2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2019, 18:50 


23/02/12
2894
vorvalm в сообщении #1401498 писал(а):
vicvolf в сообщении #1401471 писал(а):
vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):
Задача Эйлера
А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

Самое непосредственное. Гольдбах предложил Эйлеру гипотезу суммы трех простых чисел, но Эйлер
усилил ее суммой двух простых.
Эйлер имеет отношение к проблеме Гольдбаха, но эта его задача нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2019, 19:51 


31/12/10
1554
vicvolf в сообщении #1401507 писал(а):
Эйлер имеет отношение к проблеме Гольдбаха, но эта его задача нет!

Если Эйлер имеет непосредственное отношение к проблеме Гольдбаха,
то эта задач еще раз подчеркивает его гениальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенные последовательности простых чисел
Сообщение05.11.2019, 11:05 


31/12/10
1554
Среди простых чисел встречаются степенные последовательности, это
когда разности вычетов этой последовательности равны возрастающей степени
какого-либо числа ( знаменатель этой последовательности).
Для сокращения записи вместо слова "последовательность" иногда будем
применять слово "цепочка".
Общий член такой последовательности

$a_n=m±q^n,n=(1,2,3...)
$

При $m=15=30/2, \;q=2,\;n=(1,2,3...)$
получим 17, 19, 23, 31, 47, 79.

Возможны и убывающие последовательности, н.п. при $75-2^n$

73, 71, 67, 59, 43, 11, -53, -181

При $m=1540=2\cdot 2310/3,\; q=3,\; n=1,2,3,4,5,6,7,8$.(1543,1549,1567,......8101)


При $m=3234=7\cdot 2310/5,\; q=5,\; n=2,3,4,5,6,7,8,9$.(3259,3359,3859,....1956359)

Если арифметические прогрессии простых чисел ограничены зависимостью
от разности прогрессии напрямую связанной с праймориалом, то ограничения
степенных последовательностей так же связаны с праймориалом более
сложной зависимостью. Попробуем в этом разобраться.
Вернемся к формуле вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$

$a=\mid\prod {p_s^{\alpha_s}}±\prod {p_t^{\beta_t}\mid<M(p_r)}=\prod{p_s}\cdot\prod{p_t}.
$

Преобразуем ее к виду $a= kM(p_r)/p±p^n$
, где k не должно быть кратно $p_{r+1}$, т.к. принадлежит праймориалу $p_{r+1}\#$.

В данном случае $m=kM(p_r)/p, \;\;q=p.$ ($p$ - делитель $M$).
По этой формуле мы получим возрастающую и убывающую степенные последовательности
вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$ и при условии $a<p^2_{r+1}$ получим цепочки простых чисел.
Во всех других случаях среди вычетов могут быть и не простые числа, но взаимно простые обязательно.
Вопрос: чем ограничиваются такие последовательности ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение04.08.2020, 11:17 


31/12/10
1554
Теперь рассмотрим, как распределяются такие цепочки в ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$.
Формулу общего члена цепочки $a=m\pm q^n$ представим степенным сравнением
с одним знаком ($+$) или ($-$)
1) $m +q^n\mod p_s=0$
2) $m-q^n\mod p_t=0$
Решая эти сравнения мы определим, при каких значениях n вычеты цепочек будут кратны
простым числам $p_s,\;p_t$, которые и ограничивают цепочки простых чисел.
Спрашивается, какие простые числа $p_s,(p_t)$ брать в качестве модуля сравнений ?
Так как мы берем $m=M(p_r)/p$, то ближайшим простым числом является $p_{r+1}$,
у которого наименьшая функция Эйлера $\varphi(p_{r+1})=p_{r+1}-1$.
но может оказаться, что вычетов кратных этому числу нет в цепочке.
Например, при $m=0,5M(5)=15$ в качестве модуля надо брать $p_s=7$ и решать
сравнение $15 +2^n \mod 7=0$, которое приводится к сравнению $2^n\equiv-1(\mod 7).$
Очевидно, что это сравнение не имеет решений. т.е. в такой цепочке нет вычетов, кратных $p=7$,
т.к. является квадратичным невычетом.
Тогда берем следующее простое число $p=11$ и решаем сравнение $15+2^n\mod {11}=0.$
Приводим к виду $2^n\equiv 7\pmod {11}$, находим $n = 7$..
И действительно, седьмой член равен 143. Таким образом мы нашли вычет, ограничивающий цепочку.
* * *
При решении степенных сравнений надо учитывать возможные степенные вычеты и невычеты, которые
существенно влияют на поиск составных вычетов. Пример, с невычетом показан ранее.
Если $m=kM(p_r)/p$, то у коэффициента $k$ не должно быть делителя $p_{r+1}$,
т.к. он принадлежит модулю $M(p_{r+1}).$ В остальном особой разницы нет.
Пример с квадратичным вычетом и невычетом.
Берем последовательность $1540+3^n.$ Здесь $m=2M(11)/3,\; q=3$.
Проверяем делимость вычетов этой цепочки на $p=13$.
Имеем степенное сравнение $1540+3^n\mod 13=0\;$ или
$\;3^n\equiv 7\pmod {13}$.
Решаем это сравнение с помощью индексов по модулю 13.
$n\cdot ind 3 \equiv ind 7 \pmod {12}$
$n\cdot 4\equiv 11\pmod {12}$
Очевидно, что это сравнение не имеет решений, следовательно, и исходное сравнение решений не имеет.
т.е. вычетов кратных $p=13$ в цепочке нет.
Берем следующее простое число $p=17$
$1540 + 3^n\pmod {17}=0\;$ или
$\;3^n\equiv 7\pmod {17}$. (индексы по модулю $17$).
$n\cdot ind 3\equiv ind 7\pmod {16}$.
$n\cdot 1\equiv 11\pmod{16}$. При $n=11$ вычет кратен $p=17$.
Но надо еще проверить модуль $p=19$, у которого может быть квадратичный вычет
при котором число взаимно простых вычетов в степенных цепочках равно $0,5\varphi(p)$.
$1540+3^n \pmod {19}=0\;$ или
$\;3^n\equiv 18\pmod {19} $ или
$3^{2n}\equiv 1\pmod {19},\;\;n=9$,
Мы нашли вычет цепочки $N^0 9$ кратный $p=19$
Таким образом число простых вычетов в цепочке $1540+3^n$ равно $8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение03.02.2021, 22:49 


31/12/10
1554
На основании малой проблемы Гольдбаха легко решается
квадро проблема Гольдбаха, т.е. любое четное число больше 10
представляется суммой 4-х простых чисел. Действительно, если

$p_r+p_s+p_t=2n+1$
то
$p_r+p_s+p_t-1 = 2n$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение03.02.2021, 22:58 


20/04/10
1697
$-1$ тоже простое?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение04.02.2021, 17:39 


31/12/10
1554
А если подумать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение04.02.2021, 17:52 


20/04/10
1697
Если подумать, то вы весьма странно формулируете очевидные вещи: любое чётное больше 10 это сумма нечётного простого (например 3) и ещё одного нечётного числа, которое можно представить в виде суммы трёх простых. Зачем все эти фокусы с $-1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение27.07.2022, 11:52 


31/12/10
1554
Разобрались, и слава богу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение28.07.2022, 08:12 
Заблокирован


16/04/18

1129
Рекомендую недавние замечательные лекции Вавилова по проблемам Гольдбаха и Варинга, есть в инете.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение28.07.2022, 08:36 


23/02/12
2894
novichok2018 в сообщении #1561268 писал(а):
Рекомендую недавние замечательные лекции Вавилова по проблемам Гольдбаха и Варинга, есть в инете.
Ничего нового по сравнению с этой монографией https://docs.yandex.ru/docs/view?tm=165 ... 26nosw%3D1

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение28.07.2022, 10:06 
Заблокирован


16/04/18

1129
Это ваше мнение про лекции Вавилова, у меня другое. Там полно нового. И нельзя старую монографию сравнивать с современным обзором.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение28.07.2022, 11:02 


23/02/12
2894
novichok2018 в сообщении #1561276 писал(а):
Там полно нового.
Нельзя ли более конкретно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 268 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group