Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

[Munin]

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Фихтенгольца не так давно читал по серьезному, первый том разделы о сечениях Дедекинда, долго очень разбирался и не разобрался до конца

Этот раздел можно пропустить. Или хотя бы отложить на потом. Если вы учились в вузе, то вам так или иначе давали систему действительных чисел, а по Дедекинду или в другом варианте - не принципиально.

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Вообще не понял почему это нельзя касательную к двум веткам сразу, там ведь симметрия, то есть дзеркальная симметрия, тоже самое что творится на одной ветке, дзеркально отобразится второй ведь линия то ровная. Ну ладно.

Когда вы отражаете ветку с касательной, то у вас получается другая ветка, и другая касательная.

Надо понимать, что гипербола - это не просто ветка какой-то формы, не просто то, что этих веток две, но и определённое расстояние между ветками. И вообще их взаимное расположение.

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Пасибо, я вроде это не так давно учил по книге одного математика

Такие вещи намного полезнее, когда до них додумываешься сам :-) Вот более полную теорию изучать, конечно, придётся по книге.

-- 18.06.2019 01:33:31 --

frostysh в сообщении #1399833 писал(а):

Munin помню рекомендовал по аналитической геометрии что-то в моей теме о самообучении

Поискал, не нашёл, дайте ссылку.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1399825 писал(а):

При $p=0$ парабола превращается в прямую $y=0$.

Или в полупрямую? Зависит от того как превращается.

[rascas]

На мой взгляд, исследовать уравнение:

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

это очень элегантный способ.

Но могу предложить ещё один, более “геометрический метод”, основанный на свойстве касательной к параболе "отсекать половинные отрезки на оси абсцисс".

Если вершина параболы находится в начале координат и симметрична относительно оси ординат.
И пусть $K(x_1, y_1)$ - точка касания параболы и прямой. То эта прямая пересекает ось абсцисс в точке $A(\frac{x_1}{2},0)$

Пользуясь этим свойством также возможно стоить касательные к точке параболы с помощью циркуля и линейки.

[wrest]

rascas в сообщении #1399894 писал(а):

Пользуясь этим свойством также возможно стоить касательные к точке параболы с помощью циркуля и линейки.

Вот я как раз на это и намекал вот тут post1399729.html#p1399729
Но как-то сверхочевидного геометрического доказательства

rascas в сообщении #1399894 писал(а):

свойстве касательной к параболе "отсекать половинные отрезки на оси".

не нашел. То есть, априорное знание такого свойства конечно поможет решить задачу, но формально решение должно содержать доказательство этого свойства, что представляется более сложным чем решение квадратного уравнения. А так-то да, раз данная в задаче прямая $x-2y+5=0$ пересекает ось иксов в точке $y_0=0;x_0=-5$ то точка касания имеет координату $x_t=-x_0=5$, в ней прямая (и парабола) имеет координату $y_t=5$, а раз $y_t^2=2px_t$, то значит искомое $p=\dfrac{y_t^2}{2x_t}=2,5$ и в этом смысле задача устная.

-- 18.06.2019, 11:56 --

frostysh в сообщении #1399813 писал(а):

По определению параболы, наше неизвестное $p$ должно быть больше ноля, ведь это расстояние между директрисой и фокусом!

Нет, на $p$ в задаче никаких ограничений не накладывается.

frostysh в сообщении #1399813 писал(а):

$y$ тоже должен быть больше ноля, так как у нас первая четверть декартовых координат,

Такого ограничения в задаче тоже нет.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1399867 писал(а):

Или в полупрямую? Зависит от того как превращается.

Конечно, в прямую.

[frostysh]

EUgeneUS в сообщении #1399837 писал(а):

Тут такое дело. В условии задано уравнение кривой с параметром. При этом никаких дополнительных условий на параметр не задано.
Вы, конечно, можете спекулировать, что при $p=0$, это вовсе не парабола, а прямая. Поэтому, мол, мы рассматриваем любые значения $p$, кроме нуля.

Покажите, что при $p=0$ не выполняется условие касательности, и всех делов.
Имхо.
Старшие товарищи поправят, если не прав. Надеюсь.

Не понял смыслу, но если запустить камень по прямой (ну очень сильно его запустить) с положительным наклоном к земле (оно же ось абсцисс), то камень эту землю не пересечет никогда. Два с половиною — единственный параметр где будет касаться прямая и парабола с кучи парабол в первой четверти Декартовых координат, а этой параболы во второй и третьей четверти нет и быть не может. Поэтому возникает законный вопрос: а зачем нам такие предельные случаи в виде нулевого прицельного параметра?

arseniiv в сообщении #1399839 писал(а):

Даже не прямая, а полупрямая. Или в каком-то смысле двойная полупрямая. И выкидывать вот так просто вырожденные случаи нельзя. Они существуют не для того чтобы ими кидаться. И по многим параметрам этот случай больше парабола, чем эллипс, гипербола или нечто третье. А иногда и пара параллельных прямых — парабола

-- Вт июн 18, 2019 00:46:46 --

Ой, простите, я не тот случай в голове держал. Если её разжать, прямая, а мой если сжать.

Ничего не понял, но я все равно никогда не любил математиков...

ihq.pl в сообщении #1399840 писал(а):

равенство дискриминанта нулю - я бы назвал это алгебраическим подходом:) Более геометрично было бы воспользоваться тем, что нормальные векторы параболы и прямой в точке касания параллельны друг другу.

-- 17.06.2019, 23:49 --

впрочем, между алгеброй и геометрией разницы нет, Гельфанд понял это в возрасте 10 лет:))

И как это сделать в случае параболы без техники производных? Гельфанд, что-то даже когда-то слышал на парах, вроде гипотеза его есть какая-то...

Munin в сообщении #1399860 писал(а):

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Фихтенгольца не так давно читал по серьезному, первый том разделы о сечениях Дедекинда, долго очень разбирался и не разобрался до конца

Этот раздел можно пропустить. Или хотя бы отложить на потом. Если вы учились в вузе, то вам так или иначе давали систему действительных чисел, а по Дедекинду или в другом варианте - не принципиально.

По Дедекинду как-раз, у нас первый курс и второй курсы математики похожи на курс Фихтенгольца были, типа для физиков, упрощенное. Но проблема в том, что ваш покорный слуга будучи студентом либо спал на парах, либо спал или играл в игры в общеге вместо пар. Поэтому сильно не помню, пришлось по сути заново...

Munin в сообщении #1399860 писал(а):

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Вообще не понял почему это нельзя касательную к двум веткам сразу, там ведь симметрия, то есть дзеркальная симметрия, тоже самое что творится на одной ветке, дзеркально отобразится второй ведь линия то ровная. Ну ладно.

Когда вы отражаете ветку с касательной, то у вас получается другая ветка, и другая касательная.

Надо понимать, что гипербола - это не просто ветка какой-то формы, не просто то, что этих веток две, но и определённое расстояние между ветками. И вообще их взаимное расположение.

Пфф... Непонятно, ну ладно. Я могу очень долго что-то разбирать, даже элементарное. Вообще, если прикинуть, гипербола то симетричная, как и ее асимптота или касательная, оно должно переходить само в себя при отражении.

Munin в сообщении #1399860 писал(а):

frostysh в сообщении #1399833 писал(а):

Munin помню рекомендовал по аналитической геометрии что-то в моей теме о самообучении

Поискал, не нашёл, дайте ссылку.

А да, верно, Вы там только за это, за преобразование координат посоветовали, то я перепутал.

(Оффтоп)

Вот, topic111593-15.html, надо будет еще вкинуть туда книгу Артура Бенджамина! Мне очень помогла! Только перевод в моей плохой, не, не плохой но с ошибками и опечатками.
Да... Посмотреть на свои посты годы назад, незадолго после универа, кем тогда только не пробовал стать, планы — Наполеон видпочывае. Резок был, и очень сердился когда мою манеру печатать или говорить путали со стеганкой. Даже на вашем форуме забанили (пару раз походу, не помню ). И что изменилось за много лет? В принципе ничего... :) Мда... :(
Хотя ща не пишу "Я" с большой буквы через то что надоело объяснять что это не шифр.

rascas, wrest — О! Кстати да! Хотел еще понять по геометрии почему это все так, разберу.

[ihq.pl]

frostysh в сообщении #1400058 писал(а):

И как это сделать в случае параболы без техники производных?

что-то из школы помню, что нормаль к параболе задается вектором $(p,-y)$. Но вообще да, это надо еще доказать:))

-- 19.06.2019, 11:23 --

frostysh в сообщении #1400058 писал(а):

Гельфанд, что-то даже когда-то слышал на парах, вроде гипотеза его есть какая-то...

Уникальный человек. Единственный на планете академик без диплома и аттестата о законченном среднем.

[Munin]

frostysh в сообщении #1400058 писал(а):

Я могу очень долго что-то разбирать, даже элементарное. Вообще, если прикинуть, гипербола то симетричная, как и ее асимптота или касательная, оно должно переходить само в себя при отражении.

Ну прикиньте, это полезно. Только не забрасывайте этот вопрос, а поставьте его в список требующих ответа.

frostysh в сообщении #1400058 писал(а):

По Дедекинду как-раз, у нас первый курс и второй курсы математики похожи на курс Фихтенгольца были, типа для физиков, упрощенное. Но проблема в том, что ваш покорный слуга будучи студентом либо спал на парах, либо спал или играл в игры в общеге вместо пар. Поэтому сильно не помню, пришлось по сути заново...

Тут может быть два ответа.

1. Если вам интересен сам математический анализ. То поначалу он хорошо "едет" даже без строгого понимания теории действительных чисел. То есть, достаточно понимать действительные числа (числовую прямую) на школьном уровне, и соотносить с этим пониманием всё то, что излагается дальше: предел, непрерывность, производная, первообразная, интеграл Римана, ряды... Если интересоваться больше техникой, а не строгими обоснованиями и "патологическими контрпримерами", то сойдёт.

2. Если вам интересно само построение действительных чисел, с точки зрения мат. анализа. То существует три конструктивных подхода:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Конструктивные_способы_определения_вещественного_числа

и существует аксиоматический подход:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число#Аксиоматический_подход

По своим результатам и предоставляемым возможностям они равносильны, выбор одного из них - дело вкуса.
Кроме того, зачем всё это затевается? Чтобы можно было по действительным числам брать пределы. (По рациональным - не получится, потому что, допустим, вы захотите найти предел в точке $\pi,$ а такой точки-то и нет!) С более общей и мощной точки зрения, для этого надо ввести на множестве действительных чисел топологическую структуру, которая описывает, как следует "бесконечно приближаться" к каким-то точкам. В разных учебниках рассказывают как разные подходы к построению действительных чисел, и топологический подход.

Так что, уточните, надо ли вам, и тогда можно будет понять направление разговора.

[frostysh]

ihq.pl в сообщении #1400064 писал(а):

что-то из школы помню, что нормаль к параболе задается вектором $(p,-y)$. Но вообще да, это надо еще доказать:))

-- 19.06.2019, 11:23 --

frostysh в сообщении #1400058 писал(а):

Гельфанд, что-то даже когда-то слышал на парах, вроде гипотеза его есть какая-то...

Уникальный человек. Единственный на планете академик без диплома и аттестата о законченном среднем.

Это точка на Декартовой плоскости или скалярное произведение двух векторов там-же? Или $p$ — это прицельный параметр параболы, а $(-y)$ — это ордината точки касания?

Гельфанд, это з бородой такой (у Википедии посмотрел)? Некто Гельфанд Михаил Сергеевич 1963-го года рождения, СССР? Я думал это короче один с тех математиков что во времена Канторов всяких жили, там гипотеза есть Гельфанда тоже какого-то, по линейной алгебре или геометрии, только доисторического Гельдфанда, очень известная гипотеза, мы когда-то учили, фамилия запомнилась.

Munin Та да, опять штука что с толку сбивает, обычные представление, как это нельзя построить касательную сразу к двум веткам гиперболы на Декартовой то плоскости... Представить это сложно, ибо тогда или линия кривая должны быть, или гипербола не симетрическая.

1) Поэтому и читаю книгу Зайцева для техникумов, там не очень строго, но зато очень удобно! А потом уже будет "второй порядок приближения" у Фихтенгольца.
Да мне просто чтобы представить, Дедекиндовские сечения вроде ничего так, для этого подходят. Мне сложно изучать то, что я не могу вообразить, хотя бы примерно, как это сказать, нарисовать красивую картинку в своем воображении... Поэтому конструктивный подход для меня неплох, хотя и аксиоматический норм, я легко могу представить что-то как аксиому, а потом строить с этих аксиом "логический дом", если нужно.

2) О боже! Почитал немного статью о Канторе и действительных числах... Представить действительное число как что-то, на подобии смысла знака равно, если я верно понял, мда... Фантазия в человека была! А вообще, там похоже на Дедекиндовские сечения, тоже множества надо учить и учить, и топологическую структуру этих множеств...

[arseniiv]

Munin в сообщении #1400083 писал(а):

То существует три конструктивных подхода

Больше, просто эти три самые известные.

UPD: Несколько других например тут: https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers#Explicit_constructions_of_models. Меня зацепила как-то описанная там в какой-то детальности последней конструкция, минующая построение рациональных (по этой ссылке подробнее, и там есть ссылка на статью, в которой приведены все нужные доказательства). Она как раз достаточно проста, чтобы быть дидактически не сильно хуже классических.

[ihq.pl]

frostysh в сообщении #1400105 писал(а):

Это точка на Декартовой плоскости или скалярное произведение двух векторов там-же? Или $p$ — это прицельный параметр параболы, а $(-y)$ — это ордината точки касания?

понимать это надо так: пусть $q=(x,y)$ - точка параболы $y^2=2px$. Вектор $\tau=(y,p)$ является касательным к параболе в $q$.

frostysh в сообщении #1400105 писал(а):

Гельфанд, это з бородой такой (у Википедии посмотрел)? Некто Гельфанд Михаил Сергеевич 1963-го года рождения, СССР?

Нет, это внук того Гельфанда. Есть книжка Тихомирова. Вот, там о Гельфанде много интересного написано. Не помню как называется. Что-то типа мемуаров на тему мех-мат МГУ

[Munin]

frostysh в сообщении #1400105 писал(а):

Та да, опять штука что с толку сбивает, обычные представление, как это нельзя построить касательную сразу к двум веткам гиперболы на Декартовой то плоскости...

Ну вот так вот и нельзя. "Не дотягивается" :-)

Ну вот вам простой пример. Нарисуйте две концентрические окружности разных радиусов. А теперь попробуйте провести к ним сразу к двум общую касательную.

С гиперболой, конечно, другой случай.

Но и там и там я рекомендую рассмотреть сначала касательные к одной из двух линий, и сообразить, какую область на плоскости эти касательные заметают.

-- 19.06.2019 16:39:55 --



As always, interesting side note!

[frostysh]

ihq.pl То есть Вы вектор типа по базису раскладываете? То есть результирующий вектор, это будет сума тех двух векторов (что в скобках), паралельных осям координат? А начало этого вектора будет соответственно в точке касания?
Я просто не помню таких обозначений, еще не начал линейную алгебру повторять, ну скорей учить заново... Хотя все ровно не пойму зачем векторы тут и как понять что именно этот вектор будет касательным а не какой-то другой.

Ага, почитаю Вики за того математика.

Munin А, то есть это свойство пределов на Декартовой плоскости? Как писалось в одной научно-популярной книге по Математике (Артур Бенджамин): если ткнуть карандашом в числовую ось, то точно попадешь в иррациональное число! А Декартова плоскость это две числовые оси, тобиш тоже попадем в множество действительных чисел!
То есть смысл в том, что выбирая касательную (границу), мы бесконечно точно (ну в природе так нельзя, но в Математике можно), попадаем в какое-то число, иррациональное, и второй раз, на второй ветке, также попасть одновременно мы не можем! Ведь множество вещественных чисел нельзя даже посчитать так просто (это по моему великий математик Кантор еще довел, там чете о квадратах). Это как продублировать бесконечную точность (бесконечность) что априори невозможно ибо бесконечность не число, и продублировать то, что мы не знаем что, нельзя. Верный ли у меня ход мыслей?

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1400193 писал(а):

То есть смысл в том, что выбирая касательную (границу), мы бесконечно точно (ну в природе так нельзя, но в Математике можно), попадаем в какое-то число, иррациональное, и второй раз, на второй ветке, также попасть одновременно мы не можем!

Нет, по более осязаемым причинам (а это даже комментировать не хочется). Посмотрите какой наклон у касательных к каждой ветке.

А если бы вам дали две не концентрические окружности, вы бы вполне могли найти общую касательную, и даже не одну, а часто и не две.

-- Ср июн 19, 2019 22:31:39 --

Вообще можно рассмотреть область, из точки которой можно провести к некоторому коническому сечению касательную. Она довольно интересная.

[Munin]

frostysh в сообщении #1400193 писал(а):

А, то есть это свойство пределов на Декартовой плоскости?

Это свойство именно гиперболы!!! На другие кривые не обобщается!!!

Просто надо не рассуждать, а честно посчитать. Можно с использованием матанализа, это будет очень быстро.

А то, про что вы говорите, изучает алгебраическая геометрия, и намного позже и сложнее. Там можно сделать "рациональную плоскость" $\mathbb{Q}^2,$ и обычные прямые и кривые на ней будут "на рисунке выглядеть так же", но по сути они будут "почти везде дырявыми". Можно случайно соорудить линию, которая будет совсем явно дырявой: например, окружность с центром в $(0,0)$ с радиусом $\pi$ не имеет ни одной точки вообще.