Непрерывность функции в точке и на множестве

[Nickname1101]

Здравствуйте. В этой теме я бы хотел обсудить некоторые стороны понятия непрерывности функции в точке и на множестве. Всюду ниже речь про одномерный анализ.
При первом знакомстве с понятием непрерывности иногда демонстрируют следующую аналогию: функция непрерывна, если "ее график можно нарисовать не отрывая карандаш от бумаги". Понятно, что область применимости этой аналогии заканчивается где-то в конце седьмого класса. Я бы посмотрел на человека, который попытался бы нарисовать карандашом функцию Вейерштрасса А если вспомнить, что функция Римана непрерывна в иррациональных и разрывна в рациональных, то тут карандаш точно не поможет. Но несмотря на все эти примеры, понятие непрерывности (для меня) всегда очень хорошо согласовывалось с интуицией. До тех пор, пока я не прочитал определение Зорича...

Зорич писал(а):

Определение 1. Функция $f:E \to \mathbb{R}$ называется непрерывной в точке $a\in E$, если для любой окрестности $V(f(a))$ значения $f(a)$ функции, принимаемого ею в точке $a$, найдется такая окрестность $U_E(a)$ точки $a$ в множестве $E$, образ которой $f(U_E(a))$ содержится в $V(f(a)).$

Следуя этому определению, любая функция вида $f:\mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}$ непрерывна в любой изолированной точке своей области определения. Следовательно, любая последовательность оказывается непрерывна на всей своей области определения. Представьте график последовательности $x_n = n$. Если "нарисовать не отрывая карандаш" звучит неточно, то набор отдельных точек совсем не вписывается ни в какую интуицию, связанную с непрерывностью. Я бы не стал поднимать подобного рода тему, если бы понятие непрерывности было бы каким-то совершенно абстрактным. Но это (на мой взгляд) совсем не так.

Что потеряет анализ, если ограничиться рассмотрением непрерывности только в точках области определения, предельных для нее? Определение непрерывности тогда сведется к равенству предела и значения функции в точке. Доказательства многих стандартных теорем станут проще, т.к. не надо будет помнить про вырожденный случай. Да и с интуицией понятие непрерывности будет согласовываться достаточно хорошо. Зорич сам упоминает, что "Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда $a\in E$ и $a$-предельная точка множества $E$". В таком случае может быть стоило сразу формулировать не такое определение?

[Anton_Peplov]

Nickname1101
Обычно в курсах матанализа понятие непрерывности и рассматривается только в предельных точках области определения.

Определение, данное Зоричем, используется в общей топологии. Это наука, обобщающая понятие непрерывности и открытого множества так, что эти понятия для $\mathbb R$ и вообще для всех "интуитивно хороших" пространств и функций оказываются лишь очень узким частным случаем. И в ней ещё не такие чудеса случаются.

Зорич знаменит тем, что стремится к максимальной общности понятий, залезая в общую топологию, теорию метрических пространств, функциональный анализ и прочие дебри там, где без этого легко можно обойтись (и все остальные авторы обходятся).

Именно по этой причине его учебник неудобен для первого знакомства с матаном. Его можно рекомендовать для второго чтения, когда студент уже знает матан, и ему нужно объяснить, как сей матан вписан в более широкую математическую картину.

Впрочем, некоторые преподаватели придерживаются иного мнения.

[Someone]

Собственно говоря, мне трудно уловить суть претензии.
Обычно изучение непрерывности начинается с функций, которые определены на некотором интервале, содержащее точку непрерывности, и определение для этого случая не содержит упоминания области определения.
К сожалению, не все функции, встречающиеся в математическом анализе, удовлетворяют этому условию, и такое простейшее определение приходится обобщить. Результатом обобщения в математическом анализе является как раз определение из учебника Зорича. Оно вовсе не происходит из топологии, однако полностью согласовано с топологическим определением.
И да, в изолированной точке области определения функция непрерывна и обладает всеми свойствами непрерывных функций, которые не требуют, чтобы точка не была изолированной. Если это противоречит вашей интуиции, то тем хуже для вашей интуиции.

[Nickname1101]

Someone

Someone в сообщении #1410184 писал(а):

Собственно говоря, мне трудно уловить суть претензии.

Да нет, никаких претензий к Зоричу у меня нету и быть не может. Он профессионал, а я нет. Я лишь пытаюсь понять, почему его определение именно такое, какое оно есть.

Someone в сообщении #1410184 писал(а):

Обычно изучение непрерывности начинается с функций, которые определены на некотором интервале, содержащем точку непрерывности, и определение для этого случая не содержит упоминания области определения.

В моем случае этот факт сыграл со мной очень злую шутку. Когда я первый раз изучал теорию пределов я все никак не мог понять, почему функция обязана быть определенной во всей окрестности предельной точки. Если бы я узнал сразу про понятие предельной точки и про то, что функция не обязана быть определенной в каждой точке проколотой окрестности, это сэкономило бы мне пару месяцев и много нервов. А то я потом заново перечитывал всю теорию пределов с позиции предела произвольной функции (из подмножества $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$) в некоторой предельной для ее области определения точки.

Someone в сообщении #1410184 писал(а):

К сожалению, не все функции, встречающиеся в математическом анализе, удовлетворяют этому условию...

В моем случае это к большому счастью. Наверное во всей теории пределов этот факт оказался для меня самым приятным.

Someone в сообщении #1410184 писал(а):

...и такое простейшее определение приходится обобщить.

На произвольные вещественные функции одного аргумента. В этом и корень моего недопонимания. Все прекрасно обобщается с помощью предела по Коши, тогда зачем вводить предел по базе, не введя понятие топологического пространства и фильтра?

Someone в сообщении #1410184 писал(а):

И да, в изолированной точке области определения функция непрерывна и обладает всеми свойствами непрерывных функций, которые не требуют, чтобы точка не была изолированной. Если это противоречит вашей интуиции, то тем хуже для вашей интуиции.

Я понимаю смысл непрерывности в том, что "стоя в точке $x_0$ мы можем шевельнуться так, чтобы функция сместилась на чуть-чуть". Куда шевелиться стоя в изолированной точке? Обладать то она обладает (т.к. непрерывность равносильна существованию предела по базе непроколотых окрестностей точки $a$, отсюда и перенос привычных свойств), вот только радость то от этого какая? На мой взгляд, дороговатая цена этого обобщения получилась: интуитивность понятия потеряли, зато теперь в изолированных точках функции стали непрерывными. Или Вы не согласны с тем, что "график последовательности выглядит как-то не очень непрерывным" (с т.з. интуиции понятия непрерывности)?

[ewert]

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):

Когда я первый раз изучал теорию пределов я все никак не мог понять, почему функция обязана быть определенной во всей окрестности предельной точки.

По определению. Ну просто определение такое -- для начала.

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):

Если бы я узнал сразу про понятие предельной точки и про то, что функция не обязана быть определенной в каждой точке проколотой окрестности, это сэкономило бы мне пару месяцев и много нервов.

А может и наоборот. Понятие предельной точки множества гораздо менее интуитивно, чем понятие интервала и "карандашной" непрерывности. Поэтому его введение (необходимое, хотя и не безусловно) -- это уже следующий шаг.

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):

Куда шевелиться стоя в изолированной точке?

Вопрос сугубо схоластический. Хотите обобщать -- обобщайте; не хотите -- гордо игнорируйте.

Насчёт Зорича и окрестностей. Он (Зорич) -- экстремист известный.
Безусловно, перевод определения предела на топологический язык необходим.
Поскольку иначе многообразие определений всевозможных пределов (в классическом именно их понимании) разрастается до неимоверных размеров.
Но -- именно перевод. Сначала же должны идти рабоче-крестьянские определения.
Во всяком случае, это так для нестерильных математиков.

[beroal]

Nickname1101 в сообщении #1410156 писал(а):

Что потеряет анализ, если ограничиться рассмотрением непрерывности только в точках области определения, предельных для нее? Определение непрерывности тогда сведется к равенству предела и значения функции в точке.

Определение непрерывности и без этого можно охарактеризовать с помощью предела: функция непрерывна в $x$ тогда и только тогда, когда её значение в $x$ является её пределом в $x$.

Nickname1101 в сообщении #1410156 писал(а):

Доказательства многих стандартных теорем станут проще, т.к. не надо будет помнить про вырожденный случай.

А сейчас надо помнить? Можете привести пример?

Nickname1101 в сообщении #1410198 писал(а):

Я понимаю смысл непрерывности в том, что "стоя в точке $x_0$ мы можем шевельнуться так, чтобы функция сместилась на чуть-чуть". Куда шевелиться стоя в изолированной точке?

Я думаю, это из-за изъяна в этой неформальной интерпретации, как обычно и бывает с неформальными интерпретациями.

$$f(x) := \begin{cases}x+1, &\text{если }x\geq 0\\ x, &\text{если }x<0\end{cases}$$

В точке $0$ мы можем шевельнуться на $0.001$, и функция $f$ сместится на $0.001$, но $f$ с интуитивной точки зрения прерывна в $0$. Надо рассматривать все смещения аргумента, а множество этих смещений есть окрестность. Может, непрерывность легче понять, если рассмотреть её отрицание, то есть прерывность. Мы не можем добиться смещения значения $f$ в $0$ на $0.5$ или меньше, какую бы окрестность аргумента мы не выбрали, так как при отрицательных смещениях аргумента значение $f$ смещается на большее расстояние, чем $1$. То есть не существует такой окрестности $U$ точки $0$, что $f(U)\subseteq [0.5, 1.5]$. То есть существует такая окрестность $V$ точки $f(0)$, что любая окрестность $U$ точки $0$ не такая, что $f(U)\subseteq V$.

[Nickname1101]

beroal в сообщении #1410452 писал(а):

Определение непрерывности и без этого можно охарактеризовать с помощью предела: функция непрерывна в $x$ тогда и только тогда, когда её значение в $x$ является её пределом в $x$.

Предел в том фрагменте, который Вы цитируете - это предел по Коши. Вы под словом предел, видимо, подразумеваете предел по базе непроколотых окрестностей точки $a$. Предел по Коши можно рассматривать только в точках, предельных для области определения функции, поэтому никакого предела (по Коши) в изолированных точках у функции просто нету (по базе есть и я об этом писал в сообщении выше).

beroal в сообщении #1410452 писал(а):

А сейчас надо помнить? Можете привести пример?

Есть две функции $f$ и $g$ определенные на одной и той же области определения и непрерывные в некоторой точке $a$, принадлежащей этой области определения. Если мы определили непрерывность только в предельных точках, то все легко: в точке $a$ предел $f$ совпадает с $f(a)$, предел $g$ совпадает с $g(a)$, предел $f+g$ совпадает с $f(a) + g(a)$ (воспользовались свойством предела по Коши), а значит $f+g$ непрерывна в $a$. Но если непрерывность определена, как у Зорича (в термина окрестностей), то надо проверить еще случай, если $a$ - изолированная точка. И да, я знаю, что можно пользоваться свойствами предела по базе, а не свойствами предела по Коши. Но в этом и суть: был предел по Коши и непрерывность была интуитивно понятной, стал предел по базе и набор отдельных точек стал вдруг "непрерывным графиком". Понятно, что всякое отображение дискретного пространства в топологическое пространство является непрерывным (с т.з. топологического определения непрерывности), но в одномерном анализе то от этого какой толк?

[Brukvalub]

Nickname1101, непонятно, чего вы всеми своими опусами добиваетесь? Например, сейчас все согласятся, что в одномерном анализе не нужно рассматривать непрерывность функций в изолированных точках их областей определения. И что тогда случится? Вы напишете методологическую статью, выступите с докладом на конференции, спокойно уснете этой ночью (нужное подчеркнуть)?
Все это перетирание из пустого в порожнее напоминает не слишком тонкий троллинг: "сейчас я этих дурачков подзаведу, они кинутся наперебой разъяснять мне азы анализа и топологии, и я буду хихикать в кулачок над их ужимками и прыжками".
Если я ошибаюсь, то разъясните свои цели в то и дело затеваемых вами на пустом месте обсуждениях очень важных вопросов тривиально объясняемых азов анализа.

[beroal]

Nickname1101 в сообщении #1410502 писал(а):

Предел в том фрагменте, который Вы цитируете - это предел по Коши. Вы под словом предел, видимо, подразумеваете предел по базе непроколотых окрестностей точки $a$.

Нет. Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$.

-- Thu Aug 15, 2019 13:47:14 --

Nickname1101 в сообщении #1410502 писал(а):

Предел по Коши можно рассматривать только в точках, предельных для области определения функции, поэтому никакого предела (по Коши) в изолированных точках у функции просто нету (по базе есть и я об этом писал в сообщении выше).

Если под пределом по Коши вы подразумеваете то, что написано в Википедии, то любая точка является пределом функции в изолированной точке. Предел в данном случае удобнее считать отношением, а не функцией. Хотя бы потому, что он имеет значение не везде, в отличие от сложения и вычитания.

Ситуация чем-то напоминает ситуацию с делением. Положим, что $k$ есть частное при делении $b$ на $a$ тогда и только тогда, когда $b=ka$. При делении $0$ на $0$ любое число является частным. При делении ненулевого числа на $0$ частных нет.

[Nickname1101]

Brukvalub в сообщении #1410513 писал(а):

непонятно, чего вы всеми своими опусами добиваетесь?

Я испытываю затруднения с пониманием некоторых определений и теорем в основах матанализа.

(Оффтоп)

Ну непонятно мне, зачем определять верхние и нижние границы пустого множества, зачем рассматривать колебание функции только на подмножестве области определения, а не на произвольном промежутке, пересекающемся с областью определения. Мне непонятно, почему в теореме Больцано-Коши (о промежуточном значении) Зорич требует непрерывность функции в крайних точках отрезка, когда достаточно потребовать непрерывность справа в левой точке и слева в правой точке. Мне непонятно, почему Кудрявцев определяет предел функции в точке не по проколотым окрестностям, а по обычным, тем самым сужая содержательную область понятия предел лишь до точек, в которых функция не определена. А когда я увидел, что Фихтенгольц на второй странице вводит плотность рациональных чисел как аксиому, я совсем перестал понимать что к чему. Посмотрите хотя бы на определение точки устранимого разрыва у Зорича. Согласно его определению точка устранимого разрыва обязана принадлежать области определения функции. Т.е. если мы рассмотрим функцию $f(x) = x$, определенную на $\mathbb{R} \backslash 0$, то согласно определению Зорича точка $x = 0$ не является точкой устранимого разрыва этой функции. Хотя односторонние пределы существуют и совпадают. И так далее... Что такого плохого в том, чтобы разобраться со всеми этими нюансами?

А на вопросы в той теме про границы пустого множества Вы так и не дали конкретные ответы.

Brukvalub в сообщении #1408837 писал(а):

Про точные грани пустых множеств в рамках математического анализа нет смысла говорить, поскольку такие множества не являются объектом изучения в этой науке.

Я ведь ровно об этом и говорю. Но в определении верхних и нижних границ нету требования исключить из рассмотрения $\varnothing$. Все что я спрашивал - почему так?

Brukvalub в сообщении #1408837 писал(а):

Если у множества нет ни одной верхней (нижней) границы, то тривиально доказывается, что у него нет во множестве вещ. чисел и соответствующей точной грани при любом разумном (дескриптивном или конструктивном) определении такой грани.

Я писал ровно тоже самое. Но когда у некоторого подмножества вещественных чисел нету точных граней в $\mathbb{R}$ в качестве частично упорядоченного множества в рамках договоренности берут $\overline{\mathbb{R}}$. И при таком подходе супремум $\varnothing$ равен $-\infty$. И если нарушается "супремум не меньше инфимума", то не проще ли ввести запрет в определении верхних/нижних границ на рассмотрение $\varnothing$? Я ожидал услышать от Вас простые конкретные ответы "Да" или "Нет", но вместо этого я в сотый раз повторяю то, что уже неоднократно писал.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

Если под пределом по Коши вы подразумеваете то, что написано в Википедии, то любая точка является пределом функции в изолированной точке.

Даже в Википедии (не говоря уже об учебниках) написано абсолютно прямо и недвусмысленно

Википедия писал(а):

Рассмотрим функцию $f(x)$, определенную на некотором множестве $X$, которое имеет предельную точку $x_0$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Коши в изолированной точке не определен.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$.

Это не все определение. $a$ должна быть предельной для области определения функции.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

Предел в данном случае удобнее считать отношением, а не функцией. Хотя бы потому, что он имеет значение не везде, в отличие от сложения и вычитания.

Простите, но я Вас в этом месте совсем не понял. Если предел - это отношение, то на каком множестве (декартовом произведении множеств) он определен?

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

Ситуация чем-то напоминает ситуацию с делением. Положим, что $k$ есть частное при делении $b$ на $a$ тогда и только тогда, когда $b=ka$.

Видимо, речь идет про $\mathbb{R}$. В таком случае частное при делении $b$ на $a$ это произведение $b$ и числа, обратного для $a$. Если $a = 0$, то число, обратное для $a$ не определено, а значит частное не определено.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

При делении $0$ на $0$ любое число является частным.

Нет. Частное не определено.

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

При делении ненулевого числа на $0$ частных нет.

Нет. Частное не определено.

[Brukvalub]

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):

Я ожидал услышать от Вас простые конкретные ответы "Да" или "Нет", но вместо этого я в сотый раз повторяю то, что уже неоднократно писал.

Разве на данном форуме есть некто "ОРАКУЛ", мнение которого в вопросах мат.анализа признается истиной в последней инстанции? Если такой участник или устройство здесь уже появилось, то нужно спросить про все это у него. В противном случае точными верхними гранями в иерархии авторитетов придется признать авторов тех источников информации, из которых вы черпаете знания, то есть авторов учебников, на которые вы ссылаетесь. Вот у этих авторов и следует спрашивать.
Я достоверно знаю, что, к сожалению, Л.Д. Кудрявцев Г.И. Архипов, Л.И. Камынин, Г.М. Фихтенгольц уже умерли (я был на похоронах первых трех перечисленных математиков).
Также я точно знаю (сам у них спрашивал), что ни Зорич, ни Чубариков (ныне живущие авторы наиболее популярных учебников мат.анализа) на данном форуме не регистрировались. Уверен, что и В.А. Садовничий здесь не замечен, хотя у него я об этом не спрашивал.
Так что вырисовывается явный тупик с верификацией ответов на ваши вопросы. Видимо, вам придется и дальше мучиться поиском ответов на них.

[beroal]

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):

beroal в сообщении #1410516

wrote:
Здесь $b$ является пределом $f$ в $a$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $b$ существует такая проколотая окрестность $U$ точки $a$, что $f(U)\subseteq V$. Это не все определение. $a$ должна быть предельной для области определения функции.

У меня это всё определение.

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):

Если предел - это отношение, то на каком множестве (декартовом произведении множеств) он определен?

Это определяется аналогично тому, как если считаем предел функцией. Для множеств $X$ и $Y$, предел есть отношение на множестве всех частичных функций из $X$ в $Y$, $X$ и $Y$. То есть $3$-местное отношение.

-- Thu Aug 15, 2019 15:52:20 --

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):

Видимо, речь идет про $\mathbb{R}$.

С $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{C}$ тоже будет верно. С любым полукольцом.

-- Thu Aug 15, 2019 15:53:23 --

Nickname1101 в сообщении #1410520 писал(а):

Даже в Википедии (не говоря уже об учебниках) написано абсолютно прямо и недвусмысленно

Да, я не заметил этого в Википедии. Ну, я уже изложил моё определение здесь.

[Nickname1101]

beroal в сообщении #1410527 писал(а):

У меня это всё определение.

А давайте посмотрим на Ваше определение повнимательнее

beroal в сообщении #1410516 писал(а):

...то любая точка является пределом функции в изолированной точке.

Старой доброй теореме о единственности предела стало очень грустно

(Оффтоп)

Я тут пару недель назад рассматривал колебание функции на пустом множестве. Если бы я тогда знал, что меня ждет функция, у которой каждое число является ее пределом в некоторой точке...

[Connector]

Давайте рассмотрим функцию $f$ , определённую на множестве всех рациональных $x$, таких что $x=0$ или $\left\lvert x \right\rvert \geqslant 1$, такую что $f(x)=0$, если наибольшее целое, не превосходящее по модулю $x$ , чётно, и $f(x)=1$ в противном случае. Имеет ли $f$ предел в точке $0$? В некотором смысле да!

[Brukvalub]

Connector контрольный вопрос: является ли $0$ предельной точкой области определения рассматриваемой вами функции?