2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение05.02.2019, 19:56 
Аватара пользователя
тут еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

 
 
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение05.02.2019, 21:06 
Аватара пользователя
pogulyat_vyshel в сообщении #1374314 писал(а):
еще про теорему Гаусса-Бонне неплохо вспомнить

Конечно. Интеграл по гауссовой кривизне напрямую связан с эйлеровой характеристикой поверхности.

 
 
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение16.04.2019, 12:38 
pogulyat_vyshel в сообщении #1374271 писал(а):
мы вроде бы (я это не проверял, это может не так, надо проверить) должны получить
$$\int_MR\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=\int_MD_\mu A^\mu\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=-\int_M\Big(\frac{\partial 1}{\partial x^k}\Big)A^k\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0$$


Простите, не могу до конца понять эту выкладку, как получился последний переход? Что такое $1?$ И почему всё в конечном итоге приравнивается нулю?

Моего разумения хватает на такое:

$\int \limits_M R \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M D_\mu A^\mu \sqrt{g} d^4 x=\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x.$


Дальше при желании можно применить теорему Гаусса.

 
 
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение16.04.2019, 13:48 
Аватара пользователя
Nirowulf в сообщении #1388041 писал(а):
$\int \limits_M \partial_\mu \left( \sqrt{g} A^\mu \right) d^4 x$
Это и подразумевалось. Дальше автор интегрирует это по частям. На что перебросить $\partial_\mu$, если перебрасывать не на что? Допишем к подинтегральной функции множитель $1$ и перебросим на него. В Ваших обозначениях это будет $-\int \limits_M \partial_\mu(1) A^\mu \sqrt{g}\; d^4 x$. Частные производные от константы равны нулю.
По предположению, многообразие компактно и без края, поэтому интеграл по гиперповерхности не возникает.

 
 
 
 Re: Ковариантная дивергенция и кривизна
Сообщение04.07.2019, 12:20 
svv, pogulyat_vyshel, большое спасибо, разобрался!

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group