О проблеме Гольдбаха

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1401498 писал(а):

vicvolf в сообщении #1401471 писал(а):

vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):

Задача Эйлера

А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

Самое непосредственное. Гольдбах предложил Эйлеру гипотезу суммы трех простых чисел, но Эйлер
усилил ее суммой двух простых.

Эйлер имеет отношение к проблеме Гольдбаха, но эта его задача нет!

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1401507 писал(а):

Эйлер имеет отношение к проблеме Гольдбаха, но эта его задача нет!

Если Эйлер имеет непосредственное отношение к проблеме Гольдбаха,
то эта задач еще раз подчеркивает его гениальность.

[vorvalm]

Среди простых чисел встречаются степенные последовательности, это
когда разности вычетов этой последовательности равны возрастающей степени
какого-либо числа ( знаменатель этой последовательности).
Для сокращения записи вместо слова "последовательность" иногда будем
применять слово "цепочка".
Общий член такой последовательности

$a_n=m±q^n,n=(1,2,3...) $

При $m=15=30/2, \;q=2,\;n=(1,2,3...)$
получим 17, 19, 23, 31, 47, 79.

Возможны и убывающие последовательности, н.п. при $75-2^n$

73, 71, 67, 59, 43, 11, -53, -181

При $m=1540=2\cdot 2310/3,\; q=3,\; n=1,2,3,4,5,6,7,8$.(1543,1549,1567,......8101)


При $m=3234=7\cdot 2310/5,\; q=5,\; n=2,3,4,5,6,7,8,9$.(3259,3359,3859,....1956359)

Если арифметические прогрессии простых чисел ограничены зависимостью
от разности прогрессии напрямую связанной с праймориалом, то ограничения
степенных последовательностей так же связаны с праймориалом более
сложной зависимостью. Попробуем в этом разобраться.
Вернемся к формуле вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$

$a=\mid\prod {p_s^{\alpha_s}}±\prod {p_t^{\beta_t}\mid<M(p_r)}=\prod{p_s}\cdot\prod{p_t}. $

Преобразуем ее к виду $a= kM(p_r)/p±p^n$
, где k не должно быть кратно $p_{r+1}$, т.к. принадлежит праймориалу $p_{r+1}\#$.

В данном случае $m=kM(p_r)/p, \;\;q=p.$ ($p$ - делитель $M$).
По этой формуле мы получим возрастающую и убывающую степенные последовательности
вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$ и при условии $a<p^2_{r+1}$ получим цепочки простых чисел.
Во всех других случаях среди вычетов могут быть и не простые числа, но взаимно простые обязательно.
Вопрос: чем ограничиваются такие последовательности ?

[vorvalm]

Теперь рассмотрим, как распределяются такие цепочки в ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$.
Формулу общего члена цепочки $a=m\pm q^n$ представим степенным сравнением
с одним знаком ($+$) или ($-$)
1) $m +q^n\mod p_s=0$
2) $m-q^n\mod p_t=0$
Решая эти сравнения мы определим, при каких значениях n вычеты цепочек будут кратны
простым числам $p_s,\;p_t$, которые и ограничивают цепочки простых чисел.
Спрашивается, какие простые числа $p_s,(p_t)$ брать в качестве модуля сравнений ?
Так как мы берем $m=M(p_r)/p$, то ближайшим простым числом является $p_{r+1}$,
у которого наименьшая функция Эйлера $\varphi(p_{r+1})=p_{r+1}-1$.
но может оказаться, что вычетов кратных этому числу нет в цепочке.
Например, при $m=0,5M(5)=15$ в качестве модуля надо брать $p_s=7$ и решать
сравнение $15 +2^n \mod 7=0$, которое приводится к сравнению $2^n\equiv-1(\mod 7).$
Очевидно, что это сравнение не имеет решений. т.е. в такой цепочке нет вычетов, кратных $p=7$,
т.к. является квадратичным невычетом.
Тогда берем следующее простое число $p=11$ и решаем сравнение $15+2^n\mod {11}=0.$
Приводим к виду $2^n\equiv 7\pmod {11}$, находим $n = 7$..
И действительно, седьмой член равен 143. Таким образом мы нашли вычет, ограничивающий цепочку.
* * *
При решении степенных сравнений надо учитывать возможные степенные вычеты и невычеты, которые
существенно влияют на поиск составных вычетов. Пример, с невычетом показан ранее.
Если $m=kM(p_r)/p$, то у коэффициента $k$ не должно быть делителя $p_{r+1}$,
т.к. он принадлежит модулю $M(p_{r+1}).$ В остальном особой разницы нет.
Пример с квадратичным вычетом и невычетом.
Берем последовательность $1540+3^n.$ Здесь $m=2M(11)/3,\; q=3$.
Проверяем делимость вычетов этой цепочки на $p=13$.
Имеем степенное сравнение $1540+3^n\mod 13=0\;$ или
$\;3^n\equiv 7\pmod {13}$.
Решаем это сравнение с помощью индексов по модулю 13.
$n\cdot ind 3 \equiv ind 7 \pmod {12}$
$n\cdot 4\equiv 11\pmod {12}$
Очевидно, что это сравнение не имеет решений, следовательно, и исходное сравнение решений не имеет.
т.е. вычетов кратных $p=13$ в цепочке нет.
Берем следующее простое число $p=17$
$1540 + 3^n\pmod {17}=0\;$ или
$\;3^n\equiv 7\pmod {17}$. (индексы по модулю $17$).
$n\cdot ind 3\equiv ind 7\pmod {16}$.
$n\cdot 1\equiv 11\pmod{16}$. При $n=11$ вычет кратен $p=17$.
Но надо еще проверить модуль $p=19$, у которого может быть квадратичный вычет
при котором число взаимно простых вычетов в степенных цепочках равно $0,5\varphi(p)$.
$1540+3^n \pmod {19}=0\;$ или
$\;3^n\equiv 18\pmod {19} $ или
$3^{2n}\equiv 1\pmod {19},\;\;n=9$,
Мы нашли вычет цепочки $N^0 9$ кратный $p=19$
Таким образом число простых вычетов в цепочке $1540+3^n$ равно $8$.

[vorvalm]

На основании малой проблемы Гольдбаха легко решается
квадро проблема Гольдбаха, т.е. любое четное число больше 10
представляется суммой 4-х простых чисел. Действительно, если

$p_r+p_s+p_t=2n+1$
то
$p_r+p_s+p_t-1 = 2n$

[lel0lel]

$-1$ тоже простое?

[vorvalm]

А если подумать ?

[lel0lel]

Если подумать, то вы весьма странно формулируете очевидные вещи: любое чётное больше 10 это сумма нечётного простого (например 3) и ещё одного нечётного числа, которое можно представить в виде суммы трёх простых. Зачем все эти фокусы с $-1$?

[vorvalm]

Разобрались, и слава богу.

[novichok2018]

Рекомендую недавние замечательные лекции Вавилова по проблемам Гольдбаха и Варинга, есть в инете.

[vicvolf]

novichok2018 в сообщении #1561268 писал(а):

Рекомендую недавние замечательные лекции Вавилова по проблемам Гольдбаха и Варинга, есть в инете.

Ничего нового по сравнению с этой монографией https://docs.yandex.ru/docs/view?tm=165 ... 26nosw%3D1

[novichok2018]

Это ваше мнение про лекции Вавилова, у меня другое. Там полно нового. И нельзя старую монографию сравнивать с современным обзором.

[vicvolf]

novichok2018 в сообщении #1561276 писал(а):

Там полно нового.

Нельзя ли более конкретно?