2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение05.02.2019, 19:56 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
тут еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение05.02.2019, 21:06 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
pogulyat_vyshel в сообщении #1374314 писал(а):
еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

Конечно. Интеграл по гауссовой кривизне напрямую связан с эйлеровой характеристикой поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение16.04.2019, 12:38 


30/05/13
258
СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1374271 писал(а):
мы вроде бы (я это не проверял, это может не так, надо проверить) должны получить
$$\int_MR\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=\int_MD_\mu A^\mu\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=-\int_M\Big(\frac{\partial 1}{\partial x^k}\Big)A^k\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0$$


Простите, не могу до конца понять эту выкладку, как получился последний переход? Что такое $1?$ И почему всё в конечном итоге приравнивается нулю?

Моего разумения хватает на такое:

$\int \limits_M R \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M D_\mu A^\mu \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x.$


Дальше при желании можно применить теорему Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение16.04.2019, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Nirowulf в сообщении #1388041 писал(а):
$\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x$
Это и подразумевалось. Дальше автор интегрирует это по частям. На что перебросить $\partial_\mu$, если перебрасывать не на что? Допишем к подинтегральной функции множитель $1$ и перебросим на него. В Ваших обозначениях это будет $-\int \limits_M \partial_\mu(1) A^\mu \sqrt{g}\; d^4 x$. Частные производные от константы равны нулю.
По предположению, многообразие компактно и без края, поэтому интеграл по гиперповерхности не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение04.07.2019, 12:20 


30/05/13
258
СПб
svv, pogulyat_vyshel, большое спасибо, разобрался!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group