Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.

[warlock66613]

fps24 в сообщении #1400189 писал(а):

При отсутствии перегородки во втором приборе - спинор частицы на выходе второго прибора:

$$\begin{pmatrix} \lvert+z_2\rangle\\\lvert 0 z_2\rangle\\\lvert-z_2\rangle\end{pmatrix}$$

Это что-то невразумительное. Компоненты спинора - числа, а у вас написаны состояния.

Что касается того, что вы называете "дедовским способом". Он не "дедовский", он вполне современный, и, что важно, универсальный. Он работает в нерелятивиствском случае, в релятивистском, вообще во всех случаях. Он является основой и связующим звеном между всеми различными формулировками квантовой теории. Что важнее всего для нас с вами - он основан на самых базовых аксиомах квантовой теории, и его понимание отражает понимание этих самых базовых акcиом. Всё остальное - в частности спиноры - это уже надстройка над аксиомами.

Ну и не могу не заметить, что вы не ответили на мой вопрос.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400209 писал(а):

Компоненты спинора - числа, а у вас написаны состояния.

Верно, компоненты спинора - амплитуды базисных состояний проекции спина, поэтому для случая без перегородки спинор на выходе второго прибора будет такой:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$

Теперь запись спинора правильная?


В случае с перегородкой на нижнем пути второго прибора - для определения спинора на выходе второго прибора необходимо произвести перенормировку.

Известно, что:

$\lvert\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 + \lvert\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 + \lvert\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 = 1$

Поэтому записать спинор на выходе второго прибора как:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix}$$

и затем использовать в вычислениях исходные амплитуды для состояний $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert0z_2\rangle$ было бы принципиальной ошибкой.

Я понимаю так, что необходимость перенормировки спинора прямо вытекает из факта изменения спина. У двух одинаковых спинов проекции на общий базис тождественны, поэтому если при прохождении через прибор спин частицы не изменяется - перенормировка спинора не нужна.

warlock66613 в сообщении #1400209 писал(а):

Ну и не могу не заметить, что вы не ответили на мой вопрос.

Похоже, что это так. Но причина этого в том, что сам вопрос мне не вполне понятен. Я вижу, что Вы подводите меня к пониманию какой-то важной вещи, которую я пока не понимаю или понимаю неправильно, но я не могу самостоятельно разобраться, что именно должен понять, чтобы правильно ответить на вопрос. Поэтому прошу помочь мне разобраться.

Из прочитанного в учебниках я понял следующее:

1. У частицы есть собственный спин.
2. Спин частицы может быть представлен в виде разложения по произвольному ортогональному базису.
3. Элементы разложения (базисные состояния) не имеют самостоятельного смысла и нужны лишь для описания спина.
4. Амплитуды базисных состояний образуют спинор, всегда удовлетворяющий условию нормировки.
5. Если спин изменился обнулением одной из амплитуд - оставшиеся амплитуды должны быть перенормированы. Использование исходных амплитуд в дальнейших вычислениях без перенормировки недопустимо.

Если что-то из этого не соответствует действительности - укажите.

Составить список того, что я ещё не знаю и чего ещё не понял, чтобы правильно ответить на вопрос - я по понятным причинам не могу. Здесь мне особенно нужна помощь. Что именно я должен понять и принять во внимание, чтобы правильно найти решение?

[warlock66613]

fps24 в сообщении #1400334 писал(а):

Но причина этого в том, что сам вопрос мне не вполне понятен.

Требуется решить задачу. Ответ я написал. Требуется написать, как его получить, исходя из правил квантовой механики.

fps24 в сообщении #1400334 писал(а):

Из прочитанного в учебниках я понял следующее

Последние два пункта отношения к задаче не имеют и вообще не вполне ясно сформулированы (я могу придумать что там могло бы иметься в виду, но именно придумать, а прочитать).

[Munin]

fps24 в сообщении #1400334 писал(а):

3. Элементы разложения (базисные состояния) не имеют самостоятельного смысла и нужны лишь для описания спина.
...
Если что-то из этого не соответствует действительности - укажите.

Вот это далеко не всегда так. На практике стараются выбирать такие базисы, которые имеют тот или иной смысл.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400365 писал(а):

Требуется решить задачу.

Так и поступим. Поскольку объём моего непонимания в результате оказанной только что помощи не изменился - я буду решать задачу через последовательность рассуждений, а когда какое-то из дальнейших рассуждений окажется ложным - поправьте меня.

Постановка задачи выглядит следующим образом.

Есть эквивалентная схема эксперимента для частицы со спином $1$ :



Волновая функция спина частицы в последнем приборе может быть представлена в виде спинора, образованного амплитудами попадания частицы в каждый из датчиков последнего прибора:

$$\psi = \begin{pmatrix}\psi_+\\\psi_0\\\psi_-\end{pmatrix}$$

Требуется (в общем) определить эту волновую функцию и (в частности) вывести формулу для амплитуды $\psi_+$ попадания частицы в верхний датчик последнего прибора.

Такая постановка задачи в общем и в частном виде корректна ?

[warlock66613]

fps24, не, такая "постановка" мне не нравится совсем. Раз вы хотите строгости, я вам напишу всё строго. Но сегодня закончить не успею, придётся вам до завтра подождать.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400567 писал(а):

не, такая "постановка" мне не нравится совсем

Это понятно, ведь в такой постановке предложенное решение не годится.

Разберём подробнее, почему. Для этого нам понадобится таблица преобразования амплитуд при поворотах вокруг оси $y$ :




Для начального спинора

$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Волновая функция на входе второго прибора будет иметь вид:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\alpha)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\alpha\\\frac1 2 (1-\cos\alpha)\end{pmatrix}$$

Рассчитаем амплитуды для угла: $\alpha = 45^\circ$

$$\begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\frac\pi 4)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\frac\pi 4\\\frac1 2 (1-\cos\frac\pi 4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\;\,0.85\;\;\\-0.50\;\;\\\;\;\,0.15\;\;\end{pmatrix}$$

Проверим нормировку амплитуд: $0.85^2 + 0.5^2 + 0.15^2 = 1$


Известно, что перегородка на нижнем пути второго прибора обнуляет амплитуду соответствующего состояния в выходной волновой функции второго прибора. Предположим, что для выходной волновой функции второго прибора могут быть использованы формулы амплитуд из входной волновой функции:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\alpha)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\alpha\\0\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\frac\pi 4)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\frac\pi 4\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\;\,0.85\;\;\\-0.50\;\;\\0\end{pmatrix}$$

Проверим нормировку амплитуд: $0.85^2 + 0.5^2 = 0.97$

Скопированные из входной волновой функции второго прибора амплитуды не удовлетворяют правилу нормировки в выходной волновой функции этого же прибора, поэтому перед использованием должны быть перенормированы, а значит их формулы в итоге должны стать другими.



Несложно заметить, что из-за использования перегородки в первом приборе - его выходная волновая функция также отличается от входной (только там обнуляется не одна амплитуда, а сразу две), поэтому в первом приборе для составления правильной выходной волновой функции - также производится перенормировка амплитуд.

[warlock66613]

fps24, вы пишете чушь (про нормировку). Я, конечно, всё равно сделаю что обещал, но рекомендую вам прямо сейчас выкинуть из головы нормировки, волновые функции и спиноры, и читать квантмех ФЛФ с самого начала.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400638 писал(а):

Я, конечно, всё равно сделаю что обещал, но рекомендую вам прямо сейчас выкинуть из головы нормировки, волновые функции и спиноры, и читать квантмех ФЛФ с самого начала.

Возможно, что первого не потребуется. Похоже, я начинаю понимать, к какому выводу Вы меня подводите.

Отделим прибор Штерна-Герлаха с тремя выходами от остальной части среднего прибора:



Интересует, понимаю ли я, что в данном эксперименте на выходах прибора Штерна-Герлаха присутствуют частицы в трёх состояниях спина:

$\lvert+z_2\rangle$ , $\lvert0z_2\rangle$ и $\lvert-z_2\rangle$

Теперь я правильно понимаю суть вопроса ?

[fps24]

Чтобы для вычисления показаний датчиков в последнем приборе не нужно было заботиться о перенормировке, вызванной потерей частиц - есть смысл слегка изменить схему эксперимента, заменив поглощающую стенку в нижнем пути среднего прибора на кольцевой пролётный датчик:



Теперь все частицы доходят до последнего прибора и суть вопроса стала ещё нагляднее: Почему формула для амплитуды попадания в верхний датчик последнего прибора не изменилась:

$$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle$$

Вопрос: почему формула всё ещё такая?

Ведь частицы на нижнем выходе прибора Штерна-Герлаха теперь находятся в собственном состоянии спина: $\lvert-z_2\rangle$ - и достигают последнего прибора так же, как и "верхние" частицы. Амплитуда попадания "нижней" частицы в верхний датчик последнего прибора известна:

$$\langle +z_1 \lvert -z_2 \rangle \langle -z_2 \lvert +z_1 \rangle$$

Почему же эта амплитуда не может использоваться в общей формуле с амплитудами "верхних" частиц.

Ответ очевиден - именно потому, что в данном эксперименте частицы на нижнем выходе прибора Штерна-Герлаха находятся в отдельном собственном состоянии спина: $\lvert-z_2\rangle$ . Именно из-за этого их амплитуды всегда должны учитываться отдельно.

Получается, что никаких отдельных состояний спина: $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert0z_2\rangle$ у "верхних" частиц нет. То, что на первый взгляд может показаться разными "состояниями частиц" на разных выходах прибора Штерна-Герлаха - на самом деле лишь разные проекции единого состояния спина "верхних" частиц на базис разложения. И исходная формула прямо на это указывает:

$$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle$$

Ведь различные базисные состояния могут входить в общую формулу для амплитуд только тогда, когда они являются не состояниями разных спинов, а лишь различными проекциями одного и того же спина на базис разложения. Базисное состояние: $\lvert-z_2\rangle$ - именно потому и не может поучаствовать в этой формуле, что оно является проекцией на тот же ортогональный базис, но совсем другого спина - спина частиц в собственном состоянии: $\lvert-z_2\rangle$ , выходящих из прибора Штерна-Герлаха по нижнему пути.

[fps24]

Ещё одно преимущество изменённой схемы эксперимента в том, что она позволяет задать весьма поучительный вопрос о волновой функции спина на выходе среднего прибора. Не каждый из начинающих сообразит, что у спина на выходе среднего прибора нет волновой функции. Потому что там то самое "смешанное состояние спина", образованное двумя независимыми волновыми функциями.

1. Волновая функция спина для верхних путей:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix}$$

2. Волновая функция спина для нижнего пути:

$$\begin{pmatrix}0\\0\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$

Поскольку каждая из этих волновых функций соответствует отдельному спину, то легко убедиться, что в данном случае на выходе среднего прибора могут появляться частицы в каком-то из двух разных состояний спина. Если при прохождении частицы через средний прибор срабатывает пролётный датчик в нижнем пути - волновая функция спина частицы коллапсирует во второй вариант. Если при прохождении частицы пролётный датчик не срабатывает - волновая функция спина частицы редуцируется к первому варианту.


Если же сравнить эти волновые функции с волновой функцией среднего прибора при отсутствии пролётного датчика в нижнем пути:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$

Становится понятно, почему в данном эксперименте при расчёте показаний датчиков в последнем приборе - не возникают проблемы с нормировкой.

[fps24]

Ранее в теме уже поднимался вопрос, касающийся классического эксперимента Фейнмана в том самом виде, в котором этот эксперимент подробно рассмотрен в ФЛФ:



А именно, является ли следующая формула для амплитуды прохождения частицы через все приборы эксперимента в верхний датчик последнего прибора единственно правильной:

$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert -z_2 \rangle \langle -z_2 \lvert +z_1 \rangle$

Было показано, что это не так. Собственный спин частицы не может зависеть от базиса описания, поэтому для всех этапов эксперимента, которые оставляют собственный спин частицы неизменным - правильность описывающей формулы в принципе не может зависеть от выбора базиса описания.

Далее будет приведено более формальное доказательство, основанное на использовании матриц преобразования.

Но прежде, чем приступить к доказательству - рассмотрим более подробно смысл термина "собственный спин частицы".

Если рассмотреть следующую схему эксперимента, то можно заметить, что в точке $A$ у спина частицы не существует однозначного базиса описания:



В такой ситуации возможны следующие варианты:

1. Спин частицы объективно существует только в описании, поэтому при отсутствии у спина однозначного описания - объективное существование однозначного спина невозможно. В таком случае между волновыми функциями спина в первом и последнем приборах не может быть корреляции.

2. Частица может как-то сохранять "внутри себя" информацию о последнем однозначном описании своего спина. В таком случае между волновыми функциями спина в первом и последнем приборах будет наблюдаться корреляция.

3. Частица имеет собственный спин, не зависящий от внешнего описания. В таком случае волновые функции спина при тождественных базисах описания в первом и последнем приборах будут тождественны.

Результаты экспериментов (если я правильно понимаю) однозначно указывают, что в квантовой реальности реализуется последний из вариантов, т.е. указывают на наличие у частиц собственного спина, не зависящего от внешнего описания. Всегда, когда термин "спин частицы" используется без дополнительных уточнений - имеется в виду именно собственный спин, а не его проекция на базис описания.

Также, если в каком-то эксперименте прибор $A$ оказывает на спин частицы такое же влияние, как и прохождение частицы через "пустое место", то результаты эксперимента однозначно указывают, что прибор $A$ не изменяет спин проходящих частиц:



Обратно, если другой прибор $B$ в аналогичном эксперименте приводит к другим результатам в последнем приборе, то результаты эксперимента однозначно указывают, что прибор $B$ изменяет спин проходящих частиц.

И это всё, что можно однозначно утверждать о собственном спине частиц по результатам экспериментов. Любые другие более "подробные" выводы относительно природы собственного спина являются лишь спекуляциями.

Собственный спин можно представлять совершенно по-разному. Можно (например) представлять, что у собственного спина есть собственное состояние. Такая спекуляция основана на том, что результатом измерения спина в некотором конкретном "базисе измерения" всегда является вещественное собственное значение спина. Это позволяет представить, будто в момент измерения - собственный спин частицы имеет не только собственное значение, но и вектор собственного состояния, дающий сразу после измерения однокомпонентное разложение в проекции на базис измерения. Тогда появляется дальнейший соблазн считать такую проекцию в единственное базисное состояние - особым "чистым состоянием" проекции, имеющим особую связь с вектором собственного состояния спина во "внутреннем спиновом пространстве" частицы. Подобные представления не несут большого вреда, если отчётливо понимать степень их спекулятивности. Представление, будто у собственного спина частицы есть вектор собственного состояния во "внутреннем спиновом пространстве" частицы - это в некотором смысле "спекуляция первого порядка". Понятно также, что любой ориентации вектора собственного состояния будет соответствовать количество различных возможных "чистых состояний" проекции, равное количеству ортогональных базисных состояний в базисе проекции. Например, для случая с электроном - каждому собственному состоянию спина электрона будет соответствовать как "чистое состояние" с однокомпонентным разложением $+z$, так и альтернативное "чистое состояние" в перевёрнутом базисе с однокомпонентным разложением $-z$. Вот почему обсуждение собственного спина в терминах "чистых состояний" проекции - это уже "спекуляция второго порядка".

Если же учесть тот факт, что термин "чистое состояние спина" не имеет однозначной трактовки и может в разных случаях использоваться в разных смыслах - всегда, когда возникает соблазн назвать какое-то состояние проекции спина "чистым" - его лучше назвать однокомпонентным разложением собственного состояния спина в проекции на базис описания.

[upgrade]

fps24
А можно как то покороче?:
вы хотите сказать, что если измерить два раза спин одной и той же частицы то между результатами этих измерений будет корреляция?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: по-видимому, это пора прекращать. warlock66613, когда соберется, сможет написать комментарий и тут.