P.S. Конечно, возможно, всё дело в том, что я не определил формально систему оперирования с "бесконечными числами", полагая механическое перенесение свойств с обычных чисел, -- а отстутствие явно заданной системы вполне можно счесть "ерундой". Правда, для данного конкретного случая, никак не внутренне противоречивой...
Может быть, Вы краем уха слышали о нестандартном анализе? Там есть бесконечно большие и бесконечно малые числа разного порядка, при этом сохраняются все основные свойства арифметических операций. Однако деление на ноль всё равно невозможно.
Вообще, мне непонятно это стремление делить на ноль. В конце концов, если очень хочется, определите деление на ноль так, как Вам хочется, и делите себе. Только будьте готовы у тому, что будут нарушаться обычные свойства операций.
Предположим, что на множестве
заданы две бинарные операции, которые будем называть
сложением (обозначаем
) и
умножением (обозначаем
). Об этих операциях предполагаем следующее:
1)
(коммутативность сложения);
2)
(ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент
, что
для любого
(
-
нулевой элемент);
4) для каждого
существует такой
, что
(
противоположный элемент);
5)
и
(дистрибутивность умножения относительно сложения; предполагается стандартное соглашение о порядке выполнения операций).
Множество
с такими операциями называется
кольцом.
Здесь последовательно доказываем ряд утверждений.
I. Нулевой элемент единственен.
Доказательство. Пусть
и
- два нулевых элемента. Тогда
.
II. Противоположный элемент единственен.
Доказательство. Пусть
и
- два противоположных элемента для
. Тогда
.
Поскольку элемент, противоположный заданному элементу
, единственен, целесообразно ввести для него специальное обозначение:
. Таким образом,
. Поскольку в силу коммутативности
, то
.
III. Уравнение имеет решение, и это решение единственно.
Доказательство. Существование решения. Проверим, что
является решением. Подставляя его в уравнение, получим
,
,
,
,
,
- верное равенство.
Единственность решения. Пусть
и
- два решения, то есть,
и
. Тогда
. Прибавляя к обеим частям равенства
слева, получим
,
,
,
,
,
.
Решение уравнения
называется
разностью элементов
и
и обозначается
. Как мы видели,
. В частности,
.
IV. Законы дистрибутивности выполняются и для разности: и .
Доказательство. По определению разности,
. Умножая обе части равенства слева на
, получим
,
,
откуда, опять по определению разности,
. Аналогично доказывается второе равенство.
V. для любого элемента
.
Доказательство. Пусть
. Тогда
.
Аналогично доказывается, что
.
По аналогии с вычитанием определяется и деление. Если рассматривать произвольные кольца, для которых выполняются только перечисленные выше пять аксиом, можно определить только деление слева и деление справа как решение уравнений
и
при условии, что соответствующее решение существует и единственно (мы же хотим, чтобы операция деления - пусть их даже две - давала определённый результат).
Однако, если кольцо
имеет больше одного элемента, то мы столкнёмся с тем, что уравнения
и
при
вообще не могут иметь решений, а при
имеют более одного решения. Поэтому деление на ноль оказывается невозможным, если мы хотим, чтобы оно было однозначным.