2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5604
Munin в сообщении #1398899 писал(а):
А, понятно! Звёздочка там, где в индексной нотации стоит "сворачивающий индекс".


Вроде не обязательно.

Я не очень понимаю, чем вышеуказанное объяснение плохо. Не всегда, но часто звёздочка обозначает индуцированное отображение: отображению (морфизму) пространств $f\colon X\to Y$ соответствует отображение структур над этими пространствами, которое обозначается $f_*$ или $f^*$ в зависимости от того, в ту же сторону действует индуцированное отображение или в обратную.

Единственная неточность -- то, что этих обозначений всего два, а структур много. Обычно какая именно структура -- или ясно из контекста, или написано явно (например, $f^*\colon C(Y)\to C(X)$), или может быть при необходимости обозначено ещё каким-нибудь символом.

Рекомендую книжку Новиков, Тайманов, "Современные геометрические структуры и поля", это более современная версия "современной геометрии".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
Я, вроде, не говорил, что оно плохо.

Просто у меня пока никакой интуиции нет, как понимать звёздочку сверху или снизу. А там ещё и bullet сверху и снизу начнёт появляться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 18:13 
Заслуженный участник


31/12/15
726
пианист в сообщении #1398730 писал(а):
А нет ли доказательства теоремы Брауэра, которое бы укладывалось в схему:
$f(\lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)) = \lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)$
Извиняюсь за оффтоп

Насколько я знаю, нет, хотя свободные фантазии на эту тему встречал. Собрать все теоремы о неподвижной точке в одну теорию не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение13.06.2019, 07:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1011
МО
А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение13.06.2019, 11:25 
Заслуженный участник


31/12/15
726
пианист в сообщении #1399061 писал(а):
А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

Встречал статью, где метрические пространства вкладывали в домены Скотта (пространство расширяется, получается домен Скотта), но не помню название, не заинтересовало. Есть статья, где весь диагональный метод подводится под общую схему, но там нет теоремы Брауэра
https://arxiv.org/abs/math/0305282

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение13.06.2019, 13:11 
Заслуженный участник


31/12/15
726
пианист в сообщении #1399061 писал(а):
А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

Проблема, видимо, в том, что в теореме Брауэра неподвижная точка неустойчива (сколь угодно малое изменение исходной функции сдвигает неподвижную точку куда угодно). Через лямбды получается неподвижная точка, зависящая от функции непрерывно, поэтому там нужны весьма специальные топологические пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение13.06.2019, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1011
МО
Спасибо.
По поводу неустойчивости: прошу прощения, но это точно так?
Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение13.06.2019, 21:22 
Заслуженный участник


31/12/15
726
пианист в сообщении #1399142 писал(а):
Спасибо.
По поводу неустойчивости: прошу прощения, но это точно так?
Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

Хотя, сам засомневался. Если представить отображение отрезка в отрезок, ноль неустойчив (при изменении графика функции на чуть-чуть скачет далеко).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 01:45 
Заслуженный участник


31/12/15
726
Сейчас чуть понятнее скажу. Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения. Мне кажется, и неподвижная точка в общем случае неустойчива, но обосновать прямо сейчас не смогу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8244
Кентакска волост
george66 в сообщении #1399203 писал(а):
Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения.
Можно ли пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 03:24 
Заслуженный участник


31/12/15
726
Dan B-Yallay в сообщении #1399204 писал(а):
george66 в сообщении #1399203 писал(а):
Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения.
Можно ли пример?

Представьте, что график поднимается, потом идёт почти горизонтально, пересекая ось иксов, а потом опять поднимается. Чуть-чуть поднимая и опуская почти горизонтальную часть, можно гонять точку пересечения с осью иксов туда-сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 03:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8244
Кентакска волост
george66 в сообщении #1399209 писал(а):
Чуть-чуть поднимая и опуская почти горизонтальную часть, можно гонять точку пересечения с осью иксов туда-сюда.

Так ведь это всё равно непрерывно? Просто я понял так, что Вы предлагаете опровержение следующему:
пианист в сообщении #1399142 писал(а):
Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

Прошу прощения, если неправильно трактовал Ваши слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 03:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
george66 в сообщении #1399203 писал(а):
Мне кажется, и неподвижная точка в общем случае неустойчива

А разве она не будет попросту точкой пересечения с диагональю? Тогда то же верно и для неё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 04:15 
Заслуженный участник


31/12/15
726
Не поленился и посмотрел формулировку теоремы Брауэра. Там от функции вообще ничего не требуется, кроме непрерывности! Возьмём функцию из отрезка в отрезок
$f(x)=x$
у неё все точки неподвижные. Сколь угодно малым шевелением графика можно добиться, чтобы была только одна (любая) неподвижная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 10:21 
Аватара пользователя


31/08/17
1592
Если отображение в условиях теоремы Брауэра, еще и непрерывно зависит от параметра, то по теореме об измеримом выборе можно выделить измеримую функцию , которая каждому значению параметра ставит в соответствие неподвижную точку. Это нестрого, но можно и строго сформулировать.

-- 14.06.2019, 11:24 --

а дальше теорема Лузина:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group