Непрерывность функции в точке и на множестве

[Nickname1101]

А чему равно $f(-1)$? Какое это наибольшее целое, модуль которого меньше или равен $(-1)$?

[Connector]

Brukvalub
Не является. $0$ является изолированной точкой, и поэтому определение предела по Коши в данном случае неприменимо. Но если убрать из определения требование к $x$ быть предельной точкой, то что-то получится (а именно, предел должен существовать и быть равным $1$), о чем и хотел сказать.
Nickname1101
Да, я видимо неточно выразился: $f(x)$ — наибольшее целое $a$, такое что $\left\lvert a \right\rvert \leqslant \left\lvert x \right\rvert$. Соответственно, $f(-1)=1$.

[beroal]

Connector в сообщении #1410553 писал(а):

наибольшее целое, не превосходящее по модулю $x$

Это значит «наибольшее целое, модуль которого не превосходит $x$»?

[Brukvalub]

Connector в сообщении #1410601 писал(а):

Brukvalub
Не является. $0$ является изолированной точкой, и поэтому определение предела по Коши в данном случае неприменимо. Но если убрать из определения требование к $x$ быть предельной точкой, то что-то получится (а именно, предел должен существовать и быть равным $1$), о чем и хотел сказать.

Тогда можно и проще: просто сказать, что у всех функций во всех точках есть предел и он равен $0$. И ничего больше учить не надо.

[Someone]

Nickname1101 в сообщении #1410502 писал(а):

beroal в сообщении #1410452 писал(а):

А сейчас надо помнить? Можете привести пример?

Есть две функции $f$ и $g$ определенные на одной и той же области определения и непрерывные в некоторой точке $a$, принадлежащей этой области определения. Если мы определили непрерывность только в предельных точках, то все легко: в точке $a$ предел $f$ совпадает с $f(a)$, предел $g$ совпадает с $g(a)$, предел $f+g$ совпадает с $f(a) + g(a)$ (воспользовались свойством предела по Коши), а значит $f+g$ непрерывна в $a$. Но если непрерывность определена, как у Зорича (в термина окрестностей), то надо проверить еще случай, если $a$ - изолированная точка. И да, я знаю, что можно пользоваться свойствами предела по базе, а не свойствами предела по Коши.

Может быть, хватит ерунду писать? В определении предела у Зорича никакие пределы не упоминаются. Все свойства непрерывных функций легко доказываются прямо по определению, не используя никаких пределов. Изолированная точка или предельная --- не играет никакой роли. Поэтому ваш пример не годится.

[Connector]

beroal
Нет, дело в том, что я неправильно написал. Прошу прощения. Я имел в виду «целую часть $\left\lvert x \right\rvert$ », наибольшее целое, абсолютная величина которого не превосходит абсолютной величины $x$ (или, проще, наибольшее целое, не превосходящее $\left\lvert x \right\rvert$).. Кстати, предлагаю больше не рассматривать $f$, а определить $f’$, следующим образом: всякому $x$ функция $f’$ соотносит целую часть $\left\lvert x \right\rvert$.

(Оффтоп)

Д. Хармс писал(а):

Давайте что-нибудь положим и для простоты тотчас же забудем, что мы только что положили.

Brukvalub в сообщении #1410621 писал(а):

Тогда можно и проще: просто сказать, что у всех функций во всех точках есть предел и он равен $0$. И ничего больше учить не надо.

Я хотел как-то видоизменить существующее определение, чтобы оно было применимо к изолированным точкам $E$, но не так радикально... Впрочем, я понял Вас: Вы хотели сказать, что подобные изменения определений не принесут ничего нового. Действительно, я по сути дела взял предельную точку области определения и искусственно сделал её изолированной. Но зато для неё теперь тоже можно определить предел...

[Brukvalub]

Connector в сообщении #1410631 писал(а):

Я хотел как-то видоизменить существующее определение, чтобы оно было применимо к изолированным точкам $E$, но не так радикально... Впрочем, я понял Вас: Вы хотели сказать, что подобные изменения определений не принесут ничего нового. Действительно, я по сути дела взял предельную точку области определения и искусственно сделал её изолированной. Но зато для неё теперь тоже можно определить предел...

Нет, все не так. Просто не нужно воображать себя новым Коши и Гейне в одном лице, тогда все непременно наладится, и все, кто хотел, поженятся.

[Connector]

(Оффтоп)

Brukvalub
Я и не воображаю. Я трезво оцениваю себя и свои возможности.

[Brukvalub]

Connector, как это не прискорбно, именно воображаете себя переворачивателем первооснов, бессмысленным и беспощадным. Иначе бы не лезли в тему, не понимая даже тех мотивов, которые приводят к определению предела.

[Nickname1101]

Someone в сообщении #1410630 писал(а):

В определении непрерывности у Зорича никакие пределы не упоминаются.

Абсолютно согласен. Нигде не утверждал обратное.

Someone в сообщении #1410630 писал(а):

Все свойства непрерывных функций легко доказываются прямо по определению, не используя никаких пределов.

А вот с этим не согласен. Раз уж я привел пример про сумму функций, то его и разберу. Буду пользоваться только определением непрерывности Зорича в терминах окрестностей.
Теорема. Имеем функции $f:\mathbb{R}\supset E \to \mathbb{R}$ и $g:\mathbb{R}\supset E \to \mathbb{R}$, непрерывные в некоторой точке $a \in E$. Тогда функция $f + g: \mathbb{R}\supset E \to \mathbb{R}$ так же непрерывна в точке $a$.
Доказательство. Выберем произвольный $\varepsilon > 0$. Для $\varepsilon$-окрестности точки $f(a)$ существует $\delta_1$-окрестность точки $a$, такая что $\forall x \in [E\cap V_{\delta_1}(a)]$ выполняется $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$. Для $\varepsilon$-окрестности точки $g(a)$ существует $\delta_2$-окрестность точки $a$, такая что $\forall x \in [E\cap V_{\delta_2}(a)]$ выполняется $|g(x) - g(a)| < \varepsilon$. Положим $V_{\delta_3}(a) = V_{\delta_1}(a) \cap V_{\delta_2}(a)$. Тогда $\forall x \in [E\cap V_{\delta_3}(a)]$ будет выполняться $|[f(x) + g(x)] - [f(a) + g(a)]| = |[f(x) - f(a)] + [g(x) - g(a)]|$ $\leqslant |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < 2\varepsilon$. Таким образом, выбрав произвольный $\varepsilon > 0$ мы указали некоторую $V_{\delta_3}(a)$ образ которой при отображении $f+g$ находится в $2\varepsilon$ окрестности точки $f(a) + g(a)$, что и означает непрерывность функции $f+g$ в точке $a$.

Формально, да. Я доказал, что сумма непрерывных функций непрерывна, причем не произнося слово "предел". Но я воспроизвел практически дословно то доказательство, которое уже было, когда доказывались свойства предела по Коши. Это самый нерациональный способ доказать эту элементарную теорему. Если Вы подразумевали под "не используя никаких пределов" такое доказательство, то это как-то странно. По-хорошему надо доказывать ее так. Если $a$ - предельная точка для $E$, то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$, $\lim\limits_{x\to a}g(x) = g(a)$, следовательно, по теореме о пределах, доказанной ранее, имеем $\lim\limits_{x\to a}(f+g)(x) = f(a) + g(a) = (f+g)(a)$. Значит, наша функция $f+g$ непрерывна в точке $a$. Осталось рассмотреть случай, когда $a\in E$ - изолированная точка. Выберем произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $(f+g)(a)$. Существует некоторая $V(a)$ такая, что $V(a) \cap E = a$. Тогда $\forall x\in V(a)$ будет выполняться $(f+g)(x) = f(a)+ g(a) \in U_\varepsilon((f+g)(a))$. Следовательно, $f+g$ непрерывна в $a$. Конечно, небо на землю не упало, когда я рассмотрел непрерывность в изолированной точке. Но доказательство могло бы быть в 2 раза короче, если бы непрерывность рассматривалась только в предельных точках области определения функции. Если у Вас есть доказательство факта непрерывности суммы двух функций, в котором не используются пределы и которое принципиально отлично от того, которое привел я, то поделитесь им. Потому что мне такое доказательство не известно.

Таким образом, если Вы предлагаете доказывать, например, свойства арифметических операций над непрерывными функциями, дублируя (с небольшими корректировками) те доказательства, которые уже были при рассмотрении арифметических операций над пределами функций, то, на мой взгляд, это не рационально. В таком случае гораздо проще рассматривать отдельно предельные точки (и использовать в них свойства предела Коши) и изолированные точки. Поэтому, изолированная точка или предельная - роль таки играет.

[Connector]

Brukvalub в сообщении #1410651 писал(а):

Иначе бы не лезли в тему, не понимая даже тех мотивов, которые приводят к определению предела.

Значит, мне лучше уйти из этой темы и создать свою, что я в самое ближайшее время и сделаю: изложу свои представления о том, какие мотивы приводят к определению предела, и Вы (вместе с другими участниками) меня поправите и дополните.

UpD.
Nickname1101
Отлично, напишу здесь!

(Оффтоп)

Дело даже не в том, что я неправильно написал. Видимо, математикам просто больно смотреть на то как нематематик (я) берется рассуждать о вещах, в которых плохо разбирается.

[Nickname1101]

Connector
С радостью ознакомлюсь с Вашими мыслями на этот счет Из темы выходить не обязательно, можете делиться своими мыслями здесь. Название темы как раз предполагает обсуждения, касающиеся мотивов, приводящих к понятию предела.

Brukvalub
Человек неправильно написал и попросил прощение. Не стоит демонстрировать давление.

[beroal]

То, что предел суммы функций равен сумме пределов функций, следует из непрерывности суммирования. То, что сумма непрерывных функций непрерывна, тоже следует из непрерывности суммирования. Просто в учебнике доказали, неявно используя непрерывность суммирования.

[Nickname1101]

Первый раз слышу про "непрерывность суммирования". Вас не затруднит дать пояснение, что это такое? (или источник, где об этом можно почитать).

[Brukvalub]

Nickname1101 в сообщении #1410658 писал(а):

Brukvalub
Человек неправильно написал и попросил прощение. Не стоит демонстрировать давление.

Не нужно решать за меня, что сделал данный участник. Я понимаю, что меня нужно отогнать от темы, поскольку тролль уже встал на кормление, и тут я вмешался и не даю ему потолстеть, но это научный форум, и излагать под видом "своих представлений" какую-то ересь про понятие предела, не выучив задов мат.анализа - явная лженаука, так что вынужден остаться в теме и комментировать эту ересь как лженауку.