2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение19.06.2019, 21:18 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
fps24 в сообщении #1400189 писал(а):
При отсутствии перегородки во втором приборе - спинор частицы на выходе второго прибора: $$\begin{pmatrix} \lvert+z_2\rangle\\\lvert 0 z_2\rangle\\\lvert-z_2\rangle\end{pmatrix}$$
Это что-то невразумительное. Компоненты спинора - числа, а у вас написаны состояния.

Что касается того, что вы называете "дедовским способом". Он не "дедовский", он вполне современный, и, что важно, универсальный. Он работает в нерелятивиствском случае, в релятивистском, вообще во всех случаях. Он является основой и связующим звеном между всеми различными формулировками квантовой теории. Что важнее всего для нас с вами - он основан на самых базовых аксиомах квантовой теории, и его понимание отражает понимание этих самых базовых акcиом. Всё остальное - в частности спиноры - это уже надстройка над аксиомами.

Ну и не могу не заметить, что вы не ответили на мой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение20.06.2019, 13:34 


21/05/19
46
warlock66613 в сообщении #1400209 писал(а):
Компоненты спинора - числа, а у вас написаны состояния.
Верно, компоненты спинора - амплитуды базисных состояний проекции спина, поэтому для случая без перегородки спинор на выходе второго прибора будет такой:

$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$Теперь запись спинора правильная?


В случае с перегородкой на нижнем пути второго прибора - для определения спинора на выходе второго прибора необходимо произвести перенормировку.

Известно, что:

$\lvert\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 + \lvert\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 + \lvert\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\rvert^2 = 1$

Поэтому записать спинор на выходе второго прибора как:
$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix}$$и затем использовать в вычислениях исходные амплитуды для состояний $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert0z_2\rangle$ было бы принципиальной ошибкой.

Я понимаю так, что необходимость перенормировки спинора прямо вытекает из факта изменения спина. У двух одинаковых спинов проекции на общий базис тождественны, поэтому если при прохождении через прибор спин частицы не изменяется - перенормировка спинора не нужна.


warlock66613 в сообщении #1400209 писал(а):
Ну и не могу не заметить, что вы не ответили на мой вопрос.
Похоже, что это так. Но причина этого в том, что сам вопрос мне не вполне понятен. Я вижу, что Вы подводите меня к пониманию какой-то важной вещи, которую я пока не понимаю или понимаю неправильно, но я не могу самостоятельно разобраться, что именно должен понять, чтобы правильно ответить на вопрос. Поэтому прошу помочь мне разобраться.

Из прочитанного в учебниках я понял следующее:

1. У частицы есть собственный спин.
2. Спин частицы может быть представлен в виде разложения по произвольному ортогональному базису.
3. Элементы разложения (базисные состояния) не имеют самостоятельного смысла и нужны лишь для описания спина.
4. Амплитуды базисных состояний образуют спинор, всегда удовлетворяющий условию нормировки.
5. Если спин изменился обнулением одной из амплитуд - оставшиеся амплитуды должны быть перенормированы. Использование исходных амплитуд в дальнейших вычислениях без перенормировки недопустимо.

Если что-то из этого не соответствует действительности - укажите.

Составить список того, что я ещё не знаю и чего ещё не понял, чтобы правильно ответить на вопрос - я по понятным причинам не могу. Здесь мне особенно нужна помощь. Что именно я должен понять и принять во внимание, чтобы правильно найти решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение20.06.2019, 17:08 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
fps24 в сообщении #1400334 писал(а):
Но причина этого в том, что сам вопрос мне не вполне понятен.
Требуется решить задачу. Ответ я написал. Требуется написать, как его получить, исходя из правил квантовой механики.
fps24 в сообщении #1400334 писал(а):
Из прочитанного в учебниках я понял следующее
Последние два пункта отношения к задаче не имеют и вообще не вполне ясно сформулированы (я могу придумать что там могло бы иметься в виду, но именно придумать, а прочитать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение20.06.2019, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fps24 в сообщении #1400334 писал(а):
3. Элементы разложения (базисные состояния) не имеют самостоятельного смысла и нужны лишь для описания спина.
...
Если что-то из этого не соответствует действительности - укажите.

Вот это далеко не всегда так. На практике стараются выбирать такие базисы, которые имеют тот или иной смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 13:26 


21/05/19
46
warlock66613 в сообщении #1400365 писал(а):
Требуется решить задачу.

Так и поступим. Поскольку объём моего непонимания в результате оказанной только что помощи не изменился - я буду решать задачу через последовательность рассуждений, а когда какое-то из дальнейших рассуждений окажется ложным - поправьте меня.

Постановка задачи выглядит следующим образом.

Есть эквивалентная схема эксперимента для частицы со спином $1$ :

Изображение

Волновая функция спина частицы в последнем приборе может быть представлена в виде спинора, образованного амплитудами попадания частицы в каждый из датчиков последнего прибора:$$\psi = \begin{pmatrix}\psi_+\\\psi_0\\\psi_-\end{pmatrix}$$
Требуется (в общем) определить эту волновую функцию и (в частности) вывести формулу для амплитуды $\psi_+$ попадания частицы в верхний датчик последнего прибора.

Такая постановка задачи в общем и в частном виде корректна ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 14:58 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
fps24, не, такая "постановка" мне не нравится совсем. Раз вы хотите строгости, я вам напишу всё строго. Но сегодня закончить не успею, придётся вам до завтра подождать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 18:06 


21/05/19
46
warlock66613 в сообщении #1400567 писал(а):
не, такая "постановка" мне не нравится совсем

Это понятно, ведь в такой постановке предложенное решение не годится.

Разберём подробнее, почему. Для этого нам понадобится таблица преобразования амплитуд при поворотах вокруг оси $y$ :

Изображение


Для начального спинора $$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$Волновая функция на входе второго прибора будет иметь вид: $$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\alpha)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\alpha\\\frac1 2 (1-\cos\alpha)\end{pmatrix}$$

Рассчитаем амплитуды для угла: $\alpha = 45^\circ$

$$\begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\frac\pi 4)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\frac\pi 4\\\frac1 2 (1-\cos\frac\pi 4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\;\,0.85\;\;\\-0.50\;\;\\\;\;\,0.15\;\;\end{pmatrix}$$

Проверим нормировку амплитуд: $0.85^2 + 0.5^2 + 0.15^2 = 1$


Известно, что перегородка на нижнем пути второго прибора обнуляет амплитуду соответствующего состояния в выходной волновой функции второго прибора. Предположим, что для выходной волновой функции второго прибора могут быть использованы формулы амплитуд из входной волновой функции:
$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\alpha)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\alpha\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}\frac1 2 (1+\cos\frac\pi 4)\\-\frac 1 {\sqrt 2} \sin\frac\pi 4\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\;\,0.85\;\;\\-0.50\;\;\\0\end{pmatrix}$$

Проверим нормировку амплитуд: $0.85^2 + 0.5^2 = 0.97$

Скопированные из входной волновой функции второго прибора амплитуды не удовлетворяют правилу нормировки в выходной волновой функции этого же прибора, поэтому перед использованием должны быть перенормированы, а значит их формулы в итоге должны стать другими.

Изображение

Несложно заметить, что из-за использования перегородки в первом приборе - его выходная волновая функция также отличается от входной (только там обнуляется не одна амплитуда, а сразу две), поэтому в первом приборе для составления правильной выходной волновой функции - также производится перенормировка амплитуд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 18:36 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
fps24, вы пишете чушь (про нормировку). Я, конечно, всё равно сделаю что обещал, но рекомендую вам прямо сейчас выкинуть из головы нормировки, волновые функции и спиноры, и читать квантмех ФЛФ с самого начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 20:28 


21/05/19
46
warlock66613 в сообщении #1400638 писал(а):
Я, конечно, всё равно сделаю что обещал, но рекомендую вам прямо сейчас выкинуть из головы нормировки, волновые функции и спиноры, и читать квантмех ФЛФ с самого начала.
Возможно, что первого не потребуется. Похоже, я начинаю понимать, к какому выводу Вы меня подводите.

Отделим прибор Штерна-Герлаха с тремя выходами от остальной части среднего прибора:

Изображение

Интересует, понимаю ли я, что в данном эксперименте на выходах прибора Штерна-Герлаха присутствуют частицы в трёх состояниях спина:

$\lvert+z_2\rangle$ , $\lvert0z_2\rangle$ и $\lvert-z_2\rangle$

Теперь я правильно понимаю суть вопроса ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение21.06.2019, 22:46 


21/05/19
46
Чтобы для вычисления показаний датчиков в последнем приборе не нужно было заботиться о перенормировке, вызванной потерей частиц - есть смысл слегка изменить схему эксперимента, заменив поглощающую стенку в нижнем пути среднего прибора на кольцевой пролётный датчик:

Изображение

Теперь все частицы доходят до последнего прибора и суть вопроса стала ещё нагляднее: Почему формула для амплитуды попадания в верхний датчик последнего прибора не изменилась: $$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle$$
Вопрос: почему формула всё ещё такая?

Ведь частицы на нижнем выходе прибора Штерна-Герлаха теперь находятся в собственном состоянии спина: $\lvert-z_2\rangle$ - и достигают последнего прибора так же, как и "верхние" частицы. Амплитуда попадания "нижней" частицы в верхний датчик последнего прибора известна:

$$\langle +z_1 \lvert -z_2 \rangle \langle -z_2 \lvert +z_1 \rangle$$

Почему же эта амплитуда не может использоваться в общей формуле с амплитудами "верхних" частиц.

Ответ очевиден - именно потому, что в данном эксперименте частицы на нижнем выходе прибора Штерна-Герлаха находятся в отдельном собственном состоянии спина: $\lvert-z_2\rangle$ . Именно из-за этого их амплитуды всегда должны учитываться отдельно.

Получается, что никаких отдельных состояний спина: $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert0z_2\rangle$ у "верхних" частиц нет. То, что на первый взгляд может показаться разными "состояниями частиц" на разных выходах прибора Штерна-Герлаха - на самом деле лишь разные проекции единого состояния спина "верхних" частиц на базис разложения. И исходная формула прямо на это указывает:
$$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle$$
Ведь различные базисные состояния могут входить в общую формулу для амплитуд только тогда, когда они являются не состояниями разных спинов, а лишь различными проекциями одного и того же спина на базис разложения. Базисное состояние: $\lvert-z_2\rangle$ - именно потому и не может поучаствовать в этой формуле, что оно является проекцией на тот же ортогональный базис, но совсем другого спина - спина частиц в собственном состоянии: $\lvert-z_2\rangle$ , выходящих из прибора Штерна-Герлаха по нижнему пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение22.06.2019, 01:42 


21/05/19
46
Изображение

Ещё одно преимущество изменённой схемы эксперимента в том, что она позволяет задать весьма поучительный вопрос о волновой функции спина на выходе среднего прибора. Не каждый из начинающих сообразит, что у спина на выходе среднего прибора нет волновой функции. Потому что там то самое "смешанное состояние спина", образованное двумя независимыми волновыми функциями.

1. Волновая функция спина для верхних путей: $$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\0\end{pmatrix}$$

2. Волновая функция спина для нижнего пути:
$$\begin{pmatrix}0\\0\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$

Поскольку каждая из этих волновых функций соответствует отдельному спину, то легко убедиться, что в данном случае на выходе среднего прибора могут появляться частицы в каком-то из двух разных состояний спина. Если при прохождении частицы через средний прибор срабатывает пролётный датчик в нижнем пути - волновая функция спина частицы коллапсирует во второй вариант. Если при прохождении частицы пролётный датчик не срабатывает - волновая функция спина частицы редуцируется к первому варианту.


Если же сравнить эти волновые функции с волновой функцией среднего прибора при отсутствии пролётного датчика в нижнем пути:
$$\begin{pmatrix}\langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle0z_2\lvert+z_1\rangle\\\langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix}$$
Становится понятно, почему в данном эксперименте при расчёте показаний датчиков в последнем приборе - не возникают проблемы с нормировкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение24.06.2019, 19:44 


21/05/19
46
Ранее в теме уже поднимался вопрос, касающийся классического эксперимента Фейнмана в том самом виде, в котором этот эксперимент подробно рассмотрен в ФЛФ:

Изображение

А именно, является ли следующая формула для амплитуды прохождения частицы через все приборы эксперимента в верхний датчик последнего прибора единственно правильной:

$\langle +z_1 \lvert +z_2 \rangle \langle +z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert 0z_2 \rangle \langle 0z_2 \lvert +z_1 \rangle + \langle +z_1 \lvert -z_2 \rangle \langle -z_2 \lvert +z_1 \rangle$

Было показано, что это не так. Собственный спин частицы не может зависеть от базиса описания, поэтому для всех этапов эксперимента, которые оставляют собственный спин частицы неизменным - правильность описывающей формулы в принципе не может зависеть от выбора базиса описания.

Далее будет приведено более формальное доказательство, основанное на использовании матриц преобразования.

Но прежде, чем приступить к доказательству - рассмотрим более подробно смысл термина "собственный спин частицы".

Если рассмотреть следующую схему эксперимента, то можно заметить, что в точке $A$ у спина частицы не существует однозначного базиса описания:

Изображение

В такой ситуации возможны следующие варианты:

1. Спин частицы объективно существует только в описании, поэтому при отсутствии у спина однозначного описания - объективное существование однозначного спина невозможно. В таком случае между волновыми функциями спина в первом и последнем приборах не может быть корреляции.

2. Частица может как-то сохранять "внутри себя" информацию о последнем однозначном описании своего спина. В таком случае между волновыми функциями спина в первом и последнем приборах будет наблюдаться корреляция.

3. Частица имеет собственный спин, не зависящий от внешнего описания. В таком случае волновые функции спина при тождественных базисах описания в первом и последнем приборах будут тождественны.

Результаты экспериментов (если я правильно понимаю) однозначно указывают, что в квантовой реальности реализуется последний из вариантов, т.е. указывают на наличие у частиц собственного спина, не зависящего от внешнего описания. Всегда, когда термин "спин частицы" используется без дополнительных уточнений - имеется в виду именно собственный спин, а не его проекция на базис описания.

Также, если в каком-то эксперименте прибор $A$ оказывает на спин частицы такое же влияние, как и прохождение частицы через "пустое место", то результаты эксперимента однозначно указывают, что прибор $A$ не изменяет спин проходящих частиц:

Изображение

Обратно, если другой прибор $B$ в аналогичном эксперименте приводит к другим результатам в последнем приборе, то результаты эксперимента однозначно указывают, что прибор $B$ изменяет спин проходящих частиц.

И это всё, что можно однозначно утверждать о собственном спине частиц по результатам экспериментов. Любые другие более "подробные" выводы относительно природы собственного спина являются лишь спекуляциями.

Собственный спин можно представлять совершенно по-разному. Можно (например) представлять, что у собственного спина есть собственное состояние. Такая спекуляция основана на том, что результатом измерения спина в некотором конкретном "базисе измерения" всегда является вещественное собственное значение спина. Это позволяет представить, будто в момент измерения - собственный спин частицы имеет не только собственное значение, но и вектор собственного состояния, дающий сразу после измерения однокомпонентное разложение в проекции на базис измерения. Тогда появляется дальнейший соблазн считать такую проекцию в единственное базисное состояние - особым "чистым состоянием" проекции, имеющим особую связь с вектором собственного состояния спина во "внутреннем спиновом пространстве" частицы. Подобные представления не несут большого вреда, если отчётливо понимать степень их спекулятивности. Представление, будто у собственного спина частицы есть вектор собственного состояния во "внутреннем спиновом пространстве" частицы - это в некотором смысле "спекуляция первого порядка". Понятно также, что любой ориентации вектора собственного состояния будет соответствовать количество различных возможных "чистых состояний" проекции, равное количеству ортогональных базисных состояний в базисе проекции. Например, для случая с электроном - каждому собственному состоянию спина электрона будет соответствовать как "чистое состояние" с однокомпонентным разложением $+z$, так и альтернативное "чистое состояние" в перевёрнутом базисе с однокомпонентным разложением $-z$. Вот почему обсуждение собственного спина в терминах "чистых состояний" проекции - это уже "спекуляция второго порядка".

Если же учесть тот факт, что термин "чистое состояние спина" не имеет однозначной трактовки и может в разных случаях использоваться в разных смыслах - всегда, когда возникает соблазн назвать какое-то состояние проекции спина "чистым" - его лучше назвать однокомпонентным разложением собственного состояния спина в проекции на базис описания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.
Сообщение24.06.2019, 21:00 


07/08/14
4231
fps24
А можно как то покороче?:
вы хотите сказать, что если измерить два раза спин одной и той же частицы то между результатами этих измерений будет корреляция?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.06.2019, 22:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: по-видимому, это пора прекращать. warlock66613, когда соберется, сможет написать комментарий и тут.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group