Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

[wrest]

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Квадратного уравнения в котором три неизвестных? Мы не знаем координаты точки касания, и мы не знаем прицельного параметра, мы не знаем фокуса параболы ни директрисы.

У вас ничего такого не спрашивают. Спрашивают только чему равно $p$.
Решать надо уравнение вот это:

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

Где $y$ -- неизвестное.

-- 17.06.2019, 19:08 --

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Это просто сложная задача,

Это устная задача, ващето. Зачем вы вспомнили про фокус, директрису и т.п., совсем неясно. Это вообще не предполагается в задаче вспоминать никак.

Для рисования порекомендую сайт (и есть приложения) geogebra.org (графики функций: https://www.geogebra.org/graphing )

[DeBill]

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):

Хотя если честно, не пойму к чему бы это...

Ну, дык: когда у Вас появится квадратное уравнение, про него можно сказать: оно имеет два, одно, или ни одного решения (что и будет соответствовать ТРЕМ тем вопросам).
А замечание про студентов - да так, просто к слову - и совсем не про Вас - уж больно то вопрос тупой, разве нет? И ступор - именно от этого: не ожидает студент такой тупости примитивности вопроса , и ищет в нем скрытую подлянку....
Ну, а все же, когда-сколько корней у квадратного уравнения?

[frostysh]

EUgeneUS в сообщении #1399769 писал(а):

frostysh

Возвращаясь к параболе и прямой.
Если у Вас есть квадратное уравнение, то
а) сколько у него может быть решений?
б) при каких условиях получается то или иное количество решений?

a) Ну например бесконечно много, вообще нет решений, два решения и одно.
б) Если у нас, не знаю как по русски, довільна (любая) прямая вида $y = kx + b$ и любая парабола вида $y^{2} = 2px$, в одних и тех же координатах, соответственно будет бесконечно много точек касания этих всех парабол и прямых.
Если у нас заданая прямая выше упомянутого вида, и любая парабола с вершиной в центре координат (как выше написано), то возможны четыре случая: оно пересекается раз, оно пересекается дважды, оно касается, и оно не пересекается и не касается вовсе! По условии задачи эти штуки касаются, то есть наклон прямой $k$ и ее здвиг $b$ точно как-то связан с прицельным параметром параболы $p$, иначе пересеклось бы. Ну и количество общих точек, решений, будет соответственным, только я вот не пойму, считать ли в даном ракурсе касание пересечением, ну ладно.

wrest Ну уравнение:

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

$$y^{2} = 4py - 10p$$

$$y^{2} - 4py + 10p = 0$$

И что? Ну кому устная задача, а кому и не... Да, GeoGebra, когда-то порекомендовали на другом форуме, скачал, но почему-то до сих пор карякаю графики в GIMP.

DeBill То есть найти минимальное $p$ параболы при котором не будет корней в этом уравнении? В квадратному уравнении возможно отсутствие решений в области действительных чисел, но в любом случае будет один или два корня в области комплексных, это я когда-то давно-давно читал (и даже шото учил) и это называется основная теорема алгебры. Ну в нашем, действительном случае либо решений (корней) не будет, либо их будет один, либо два.

(Оффтоп)

Если ваши комы посреди пробелов и четыре точки в конце это стеганография, не тратьте времени попусту, я в этом не разбираюсь.

ihq.pl Что? Я пока не вижу ни одного пути к решению.

[EUgeneUS]

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

a) Ну например бесконечно много, вообще нет решений, два решения и одно.
б) Если у нас, не знаю как по русски, довільна (любая) прямая вида $y = kx + b$ и любая парабола вида $y^{2} = 2px$, в одних и тех же координатах, соответственно будет бесконечно много точек касания этих всех парабол и прямых.

С русским у Вас всё в порядке. А вот с математикой не очень.
Есть прямая, не любая, а конкретная. Есть парабола не любая, а конкретная. Сколько точек пересечения прямой и параболы может быть?
Параболу $y^2=2px$ нужно рассматривать, как одну, а не как семейство.

-- 17.06.2019, 20:34 --

UPD: а вообще-то вопросы был о количестве решений квадратного уравнения (про параболу и прямую вообще забыли). Тоже без ответа остались.

[wrest]

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Ну уравнение:

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

$$y^{2} = 4py - 10p$$

$$y^{2} - 4py + 10p = 0$$

И что?

Надо его решить.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1399808 писал(а):

Надо его решить.

Зачем?
Нужно ответить на заданные вопросы про количество решений квадратного уравнения.
А потом...
"Чьёрт побьери" (с) не знаю, что сказать, чтобы ненароком не решить учебную задачу.

[frostysh]

EUgeneUS в сообщении #1399802 писал(а):

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

a) Ну например бесконечно много, вообще нет решений, два решения и одно.
б) Если у нас, не знаю как по русски, довільна (любая) прямая вида $y = kx + b$ и любая парабола вида $y^{2} = 2px$, в одних и тех же координатах, соответственно будет бесконечно много точек касания этих всех парабол и прямых.

С русским у Вас всё в порядке. А вот с математикой не очень.
Есть прямая, не любая, а конкретная. Есть парабола не любая, а конкретная. Сколько точек пересечения прямой и параболы может быть?
Параболу $y^2=2px$ нужно рассматривать, как одну, а не как семейство.

-- 17.06.2019, 20:34 --

UPD: а вообще-то вопросы был о количестве решений квадратного уравнения (про параболу и прямую вообще забыли). Тоже без ответа остались.

Та я вроде написал, что от нуля до двух корней, то есть три случая решений квадратного уравнения. Две точки пересечения, одна точка пересечения и ни одной точки пересечения, три случая. То есть касательная это попадает в разряд "ни одной точки пересечения"? Ага...

(Оффтоп)

Это у меня просто спелчекер настроен на русский, а так я не очень. Языки это не мое.

wrest в сообщении #1399808 писал(а):

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Ну уравнение:

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

$$y^{2} = 4py - 10p$$

$$y^{2} - 4py + 10p = 0$$

И что?

Надо его решить.

Ага... По определению параболы, наше неизвестное $p$ должно быть больше ноля, ведь это расстояние между директрисой и фокусом! $y$ тоже должен быть больше ноля, так как у нас первая четверть декартовых координат, там где точка соприкосновения, и точка пересечения может быть в этом случае только одна, как и точка соприкосновения, как и нужная нам парабола в которой прицельный параметр $p$ есть величина постоянная. Надо найти тот момент перехода, тонкую границу, с пространства вообще не имеет общих точек, к пространству имеет одну общую точку, это и будет смысл касательной, и со всего множества парабол выбрать только одну. Итак имеем квадратное уравнение, которое получилось в следствии того что мы допустили присутствие общей точки между параболой и прямой...

$$y^{2} - 4py + 10p = 0$$

Запишем так называемый дискриминант этого уравнения, в следствии того что $p$ будет постоянно:

$$D = b^{2} - 4ac, D = (-4p)^{2} - 4 \cdot 10p = 16p^{2} - 40p$$

C определения дискриминанта для квадратного уравнения, возможны три дальнейших развития событий: $D > 0$ — это две общих точки, в нашем случае будет только одна, и то не любая, ибо парабола не сможет перелезть в отрицательную ось абсцис где наша прямая присутствует, $D < 0$ — это пространство ни одной совместной точки, и наконец $D = 0$ — это одна точка пересечения, то есть пограничным числом для $D$ будет ноль! Это граничная точка пересечения, то есть касательная!

$$16p^{2} - 40p = 0$$

$$4p(4p - 10) = 0$$

$$4p - 10 = 0$$

$$4p = 10$$

$$p = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Что и соответствует ответу в книге! Это божественно! Любой прицельный параметр больше $\frac{5}{2}$ будет также соответствовать одной точке пересечения в первой четверти Декартових координат на плоскости, но вот два с половиною, это граница. Как говорил один деятель, товарищи! Я вижу что это Маргерет Тетчер, но у меня написано Индира Ганди! Хууух! Наконец задача решилась! Спасибо огромное за помощь с этой задачей всем!

[DeBill]

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Оффтоп)
Если ваши комы посреди пробелов и четыре точки в конце это стеганография, не тратьте времени попусту, я в этом не разбираюсь.

(Оффтоп)

С точками - да, грубая ошибка вышла, но пробелов - не было! Были - тире: я их люблю (а Вы, вроде, нет...) . Перебор с ними небольшой вышел, Да И не СлишКом я кРасИво МоИ мысли НАсчет Нашей задачи Там изложил... А СтеганОграфии - не, наС такому не уЧилИ, Только криптогрАфиеЙ чуТок владЕем!..

-- 17.06.2019, 23:32 --

Блин, пока сочинял фразу, ТС уже все сам сделал....

[EUgeneUS]

frostysh
У Вас ус отклеился.
Вы корень потеряли $p=0$
Ентот корень, конечно, не подходит, но вот так безмолвно его потерять на экзамене не выйдет

-- 17.06.2019, 21:40 --

DeBill в сообщении #1399814 писал(а):

Блин, пока сочинял фразу,

Фраза чудесная

[frostysh]

DeBill

(Оффтоп)

Да я просто подметил, мне не видно ошибок или чего-то такого. Стеганография это подраздел криптографии в котором изучают шифрование с целью сокрытия самой видимости информации. Сейчас это очень широко используется среди больших масс людей что так или иначе проводят много времени за компьютерами и всемирной информационной сетью в частности. Я сначала не понимал, но все чаще и чаще встречал это на форумах, да и вообще, в любом контенте. Особое разпостранение такие техники получили среде соответствующих течений и движений, идеологических, особо популярных на сей. Если добавить к этому что ваш покорный слуга, мягко говоря не очень верит в завершенные идеологии, мировоззрения, в заложенные природой правила для людей, дарвинизмы, и тому подобное, легко понять что стеганография, даже при непонимании ее, вызывает у меня скорей негативные эмоции. Хотя отдаю себе отчет, что верю во всякие там эфемерные вещи типа справедливость, и что я сентиментален, поэтому с идеологическими у меня не очень... Извиняйте за такую длинную "телегу", надо это в профили запечетлить, просто как показывает опыт, люди часто принимают меня за чорти что.

EUgeneUS в сообщении #1399816 писал(а):

frostysh
У Вас ус отклеился.
Вы корень потеряли $p=0$
Ентот корень, конечно, не подходит, но вот так безмолвно его потерять на экзамене не выйдет

Нет, не потерял, я сразу напечатал что по определению параболы прицельный параметр не может равняться нулю, и я видел это тривиальное решение на протяжении всего процесса.

[EUgeneUS]

frostysh в сообщении #1399821 писал(а):

Нет, не потерял, я сразу напечатал что по определению параболы прицельный параметр не может равняться нулю, и я видел это тривиальное решение на протяжении всего процесса.

Как Вы сложно изъясняетесь... эх. И, имхо, дело не в языковом барьере.
Ну, просто же. При $p=0$ парабола превращается в шорты прямую $y=0$.
Две прямые или пересекаются в одной точке (но тогда они не касательны друг другу), или не пересекаются, не имеют общих точек (параллельны), или совпадают.
Так как при $p=0$ имеем одну общую точку двух прямых, то прямые пересекаются, не касательны.

[frostysh]

EUgeneUS Но ведь прямая это не парабола! Зачем нам прямая? С таким же успехом можно назвать прямой любое коническое сечение, только в эллипса например это будет при нулевой меньшей оси, в гиперболы при нулевом расстоянии между фокусом и вершиной.

Кстати к слову, мы когда, давно, в универе учили также эвольвенты и циклоиды, и еще что-то там, а не только конические сечения. Просто те-же эвольвенты встречаются в Физике, например траектория какой-то точки на колесе движущегося велосипеда, это я к тому, что хотелось бы на таком уровне, как сказать, для меня короче. :) Поучить это все, раз уже с прямыми и коническими сечениями дело пошло! Еще конечно трехмерные гиперболоиды там всякие... Есть такая, какая-то книжечка на примете? Munin помню рекомендовал по аналитической геометрии что-то в моей теме о самообучении, и не только этот юзер а еще многи, нужно будет заглянуть в темку еще разок...

П. С. Ушел повторять то что учил и также учить начала математического анализа...

[EUgeneUS]

frostysh в сообщении #1399833 писал(а):

EUgeneUS Но ведь прямая это не парабола! Зачем нам прямая?

"Не. Кузнец нам не нужен. Зачем нам кузнец?"

Тут такое дело. В условии задано уравнение кривой с параметром. При этом никаких дополнительных условий на параметр не задано.
Вы, конечно, можете спекулировать, что при $p=0$, это вовсе не парабола, а прямая. Поэтому, мол, мы рассматриваем любые значения $p$, кроме нуля.

Покажите, что при $p=0$ не выполняется условие касательности, и всех делов.
Имхо.
Старшие товарищи поправят, если не прав. Надеюсь.

[arseniiv]

Даже не прямая, а полупрямая. Или в каком-то смысле двойная полупрямая. И выкидывать вот так просто вырожденные случаи нельзя. Они существуют не для того чтобы ими кидаться. И по многим параметрам этот случай больше парабола, чем эллипс, гипербола или нечто третье. А иногда и пара параллельных прямых — парабола

-- Вт июн 18, 2019 00:46:46 --

Ой, простите, я не тот случай в голове держал. Если её разжать, прямая, а мой если сжать.

[ihq.pl]

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Что? Я пока не вижу ни одного пути к решению.

равенство дискриминанта нулю - я бы назвал это алгебраическим подходом:) Более геометрично было бы воспользоваться тем, что нормальные векторы параболы и прямой в точке касания параллельны друг другу.

-- 17.06.2019, 23:49 --

впрочем, между алгеброй и геометрией разницы нет, Гельфанд понял это в возрасте 10 лет:))