В лекциях Фейнмана по квантовой механике среди множества мысленных экспериментов есть только один, результаты которого Фейнман прокомментировал так: "Это один из самых великих законов квантовой механики".
Уже поэтому данный классический эксперимент Фейнмана со спином атома заслуживает особого рассмотрения. Не все одинаково хорошо знакомы с лекциями Фейнмана (далее ФЛФ), поэтому далее выложены фрагменты ФЛФ с описанием эксперимента для атома со спином
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
:
![Изображение](https://dxdy-img.korotkov.co.uk/images/radikal/http_b.radikal.ru_b22_1906_1a_bb5f11924bd6.png)
![Изображение](https://dxdy-img.korotkov.co.uk/images/radikal/http_a.radikal.ru_a35_1906_2f_e7d7f98ae95a.png)
![Изображение](https://dxdy-img.korotkov.co.uk/images/radikal/http_c.radikal.ru_c29_1906_c4_8618319d87db.png)
Несложно понять, что эквивалентная схема мысленного эксперимента в этом случае может выглядеть, например, так (на самом деле угол между осями
![$z_1$ $z_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/9846e95013d0238ac53659ac26ee63f282.png)
и
![$z_2$ $z_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/7/1977fe9e687199e27529399342f7eec482.png)
может быть любым):
![Изображение](https://dxdy-img.korotkov.co.uk/images/radikal/http_a.radikal.ru_a35_1906_f8_33477f33c215.png)
Мне было предложено доказать, что в аналогичном эксперименте с электроном наблюдаемый результат будет аналогичным.
Далее приведено моё доказательство.
Предположим, что результат классического эксперимента Фейнмана в случае с электроном аналогичен результату, показанному выше, тогда эквивалентная схема мысленного эксперимента будет выглядеть так:
![Изображение](https://dxdy-img.korotkov.co.uk/images/radikal/http_c.radikal.ru_c40_1906_ea_f78ad26e2f7a.png)
Проверим результаты расчётом.
1. Для нижнего датчикаМожно написать амплитуду того, что электрон попадёт в нижний датчик в последнем приборе в виде суммы двух амплитуд - по одной для каждого пути в среднем приборе.
Для верхнего пути в среднем приборе это будет:
![$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/8/dc8ecd5488aa0ebd8cb8a638d51cd97482.png)
, где:
![$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c7e33147561a96bf4a80babda923c4c82.png)
- амплитуда сохранения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
при проходе электрона из первого прибора во второй.
![$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle$ $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/8/0d894e8c099ad36bbeb11f59a03a350f82.png)
- амплитуда изменения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$-\alpha$ $-\alpha$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/f/18f225af1d6f8f01f3893d9c0d2ea91882.png)
при проходе электрона из второго прибора в третий.
Для нижнего пути в среднем приборе это будет:
![$\langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a4d198a96059eba9c5805493608e4c482.png)
, где:
![$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/9/1195482c97346092b4734c796882dc0e82.png)
- амплитуда изменения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
при проходе электрона из первого прибора во второй.
![$\langle-z_1\lvert-z_2\rangle$ $\langle-z_1\lvert-z_2\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/6/276c03d46dda513ac0075cc719470ccb82.png)
- амплитуда сохранения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$-\alpha$ $-\alpha$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/f/18f225af1d6f8f01f3893d9c0d2ea91882.png)
при проходе электрона из второго прибора в третий.
Итоговая амплитуда попадания электрона в нижний датчик последнего прибора для обоих путей:
![$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/e/a5eae16953eeada690ad58189d86779382.png)
Подставим определённые ранее формулы расчёта амплитуд сохранения и изменения знака спина в зависимости от угла
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
поворота оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
:
![$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$ $\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/0/0b07d5e9455220ccc9323d66877ae79382.png)
![$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle = -\sin\frac{-\alpha} 2 = \sin\frac\alpha 2$ $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle = -\sin\frac{-\alpha} 2 = \sin\frac\alpha 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0b754e48f0ea1c09eea902b3fb058de82.png)
![$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$ $\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/b/79b98164114b449694dba815f74de15d82.png)
![$\langle-z_1\lvert-z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$ $\langle-z_1\lvert-z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/d/93d298cc7f99c6fac284d16e873a4f2b82.png)
Итоговая формула для амплитуды попадания электрона в нижний датчик последнего прибора:
2. Для верхнего датчикаМожно написать амплитуду того, что электрон попадёт в верхний датчик в последнем приборе в виде суммы двух амплитуд - по одной для каждого пути в среднем приборе.
Для верхнего пути в среднем приборе это будет:
![$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/4/f942858055a02c22691400976b942e9182.png)
, где:
![$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c7e33147561a96bf4a80babda923c4c82.png)
- амплитуда сохранения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
при проходе электрона из первого прибора во второй.
![$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle$ $\langle+z_1\lvert+z_2\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/2/1c228335f370652f148ff27fa80590e682.png)
- амплитуда сохранения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$-\alpha$ $-\alpha$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/f/18f225af1d6f8f01f3893d9c0d2ea91882.png)
при проходе электрона из второго прибора в третий.
Для нижнего пути в среднем приборе это будет:
![$\langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39638e166a9278888ce67682e9fecae282.png)
, где:
![$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/9/1195482c97346092b4734c796882dc0e82.png)
- амплитуда изменения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
при проходе электрона из первого прибора во второй.
![$\langle+z_1\lvert-z_2\rangle$ $\langle+z_1\lvert-z_2\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25fef895b65d40c5970482dce870542882.png)
- амплитуда изменения знака спина при повороте оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$-\alpha$ $-\alpha$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/f/18f225af1d6f8f01f3893d9c0d2ea91882.png)
при проходе электрона из второго прибора в третий.
Итоговая амплитуда попадания электрона в верхний датчик последнего прибора для обоих путей:
![$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ $\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/2/292ea2da8c2594be68aec4d755f2cafe82.png)
Подставим определённые ранее формулы расчёта амплитуд сохранения и изменения знака спина в зависимости от угла
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
поворота оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вокруг оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
:
![$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$ $\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/0/0b07d5e9455220ccc9323d66877ae79382.png)
![$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$ $\langle+z_1\lvert+z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/b/3cbfb70ebace5f7c3610b5d084183bc582.png)
![$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$ $\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/b/79b98164114b449694dba815f74de15d82.png)
![$\langle+z_1\lvert-z_2\rangle = \sin\frac{-\alpha} 2 = -\sin\frac\alpha 2$ $\langle+z_1\lvert-z_2\rangle = \sin\frac{-\alpha} 2 = -\sin\frac\alpha 2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/c/a0ceea361bc37da5f8408a8520ea461b82.png)
Учтя основное тригонометрическое тождество:
![$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/2/842539120d1a013b562838e7e81168b982.png)
- получим итоговую формулу для амплитуды попадания электрона в верхний датчик последнего прибора:
![$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 + \sin\frac\alpha 2\sin\frac\alpha 2 = 1$ $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 + \sin\frac\alpha 2\sin\frac\alpha 2 = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/0/e7040bf7b627a6bb4342d1a5d1b0b42e82.png)
Настоящим доказано, что результат классического эксперимента Фейнмана для случая с электроном аналогичен результату эксперимента для атома со спином
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
.
Всё правильно ?