как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции

[arqady]

wrest, я там добавил кое-что.

[wrest]

arqady в сообщении #1407212 писал(а):

Нет, не хватает! Но ведь есть ряды... Короче, не вижу простого доказательства.

На ряды я тоже смотрел, надо брать до 10-й степени или около того, это мало отличается от доказательства численным решением уравнения (нахождением нуля производной и затем вычисления значения функции там).

[Markiyan Hirnyk]

Насколько я понимаю, это вариация на тему. Численно с применением математических систем можно найти, что глобальный минимум $0,751093419187138$ достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.

[wrest]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):

Численно с применением математических систем можно найти, что

Да, но:

Modest в сообщении #1406549 писал(а):

В задачах, в которых требуется что-то доказать, не приветствуются посты, сводящиеся к использованию калькуляторов и не содержащих идей, приближающих к решению задачи

[Markiyan Hirnyk]

wrest Как насчет "вариации на тему"? Да, кстати, в цитируемом мною посте даже "аналитическое решение" содержит расчеты.

[wrest]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407232 писал(а):

В цитируемом мною посте даже "аналитическое решение" содержит расчеты.

Ну тогда оно не вполне аналитическое. То, что неравенство выполняется, я например проверил сразу же как только ТС пояснил насчет того чего там квадрат... Просто в геогебре построив поверхность $z=f (x)+f(y)+f(1-x-y)$ возможных сумм, там же построив плоскость $z=0,75$ и методом кручения мышкой и верчения её колесом увидел зазор между плоскостью и поверхностью.

-- 26.07.2019, 21:04 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):

достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.

А вы заметили насколько это $b$ отличается от $1/\sqrt{2}$? На мизер...
Но - отличается.

-- 26.07.2019, 21:42 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407232 писал(а):

Как насчет "вариации на тему"?

Про симметрию хорошее рассуждение, симметрию я тоже увидел, и тоже решил свести к неравенству одной переменной. Остальное там - это численный расчет. Рассуждений насчет второй производной я не понял.

[Rak so dna]

Неравенство $(\frac{\sin(\pi x)}{\pi})^2 \geqslant \frac{x^2(8-9x)}{7x^3+16x^2-8x+8}$ сводит и исходное неравенство, и неравенство arqady к алгебраическому.

[wrest]

Rak so dna
Да, работает. Но теперь надо сперва доказать новое неравенство, а затем, что после подстановки дрф вместо синуса минимум искомой суммы не упал ниже 3/4
А минимум этот равен $0,75009871...$ Вольфрам
Может, он как-то легко ищется?

[g______d]

Rak so dna в сообщении #1407363 писал(а):

к алгебраическому

Алгебраическая версия, по крайней мере, верна (Mathematica, если я формулы вбил правильно):

Вход:

CylindricalDecomposition[{(a^2 + b^2 + (1 - a - b)^2) (7 a^3 + 
       16 a^2 - 8 a + 8) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 
       8) (7 (1 - a - b)^3 + 16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) + 
    2 a^2 (8 - 9 a) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 8) (7 (1 - a - b)^3 + 
       16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) + 
    2 b^2 (8 - 9 b) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a + 8) (7 (1 - a - b)^3 + 
       16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) + 
    2 (1 - a - b)^2 (8 - 9 (1 - a - b)) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a + 
       8) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 8) >= (3/4) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 
      8) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a + 8) (7 (1 - a - b)^3 + 
      16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8), a > 0, b > 0, 
  a + b < 1}, {a, b}]

Выход:

0 < a < 1 && 0 < b < 1 - a

[Rak so dna]

wrest в сообщении #1407369 писал(а):

Может, он как-то легко ищется?

Сомневаюсь. Отвозился пол дня, получил в итоге вот такое:
$6x^2-4x+\frac{1}{4} + \frac{2x^2(16-18x)}{8-8x+16x^2+7x^3} + \frac{4x^2(16-36x)}{8-16x+64x^2+56x^3}=\frac{Q_1(x)P_2(x)+Q_2(x)P_1(x)}{4(Q_1(x)+Q_2(x))(7x^3+8x^2-2x+1)(7x^3+16x^2-8x+8)}$, где

\scriptsize$P_1(x)=\frac{147}{32}(2x-1)^8+\frac{16841}{64}(2x-1)^6+\frac{29835}{64}(2x-1)^4+\frac{9039}{64}(2x-1)^2+\frac{375}{64}$

\scriptsize$$P_2(x)= 5(173(2x-1)^2+300x^2)x^6+4(2x-1)^2(9x^2-8x+1)^2(2(2x-1)^2+7x^2)+36(2x-1)^2(x-1)^2(7x-1)^2x^2$$

\scriptsize$Q_1(x)=\frac{497}{4}(2x-1)^6+\frac{14271}{16}(2x-1)^4+\frac{5257}{8}(2x-1)^2+\frac{1163}{16}$

\scriptsize$Q_2(x)= 2(22(2x-1)^2+573x^2)x^5 + 80(2x-1)^2(9x^2-8x+1)^2x + 62(x-1)^2(7x-1)^2x^3$

что, очевидно, неотрицательно для неотрицательного $x$

[maxal]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):

Насколько я понимаю, это вариация на тему. Численно с применением математических систем можно найти, что глобальный минимум $0,751093419187138$ достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.

Да, на самом деле это просто переформулировка того неравенства. Кстати, там же доказано, что минимум достигается на прямой, где две переменные равны - в указанной вами точке это должны бы быть $a$ и $c$, значения которых у вас отличаются, видимо, из-за погрешности вычислений.

[Markiyan Hirnyk]

maxal

Цитата:

значения которых у вас отличаются, видимо, из-за погрешности вычислений

Важно, что погрешность вычислений в примененной мною программе контролируема и известна. По умолчанию абсолютная погрешность оптимальных значений целевой функции и переменных не больше, чем $10^{-6}$.

[wrest]

Rak so dna в сообщении #1407488 писал(а):

что, очевидно, неотрицательно для неотрицательного $x$

Нехило. То есть вы раскладывали, как я понимаю, вот это
$ 1176 x^8 + 3248 x^7 - 2759 x^6 - 2736 x^5 + 5290 x^4 - 3377 x^3 + 1056 x^2 - 152 x + 8$
являющееся числителем после приведения к общему знаменателю, чтобы показать его неотрицательность?

[maxal]

wrest в сообщении #1407586 писал(а):

Нехило. То есть вы раскладывали, как я понимаю, вот это
$ 1176 x^8 + 3248 x^7 - 2759 x^6 - 2736 x^5 + 5290 x^4 - 3377 x^3 + 1056 x^2 - 152 x + 8$
являющееся числителем после приведения к общему знаменателю, чтобы показать его неотрицательность?

Показать неотрицательность здесь проще по теореме Штурма, причем можно воспользоваться даже готовыми реализациями - например, в PARI/GP:

polsturm(1176*x^8 + 3248*x^7 - 2759*x^6 - 2736*x^5 + 5290*x^4 - 3377*x^3 + 1056*x^2 - 152*x + 8, [0,oo])
%1 = 0

Получаем, что на интервале $[0,\infty)$ корней у многочлена нет, а в нуле он положителен - значит, он положителен и на всем интервале.

[wrest]

maxal в сообщении #1407673 писал(а):

Получаем, что на интервале $[0,\infty)$ корней у многочлена нет, а в нуле он положителен - значит, он положителен и на всем интервале.

Да, выглядит проще чем выкладки Rak so dna выше.
Тем не менее, посчитать это на олимпиаде (остатки от деления многочленов и т.п., что надо для Штурма) если есть только абак калькулятор, мне кажется очень долго. А, ну и перед этим привести к общему знаменателю тоже того... затратно по времени.

Плюс остается вопрос доказательства справедливости

Rak so dna в сообщении #1407363 писал(а):

Неравенство $(\frac{\sin(\pi x)}{\pi})^2 \geqslant \frac{x^2(8-9x)}{7x^3+16x^2-8x+8}$