Ковариантная дивергенция и кривизна

[pogulyat_vyshel]

тут еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1374314 писал(а):

еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

Конечно. Интеграл по гауссовой кривизне напрямую связан с эйлеровой характеристикой поверхности.

[Nirowulf]

pogulyat_vyshel в сообщении #1374271 писал(а):

мы вроде бы (я это не проверял, это может не так, надо проверить) должны получить

$$\int_MR\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=\int_MD_\mu A^\mu\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=-\int_M\Big(\frac{\partial 1}{\partial x^k}\Big)A^k\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0$$

Простите, не могу до конца понять эту выкладку, как получился последний переход? Что такое $1?$ И почему всё в конечном итоге приравнивается нулю?

Моего разумения хватает на такое:

$\int \limits_M R \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M D_\mu A^\mu \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x.$

Дальше при желании можно применить теорему Гаусса.

[svv]

Nirowulf в сообщении #1388041 писал(а):

$\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x$

Это и подразумевалось. Дальше автор интегрирует это по частям. На что перебросить $\partial_\mu$, если перебрасывать не на что? Допишем к подинтегральной функции множитель $1$ и перебросим на него. В Ваших обозначениях это будет $-\int \limits_M \partial_\mu(1) A^\mu \sqrt{g}\; d^4 x$. Частные производные от константы равны нулю.
По предположению, многообразие компактно и без края, поэтому интеграл по гиперповерхности не возникает.

[Nirowulf]

svv, pogulyat_vyshel, большое спасибо, разобрался!