Еще одно доказательство теоремы Брауэра

[Munin]

Я тут обнаружил, что у меня перепутались две теоремы о неподвижной точке:
- одна работает на компактном пространстве (как везде в этой теме, вначале шар, потом отрезок);
- другая требует сжимающего отображения (например, она могла бы работать для $(-1,1)\to(-1+\varepsilon,1-\varepsilon)$).
Как они соотносятся между собой?

[пианист]

По моему опыту первое немного помощнее, но при этом сложнее в использовании.
Для зК для ОДУ, например, можно и то, и то применить, но первое емнис не даст единственности. Так и так надо будет что-то типа липшицевости выудить, но для разного ;)
Как-то так.

[Munin]

Я имел в виду, следуют ли они одна из другой, являются ли частными случаями? Или их ситуации применимости существенно различаются? Основаны ли они на разных принципах, или в глубине родственны? И т. д.

[пианист]

У меня они на разных полочках (в голове, в смысле).
Насчет частных случаев.. как-то даже не приходило в голову :о но не исключено, что и..
Применяются, таки да, примерно в одинаковых случаях афаик, и, по сути, одно и то же надо (априорные оценки).
Только первое это топологическое чисто (кстати, Вы, если не знаете, гляньте лемму Шпернера - прикольная штука!), а второе метрика задействуется.

[pogulyat_vyshel]

пианист в сообщении #1399262 писал(а):

Насчет частных случаев.. как-то даже не приходило в голову :о но не исключено, что и..

Не ну как. Принцип сжатых отображений годится для любого полного метрического пространства, теорема Брауэра -- для множества, гомеоморфного шару $\mathbb{R}^m$. Но зато в теореме Брауэра отображение не обязано сжимать. В теореме Брауэра нет единственности, в принципе сжатых отображений -- есть. Различия можно долго перечислять. Теоремы по сути разные. Это даже если бесконечномерных обобщений теоремы Брауэра не касаться.

-- 14.06.2019, 17:48 --

Примените, попробуйте, сюда теорему Брауэра https://dxdy.ru/topic134648.html
Теорема Шаудера тоже не работает, только принцип сжатых отображений

[Munin]

pogulyat_vyshel
Большое спасибо за пояснения!

пианист
Тогда ваш пример с лямбдой может быть примером как раз второго типа, а не первого... Функции от строк - сжимающее отображение.

[george66]

Кому интересна тема неподвижных точек
https://arxiv.org/pdf/1201.0340v1.pdf
Есть результат (теорема Кнастера-Тарского), дающий неподвижную точку без непрерывности (монотонное отображение полной решётки в себя имеет неподвижную точку). Этот результат неожиданно улучшил один грузин (Патарая). В начале статьи обзор теорем о неподвижной точки и их связи с ординалами, затем автор изучает, что из них можно доказать в интуиционистской логике, а чего нельзя.

[demolishka]

В условиях теоремы Брауэра нет смысла говорить про непрерывную зависимость неподвижной точки от параметра поскольку эта неподвижная точка тупо может пропасть, как ноль $x^{2}$ при возмущении $x^{2} + \varepsilon$ для $\varepsilon>0$ (естественно где-нибудь в другом месте она появится, но будет лежать за пределами окрестности данной точки). А вот в рамках принципа сжимающих отображений, когда есть единственность, можно получить и непрерывную зависимость (надо требовать одинаковой константы сжатия для всех отображений семейства).