории пределов этот факт оказался для меня самым приятным.
Someone в сообщении #1410184 писал(а):
...и такое простейшее определение приходится обобщить.
На произвольные вещественные функции одного аргумента. В этом и корень моего недопонимания. Все прекрасно обобщается с помощью предела по Коши, тогда зачем вводить предел по базе, не введя понятие топологического пространства и фильтра?
Someone в сообщении #1410184 писал(а):
И да, в изолированной точке области определения функция непрерывна и обладает всеми свойствами непрерывных функций, которые не требуют, чтобы точка не была изолированной. Если это противоречит вашей интуиции, то тем хуже для вашей интуиции.
Я понимаю смысл непрерывности в том, что "стоя в точке $x_0$ мы можем шевельнуться так, чтобы функция сместилась на чуть-чуть". Куда шевелиться стоя в изолированной точке? :-) Обладать то она обладает (т.к. непрерывность равносильна существованию предела по базе непроколотых окрестностей точки $a$, отсюда и перенос привычных свойств), вот только радость то от этого какая? На мой взгляд, дороговатая цена этого обобщения получилась: интуитивность понятия потеряли, зато теперь в изолированных точках функции стали непрерывными. Или Вы не согласны с тем, что "график последовательности выглядит как-то не очень непрерывным" (с т.з. интуиции понятия непрерывности)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение14.08.2019, 21:41 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):
Когда я первый раз изучал теорию пределов я все никак не мог понять, почему функция обязана быть определенной во всей окрестности предельной точки.

По определению. Ну просто определение такое -- для начала.

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):
Если бы я узнал сразу про понятие предельной точки и про то, что функция не обязана быть определенной в каждой точке проколотой окрестности, это сэкономило бы мне пару месяцев и много нервов.

А может и наоборот. Понятие предельной точки множества гораздо менее интуитивно, чем понятие интервала и "карандашной" непрерывности. Поэтому его введение (необходимое, хотя и не безусловно) -- это уже следующий шаг.

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):
Куда шевелиться стоя в изолированной точке? :-)

Вопрос сугубо схоластический. Хотите обобщать -- обобщайте; не хотите -- гордо игнорируйте.

Насчёт Зорича и окрестностей. Он (Зорич) -- экстремист известный.
Безусловно, перевод определения предела на топологический язык необходим.
Поскольку иначе многообразие определений всевозможных пределов (в классическом именно их понимании) разрастается до неимоверных размеров.
Но -- именно перевод. Сначала же должны идти рабоче-крестьянские определения.
Во всяком случае, это так для нестерильных математиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 01:27 
Аватара пользователя


17/04/11
564
Nickname1101 в сообщении #1410156 писал(а):
Что потеряет анализ, если ограничиться рассмотрением непрерывности только в точках области определения, предельных для нее? Определение непрерывности тогда сведется к равенству предела и значения функции в точке.

Определение непрерывности и без этого можно охарактеризовать с помощью предела: функция непрерывна в $x$ тогда и только тогда, когда её значение в $x$ является её пределом в $x$.

Nickname1101 в сообщении #1410156 писал(а):
Доказательства многих стандартных теорем станут проще, т.к. не надо будет помнить про вырожденный случай.

А сейчас надо помнить? Можете привести пример?

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):
Я понимаю смысл непрерывности в том, что "стоя в точке $x_0$ мы можем шевельнуться так, чтобы функция сместилась на чуть-чуть". Куда шевелиться стоя в изолированной точке? :-)

Я думаю, это из-за изъяна в этой неформальной интерпретации, как обычно и бывает с неформальными интерпретациями. $$f(x) := \begin{cases}x+1, &\text{если }x\geq 0\\ x, &\text{если }x<0\end{cases}$$ В точке $0$ мы можем шевельнуться на $0.001$, и функция $f$ сместится на $0.001$, но $f$ с интуитивной точки зрения прерывна в $0$. Надо рассматривать все смещения аргумента, а множество этих смещений есть окрестность. Может, непрерывность легче понять, если рассмотреть её отрицание, то есть прерывность. Мы не можем добиться смещения значения $f$ в $0$ на $0.5$ или меньше, какую бы окрестность аргумента мы не выбрали, так как при отрицательных смещениях аргумента значение $f$ смещается на большее расстояние, чем $1$. То есть не существует такой окрестности $U$ точки $0$, что $f(U)\subseteq [0.5, 1.5]$. То есть существует такая окрестность $V$ точки $f(0)$, что любая окрестность $U$ точки $0$ не такая, что $f(U)\subseteq V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 12:27 


17/07/19

55
beroal в сообщении #1410452 писал(а):
Определение непрерывности и без этого можно охарактеризовать с помощью предела: функция непрерывна в $x$ тогда и только тогда, когда её значение в $x$ является её пределом в $x$.
Предел в том фрагменте, который Вы цитируете - это предел по Коши. Вы под словом предел, видимо, подразумеваете предел по базе непроколотых окрестностей точки $a$. Предел по Коши можно рассматривать только в точках, предельных для области определения функции, поэтому никакого предела (по Коши) в изолированных точках у функции просто нету (по базе есть и я об этом писал в сообщении выше).
beroal в сообщении #1410452 писал(а):
А сейчас надо помнить? Можете привести пример?
Есть две функции $f$ и $g$ определенные на одной и той же области определения и непрерывные в некоторой точке $a$, принадлежащей этой области определения. Если мы определили непрерывность только в предельных точках, то все легко: в точке $a$ предел $f$ совпадает с $f(a)$, предел $g$ совпадает с $g(a)$, предел $f+g$ совпадает с $f(a) + g(a)$ (воспользовались свойством предела по Коши), а значит $f+g$ непрерывна в $a$. Но если непрерывность определена, как у Зорича (в термина окрестностей), то надо проверить еще случай, если $a$ - изолированная точка. И да, я знаю, что можно пользоваться свойствами предела по базе, а не свойствами предела по Коши. Но в этом и суть: был предел по Коши и непрерывность была интуитивно понятной, стал предел по базе и набор отдельных точек стал вдруг "непрерывным графиком". Понятно, что всякое отображение дискретного пространства в топологическое пространство является непрерывным (с т.з. топологического определения непрерывности), но в одномерном анализе то от этого какой толк?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
Nickname1101, непонятно, чего вы всеми своими опусами добиваетесь? Например, сейчас все согласятся, что в одномерном анализе не нужно рассматривать непрерывность функций в изолированных точках их областей определения. И что тогда случится? Вы напишете методологическую статью, выступите с докладом на конференции, спокойно уснете этой ночью (нужное подчеркнуть)?
Все это перетирание из пустого в порожнее напоминает не слишком тонкий троллинг: "сейчас я этих дурачков подзаведу, они кинутся наперебой разъяснять мне азы анализа и топологии, и я буду хихикать в кулачок над их ужимками и прыжками".
Если я ошибаюсь, то разъясните свои цели в то и дело затеваемых вами на пустом месте обсуждениях очень важных вопросов тривиально объясняемых азов анализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 13:39 
Аватара пользователя


17/04/11
564
Nickname1101 в сообщении #1410502 писал(а):
Предел в том фрагменте, который Вы цитируете - это предел по Коши. Вы под словом предел, видимо, подразумеваете предел по базе непроколотых окрестностей точки $a$.

Нет. Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$.

-- Thu Aug 15, 2019 13:47:14 --

Nickname1101 в сообщении #1410502 писал(а):
Предел по Коши можно рассматривать только в точках, предельных для области определения функции, поэтому никакого предела (по Коши) в изолированных точках у функции просто нету (по базе есть и я об этом писал в сообщении выше).

Если под пределом по Коши вы подразумеваете то, что написано в Википедии, то любая точка является пределом функции в изолированной точке. Предел в данном случае удобнее считать отношением, а не функцией. Хотя бы потому, что он имеет значение не везде, в отличие от сложения и вычитания.

Ситуация чем-то напоминает ситуацию с делением. Положим, что $k$ есть частное при делении $b$ на $a$ тогда и только тогда, когда $b=ka$. При делении $0$ на $0$ любое число является частным. При делении ненулевого числа на $0$ частных нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 14:55 


17/07/19

55
Brukvalub в сообщении #1410513 писал(а):
непонятно, чего вы всеми своими опусами добиваетесь?
Я испытываю затруднения с пониманием некоторых определений и теорем в основах матанализа.

(Оффтоп)

Ну непонятно мне, зачем определять верхние и нижние границы пустого множества, зачем рассматривать колебание функции только на подмножестве области определения, а не на произвольном промежутке, пересекающемся с областью определения. Мне непонятно, почему в теореме Больцано-Коши (о промежуточном значении) Зорич требует непрерывность функции в крайних точках отрезка, когда достаточно потребовать непрерывность справа в левой точке и слева в правой точке. Мне непонятно, почему Кудрявцев определяет предел функции в точке не по проколотым окрестностям, а по обычным, тем самым сужая содержательную область понятия предел лишь до точек, в которых функция не определена. А когда я увидел, что Фихтенгольц на второй странице вводит плотность рациональных чисел как аксиому, я совсем перестал понимать что к чему. Посмотрите хотя бы на определение точки устранимого разрыва у Зорича. Согласно его определению точка устранимого разрыва обязана принадлежать области определения функции. Т.е. если мы рассмотрим функцию $f(x) = x$, определенную на $\mathbb{R} \backslash 0$, то согласно определению Зорича точка $x = 0$ не является точкой устранимого разрыва этой функции. Хотя односторонние пределы существуют и совпадают. И так далее... Что такого плохого в том, чтобы разобраться со всеми этими нюансами?

А на вопросы в той теме про границы пустого множества Вы так и не дали конкретные ответы.
Brukvalub в сообщении #1408837 писал(а):
Про точные грани пустых множеств в рамках математического анализа нет смысла говорить, поскольку такие множества не являются объектом изучения в этой науке.
Я ведь ровно об этом и говорю. Но в определении верхних и нижних границ нету требования исключить из рассмотрения $\varnothing$. Все что я спрашивал - почему так?
Brukvalub в сообщении #1408837 писал(а):
Если у множества нет ни одной верхней (нижней) границы, то тривиально доказывается, что у него нет во множестве вещ. чисел и соответствующей точной грани при любом разумном (дескриптивном или конструктивном) определении такой грани.
Я писал ровно тоже самое. Но когда у некоторого подмножества вещественных чисел нету точных граней в $\mathbb{R}$ в качестве частично упорядоченного множества в рамках договоренности берут $\overline{\mathbb{R}}$. И при таком подходе супремум $\varnothing$ равен $-\infty$. И если нарушается "супремум не меньше инфимума", то не проще ли ввести запрет в определении верхних/нижних границ на рассмотрение $\varnothing$? Я ожидал услышать от Вас простые конкретные ответы "Да" или "Нет", но вместо этого я в сотый раз повторяю то, что уже неоднократно писал.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):
Если под пределом по Коши вы подразумеваете то, что написано в Википедии, то любая точка является пределом функции в изолированной точке.
Даже в Википедии (не говоря уже об учебниках) написано абсолютно прямо и недвусмысленно
Википедия писал(а):
Рассмотрим функцию $f(x)$, определенную на некотором множестве $X$, которое имеет предельную точку $x_0$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).
Предел функции по Коши в изолированной точке не определен.
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$.
Это не все определение. $a$ должна быть предельной для области определения функции.
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
Предел в данном случае удобнее считать отношением, а не функцией. Хотя бы потому, что он имеет значение не везде, в отличие от сложения и вычитания.
Простите, но я Вас в этом месте совсем не понял. Если предел - это отношение, то на каком множестве (декартовом произведении множеств) он определен?
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
Ситуация чем-то напоминает ситуацию с делением. Положим, что $k$ есть частное при делении $b$ на $a$ тогда и только тогда, когда $b=ka$.
Видимо, речь идет про $\mathbb{R}$. В таком случае частное при делении $b$ на $a$ это произведение $b$ и числа, обратного для $a$. Если $a = 0$, то число, обратное для $a$ не определено, а значит частное не определено.
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
При делении $0$ на $0$ любое число является частным.
Нет. Частное не определено.
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
При делении ненулевого числа на $0$ частных нет.
Нет. Частное не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):
Я ожидал услышать от Вас простые конкретные ответы "Да" или "Нет", но вместо этого я в сотый раз повторяю то, что уже неоднократно писал.

Разве на данном форуме есть некто "ОРАКУЛ", мнение которого в вопросах мат.анализа признается истиной в последней инстанции? Если такой участник или устройство здесь уже появилось, то нужно спросить про все это у него. В противном случае точными верхними гранями в иерархии авторитетов придется признать авторов тех источников информации, из которых вы черпаете знания, то есть авторов учебников, на которые вы ссылаетесь. Вот у этих авторов и следует спрашивать.
Я достоверно знаю, что, к сожалению, Л.Д. Кудрявцев Г.И. Архипов, Л.И. Камынин, Г.М. Фихтенгольц уже умерли (я был на похоронах первых трех перечисленных математиков).
Также я точно знаю (сам у них спрашивал), что ни Зорич, ни Чубариков (ныне живущие авторы наиболее популярных учебников мат.анализа) на данном форуме не регистрировались. Уверен, что и В.А. Садовничий здесь не замечен, хотя у него я об этом не спрашивал.
Так что вырисовывается явный тупик с верификацией ответов на ваши вопросы. Видимо, вам придется и дальше мучиться поиском ответов на них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 15:47 
Аватара пользователя


17/04/11
564
Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):
beroal в сообщении #1410516

wrote:
Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$. Это не все определение. $a$ должна быть предельной для области определения функции.

У меня это всё определение. :wink:

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):
Если предел - это отношение, то на каком множестве (декартовом произведении множеств) он определен?

Это определяется аналогично тому, как если считаем предел функцией. Для множеств $X$ и $Y$, предел есть отношение на множестве всех частичных функций из $X$ в $Y$, $X$ и $Y$. То есть $3$-местное отношение.

-- Thu Aug 15, 2019 15:52:20 --

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):
Видимо, речь идет про $\mathbb{R}$.

С $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{C}$ тоже будет верно. С любым полукольцом.

-- Thu Aug 15, 2019 15:53:23 --

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):
Даже в Википедии (не говоря уже об учебниках) написано абсолютно прямо и недвусмысленно

Да, я не заметил этого в Википедии. Ну, я уже изложил моё определение здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 16:35 


17/07/19

55
beroal в сообщении #1410527 писал(а):
У меня это всё определение. :wink:
А давайте посмотрим на Ваше определение повнимательнее :-)
beroal в сообщении #1410516 писал(а):
...то любая точка является пределом функции в изолированной точке.
Старой доброй теореме о единственности предела стало очень грустно :roll:

(Оффтоп)

Я тут пару недель назад рассматривал колебание функции на пустом множестве. Если бы я тогда знал, что меня ждет функция, у которой каждое число является ее пределом в некоторой точке... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 18:22 


02/05/19
293
Давайте рассмотрим функцию $f$ , определённую на множестве всех рациональных $x$, таких что $x=0$ или $\left\lvert x \right\rvert \geqslant 1$, такую что $f(x)=0$, если наибольшее целое, не превосходящее по модулю $x$ , чётно, и $f(x)=1$ в противном случае. Имеет ли $f$ предел в точке $0$? В некотором смысле да!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции в точке и на множестве
Сообщение15.08.2019, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
Connector контрольный вопрос: является ли $0$ предельной точкой области определения рассматриваемой вами функции?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group