О хаосе в дискретных лагранжевых системах

[pogulyat_vyshel]

Начнем со следующей гамильтоновой системы

$$ H(t,x,p)=\frac{1}{2}|p|^2+V(x)\sum_{j\in\mathbb{Z}}\delta (t-2\pi j).\qquad (1)$$

Здесь $p=(p_1,\ldots,p_m),\quad x=(x^1,\ldots,x^m)\in\mathbb{R}^m;$ гладкая функция $V$ определена в $\mathbb{R}^m$;
через $|\cdot|$ обозначена стандартная евклидова норма; $\delta(t)$ -- $\delta$-функция. Таким образом, функция Гамильтона $2\pi$-периодична по $t$.

То есть по системе стукают молотком через промежутки времени $2\pi$. Замечательно то, что если сила, заданная потенциалом $V$, достаточно велика, то систему швыряет от одного положения равновесия до другого, вдоль любой наперед заданной ломаной, соединяющей эти положения равновесия. Это один из эффектов, который принято ассоциировать с динамическим хаосом.

Перейдем к строгим формулировкам.

Легко показать, что любое решение этой системы представляет собой кусочно постоянную функцию $p(t)$ и непрерывную, кусочно линейную функцию $x(t)$.



Вводя обозначения

$$x_{\pm}=x(\pm \pi), \quad x_0=x(0),\quad p_{\pm}=\lim_{t\to \pm 0}p(t)$$

находим
формулы, характеризующие поведение системы на периоде $[-\pi,\pi]\ni t$:

$$x_{\pm}=x_0\pm \pi p_\pm,\quad p_+-p_-=-\frac{\partial V}{\partial x}(x_0).$$

Откуда

$$x_+-2x_0+x_-=-\pi\frac{\partial V}{\partial x}(x_0).$$

Следовательно, значения $x_k=x(\pi k),\quad k\in\mathbb{Z}$ связаны соотношением

$$ x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}=-\pi\frac{\partial V}{\partial x}(x_k).\qquad (2)$$

Эта формула может быть записана с помощью лагранжиана:

$$\frac{\partial}{\partial x_k}\Big(L(x_{k-1},x_k)+L(x_k,x_{k+1})\Big)=0,\quad L(x,y)=\frac{1}{2}|x-y|^2-\pi V(x).$$

Формула (2) задает отображение $(x_{k-1},x_k)\mapsto (x_k,x_{k+1})$.

При $m=1,\quad V(x)=\mathrm{const}\cdot\cos x$ это отображение является лагранжевой версией отображения Чирикова.

Антиинтегрируемый предел.
Рассмотрим следующую дискретную лагранжеву систему:

$$ x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}=- \frac{1}{\varepsilon}\frac{\partial V}{\partial x}(x_k).\qquad (3)$$

Через $\varepsilon$ обозначен малый параметр, $\varepsilon> 0.$

Предположим, что критические точки $x^*_1,\ldots,x^*_N$ (возможно есть и другие критические точки, но мы выбрали это конечное подмножество) функции $V$ невырождены:

$$\frac{\partial V}{\partial x}(x^*_j)=0,\quad \det\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(x^*_j)\ne 0,\quad j=1,\ldots,N.$$

Отметим, что каждая из этих точек является положением равновесия дискретной лагранжевой системы (3): последовательность $x_k=x^*_j$ есть решение рекуррентного соотношения (3).

Через $C=\{x^*_1,\ldots,x^*_N\}$ обозначим множество этих критических точек.


Теорема. Для любого достаточно малого $\mu>0$ и любой последовательности

$$X=\{X_k\}_{k\in\mathbb{Z}},\quad X_k\in C$$

существует такое $\varepsilon_0>0$, что для всякого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ найдется решение $\{\tilde x_k\}$ дискретной лагранжевой системы (3) такое, что

$$|\tilde x_k-X_k|\le \mu,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Схема доказательства. Введем множество $M_\mu(X)$ состоящее из последовательностей $\{x_k\},\quad k\in\mathbb{Z}$ таких, что $|x_k-X_k|\le \mu$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. Это множество является полным метрическим пространством относительно метрики

$$d(x',x'')=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|x'_k-x''_k|,\qquad x'=\{x'_k\},\quad x''=\{x''_k\}\in M_\mu(X).$$

Отображение $x\mapsto \frac{\partial V}{\partial x}(x)$ является диффеоморфизмом малой окрестности $U_j$ точки $x^*_j$ на малую окрестность нуля $V_j$. Причем выберем эти окрестности так, что $U_i\cap U_j=\emptyset,\quad i\ne j.$

Через $F_j:V_j\to U_j$ обозначим обратный диффеоморфизм, $F_j(0)=x^*_j$.

Выберем $\mu>0$ настолько малым, что бы шар

$$B_j(\mu)=\{x\in\mathbb{R}^m\mid|x-x^*_j|\le\mu\}\subset U_j.$$

Тогда при достаточно малых $\varepsilon>0$ уравнение (3) эквивалентно следующему

$$x_k=F_{l(k)}\Big(-\varepsilon(x_{k+1}-2x_k+x_{k-1})\Big),\quad k\in\mathbb{Z}.\qquad (4)$$

В этой системе уравнений $l(k)$ выбрано из условия $X_k=x^*_{l(k)}$.
Система (4) представляет собой задачу о неподвижной точке. Легко показать, что отображение, стоящее в правой части ,при малых $\varepsilon$ является сжатием пространства $M_\mu(X)$.