К вопросу о или еще о бесконечности близнецов.

[hurtsy]

mihaild в сообщении #1402602 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402598 писал(а):

А разве из метода построения решета Эратосфена нельзя увидеть бесконечность простых чисел?

А как? Вдруг после очередного простого все числа окажутся вычеркнуты?

Существуют прекрасные двусторонние оценки Чебышева.

Википедия писал(а):

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

$${\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad (1) $$

заключены в пределах

$${\displaystyle 0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555}$$

а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

Имхо, во времена Эратосфена не было понятий актуальной и потенциальной бесконечности. Возможно, точнее будет говорить о индуктивности и рефлексивности множества простых?

[eugensk]

Yury_rsn в сообщении #1402700 писал(а):

вроде бы интуитивно очевидно, что простые числа будут постоянно возникать в методе решета

Наверное, это очевидно только потому, что вы уже знаете ответ. Эксперимент: если после вычеркивания всех составных чисел, пробежаться еще раз и вычеркнуть все числа, которые на 1 больше полного квадрата: 2, 5, 10, 17, 26, ..., сколько останется, конечное число или бесконечно много? А если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько? Что вам говорит интуиция в первом и во втором случае?

(ответы)

бесконечно много: https://math.stackexchange.com/question ... ree-number

неизвестно: https://math.stackexchange.com/questions/1928022/is-there-a-proof-of-infinitely-many-primes-p-such-that-2p-1-is-composite

Хочу третий пример, где бы после отсеивания осталось конечное число элементов, но увы, не могу быстро найти.

[Yury_rsn]

eugensk в сообщении #1403348 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402700 писал(а):

вроде бы интуитивно очевидно, что простые числа будут постоянно возникать в методе решета

Наверное, это очевидно только потому, что вы уже знаете ответ. Эксперимент: если после вычеркивания всех составных чисел, пробежаться еще раз и вычеркнуть все числа, которые на 1 больше полного квадрата: 2, 5, 10, 17, 26, ..., сколько останется, конечное число или бесконечно много? А если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько? Что вам говорит интуиция в первом и во втором случае?
...
...
Хочу третий пример, где бы после отсеивания осталось конечное число элементов, но увы, не могу быстро найти.[/off]

Начал отвечать, и тут увидел ваши варианты ответов.
Но, я ссылки еще не успел открыть, поэтому отвечу, а потом пойду гляну :)
Первый вопрос, если я правильно понял формулировку, означает, что
- сначала вычеркнуты все составные числа, т.е., остались только простые
- и после этого надо вычеркнуть все простые, имеющие вид $n^2 +1$ ?

Ну, интуиция подсказывает, что квадраты гораздо реже встречаются в натуральном ряду, чем простые числа.
А, и Эйлер доказал, что ряд обратных простых расходится, а ряд по обратным квадратам сходится )))
---
А по второй задаче я не совсем понял формулировку.
"если после вычеркивания всех составных чисел, пробежаться еще раз и ... если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько? "
- так надо читать? Или как?
---
"Хочу третий пример, где бы после отсеивания осталось конечное число элементов, но увы, не могу быстро найти"
Спасибо, было бы здорово!

[eugensk]

Yury_rsn в сообщении #1403363 писал(а):

А по второй задаче я не совсем понял формулировку.
"если после вычеркивания всех составных чисел, пробежаться еще раз и ... если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько? "
- так надо читать? Или как?

Да, так. Вы вычеркнули составные, остались одни простые. Делаете еще один проход: по каждому простому p смотрите, если $2^p -1$ тоже простое (т.е. невычеркнутое), то это p вычеркиваете, иначе оставляете. Сколько невычеркнутых чисел останется?

[Dmitriy40]

eugensk в сообщении #1403348 писал(а):

А если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько?

Учитывая сколько всего чисел Мерсенна известно (51) и в каком они огромном диапазоне (почти 25 миллионов цифр!), то довольно очевидно, что вычёркивая полсотни чисел из всех простых (которых в этом диапазоне примерно $10^{25\,000\,000} / \ln{10^{25\,000\,000}}\approx 10^{24\,999\,992}$), кардинально асимптотику не изменить, они суммарно меньше капли в море.

[Yury_rsn]

eugensk в сообщении #1403372 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1403363 писал(а):

А по второй задаче я не совсем понял формулировку.
"если после вычеркивания всех составных чисел, пробежаться еще раз и ... если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько? "
- так надо читать? Или как?

Да, так. Вы вычеркнули составные, остались одни простые. Делаете еще один проход: по каждому простому p смотрите, если $2^p -1$ тоже простое (т.е. невычеркнутое), то это p вычеркиваете, иначе оставляете. Сколько невычеркнутых чисел останется?

Т.е., вопрос в том, что с определенного числа N может начаться такая история, что числа вида $2^p -1$ могут быть все простые - и до бесконечности.
Или наоборот, с некоторого N они вдруг все останутся составными.

Не знаю. Интуиция говорит, что скорее всего непредсказуемость простых чисел сработает и здесь, и до бесконечности они будут идти вперемешку.

А что-то доказано на этот счет? (upd глянул в сети.
Вопрос открыт - "Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна")

[Yury_rsn]

Если вернуться к теме этого топика - о бесконечности близнецов.
Увидел такую статью https://www.researchgate.net/publicatio ... oKnnry3ow4

Судя по информации в интернете - полная тишина по этому материалу.
Там какая-то ошибка? Доказательства нет?

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1403490 писал(а):

https://www.researchgate.net/publication/314154142_DOKAZATELSTVO_BESKONECNOSTI_KOLICESTVA_PROSTYH_CISEL-BLIZNECOV?fbclid=IwAR11FbwNpJ234-J48Nyc-6zpXA9tuPX4uNQR4Ojm_GOXuQN2LoKnnry3ow4

Судя по информации в интернете - полная тишина по этому материалу.
Там какая-то ошибка? Доказательства нет?

Странно, никто ничего не знает про эту ситуацию?

Где можно узнать про результаты обсуждения работы ученых из Казахстана? Подскажите, плз.
Они писали, что их работы читают и обговаривают математики из разных стран.
Уже два года прошло. И тишина.

[Pphantom]

Yury_rsn в сообщении #1403701 писал(а):

Где можно узнать про результаты обсуждения работы ученых из Казахстана? Подскажите, плз.
Они писали, что их работы читают и обговаривают математики из разных стран.
Уже два года прошло. И тишина.

Вот вы сейчас их прочитали и даже обговорили. Поскольку интересуетесь этим вопросом, как минимум сойдете за математика (и я тоже сойду). Судя по IP, вы (и я) не из Казахстана, причем из двух разных стран. Тем самым утверждение выполнено, только вот последствия у него отсутствуют...

[Yury_rsn]

Pphantom в сообщении #1403704 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1403701 писал(а):

Где можно узнать про результаты обсуждения работы ученых из Казахстана? Подскажите, плз.
Они писали, что их работы читают и обговаривают математики из разных стран.
Уже два года прошло. И тишина.

Вот вы сейчас их прочитали и даже обговорили. Поскольку интересуетесь этим вопросом, как минимум сойдете за математика (и я тоже сойду). Судя по IP, вы (и я) не из Казахстана, причем из двух разных стран. Тем самым утверждение выполнено, только вот последствия у него отсутствуют...

Я примерно улавливаю ваш тонкий юмор, но всё-таки - их доказательство кто-то из мировых математиков прокомментировал? Или не мировых, но все-таки авторитетных.
Оно ошибочное?

[eugensk]

Dmitriy40 в сообщении #1403402 писал(а):

eugensk в сообщении #1403348 писал(а):

А если вычеркнуть все такие, что $2^p -1$ тоже простое, то сколько?

Учитывая сколько всего чисел Мерсенна известно (51) и в каком они огромном диапазоне (почти 25 миллионов цифр!), то довольно очевидно, что вычёркивая полсотни чисел из всех простых (которых в этом диапазоне примерно $10^{25\,000\,000} / \ln{10^{25\,000\,000}}\approx 10^{24\,999\,992}$), кардинально асимптотику не изменить, они суммарно меньше капли в море.

Скорее всего так, но, если я ничего не путаю, это не доказано:
https://www.researchgate.net/publicatio ... _Exponents

Кстати, в чем разница между open problem и conjecture, в степени уверенности?

Цитата:

One has a conjecture and an open problem about Mersenne numbers.
There are infinitely many Mersenne primes.
There are infinitely many Mersenne composite numbers.

(имеются ввиду числа Мерсенна с простым показателем)

[Dmitriy40]

Может и недоказано, но очень маловероятно что простые числа Мерсенна вдруг пойдут косяком и составные (с простым показателем) кончатся. И это спустя $10^{25\,000\,000}$ составных чисел почти без исключений. Очень маловероятно.

eugensk в сообщении #1403870 писал(а):

Кстати, в чем разница между open problem и conjecture,

Этого я не знаю.

[hurtsy]

Цитата слишком урезана. Ключевое здесь

eugensk в сообщении #1403870 писал(а):

в степени уверенности

Вопрос к eugensk. Хочется сперва получить ясность, уверенность чья и уверенность в чем.

[eugensk]

hurtsy

Не возмусь судить, цитата из статьи на которую можно попасть по ссылке в моём сообщении (под Download full-text PDF).

[hurtsy]

eugensk в сообщении #1404092 писал(а):

Не возмусь судить

Отсюда следует, что степень уверенности есть формула речи и не более того. Поэтому Dmitriy40 прав, что выбросил ее(формулу) из цитирования.
А разницей

Цитата:

между open problem и conjecture

не следует "заморачиваться". Достаточно того, что описано в словарях. В Wikipedia представлено современное состояние Mersenne prime. Числа

Цитата:

composite Mersenne numbers

, которые , конечно, не являются числами Мерсена тоже там представлены. Они используются для тестирования алгоритмов факторизации.