Геометрия и топология грассманиана

[Munin]

Ну я, разумеется, про https://en.wikipedia.org/wiki/Plücker_embedding

-- 23.05.2019 12:03:01 --

Интересная ссылка https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quadric
И до кучи https://ru.wikipedia.org/wiki/Плюккерова_система_координат

-- 23.05.2019 12:26:41 --

Этот общий случай по-немецки называется Graßmann-Plücker-Koordinaten, и по-французски coordonnées grassmanniennes. Хотя в русской и английской википедиях - всё-таки плюккеровскими (хотя в одном месте упоминаются как Grassmann coordinates).

[Munin]

Метод "основание - стены - купол".

Этим методом можно посчитать количество элементов в $\mathrm{Gr}(k,n)$ над конечными полями. Хотя бы $\mathrm{Gr}(2,4).$

"Основание": это $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2.$ Проективная плоскость над конечным полем $\mathbb{FP}^2$ имеет $(|\mathbb{F}|^3-1)/(|\mathbb{F}|-1)$ элементов, то есть, $|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1.$

"Стены": каждая "стена" - это слой типа $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2,$ возведённый над каждой точкой "основания". Таким образом, надо вычесть эту точку. Также "экватор" этой проективной плоскости входит в состав "купола", и его тоже надо вычесть (а в нём $|\mathbb{FP}^1|=|\mathbb{F}|+1$ элементов). Остаётся $|\mathbb{F}|^2-1$ на каждую "стену", или всего $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)(|\mathbb{F}|^2-1)=(|\mathbb{F}|^3-1)(|\mathbb{F}|+1)$ элементов.
В сумме "основание" и "стены" дают $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)|\mathbb{F}|^2$ элементов.

"Купол": это снова $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2,$ хотя с другой геометрической интерпретацией.

Итого, получается $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)(|\mathbb{F}|^2+1)$ элементов.

$\begin{array}{l}2 \to 35 \\ 3 \to 130 \\ 4 \to 357 \\ 5 \to 806 \\ 7 \to 2850 \\ 8 \to 4745 \\ 9 \to 7462\end{array}$

[nnosipov]

Munin в сообщении #1408112 писал(а):

можно посчитать количество элементов в $\mathrm{Gr}(k,n)$ над конечными полями

Общую формулу Вы, конечно, знаете? На всякий случай: она может быть получена из простейших соображений линейной алгебры.

[Munin]

Конечно, нет.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1408120 писал(а):

Конечно, нет.

Просто это довольно популярная задача здесь на форуме (для студентов-математиков, разумеется). Ссылок с ходу не приведу, но сама идея решения довольно проста: надо конструировать базисы и попутно их считать. Начинать нужно со случая $k=1$, затем $k=2$ и т.д. В принципе, все вычисления можно провести в уме (лежа на огороде в тени укропа, например ).

[Munin]

Ну поскольку я не студент-математик, я не в силах реализовать эту программу без дальнейших указаний.

[nnosipov]

Вот конкретная программа действий.

1. Для каждого $k$ от $1$ до $n$ найти число линейно независимых систем (т.е. упорядоченных наборов) из $k$ векторов пространства $\mathbb{F}^n$, где $\mathbb{F}$ --- данное конечное поле (пусть в нем для конкретности будет $q$ элементов).

Разберем случай $k=1$. В данном случае речь идет о линейно независимой системе из одного вектора $a_1$. Понятно, что этот вектор $a_1$ должен быть ненулевым (но лучше сказать так: есть единственное исключение --- нулевой вектор). Значит, при $k=1$ искомое количество --- это число всех ненулевых векторов пространства $\mathbb{F}^n$, которое равно (почему?) $q^n-1$.

Указание к следующему случаю $k=2$. Чтобы построить линейно независимую систему из двух векторов $a_1$, $a_2$, сначала выберем вектор $a_1$ (сколькими способами это можно сделать?), а затем выберем вектор $a_2$ (а здесь сколько способов?). Затем следует подсчитать искомое количество линейно независимых систем $a_1$, $a_2$, воспользовавшись правилом произведения из элементарной комбинаторики.

Остальные пункты потом.

P.S. Пардон, если нарушил планы. Можете все это проигнорировать. Интересно, переборщил я с уровнем детализации или нет?

[Munin]

nnosipov
Вы хотя бы сразу скажите, формула там простая или рекурсивная?

[nnosipov]

Munin
Формула явная и несложная.

Upd. Да, вот еще что. В частном случае $n=4$, $k=2$ Вы ранее получили ответ в виде $(q^2+q+1)(q^2+1)$ (многочлен от $q$). В общем случае Вы получите ответ уже в виде дроби (отношения двух многочленов от $q$). Естественно, при конкретных $n$ и $k$ числитель можно сократить на знаменатель и получить ответ в "причесанном" виде.