2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70003
Я тут обнаружил, что у меня перепутались две теоремы о неподвижной точке:
- одна работает на компактном пространстве (как везде в этой теме, вначале шар, потом отрезок);
- другая требует сжимающего отображения (например, она могла бы работать для $(-1,1)\to(-1+\varepsilon,1-\varepsilon)$).
Как они соотносятся между собой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
919
МО
По моему опыту первое немного помощнее, но при этом сложнее в использовании.
Для зК для ОДУ, например, можно и то, и то применить, но первое емнис не даст единственности. Так и так надо будет что-то типа липшицевости выудить, но для разного ;)
Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70003
Я имел в виду, следуют ли они одна из другой, являются ли частными случаями? Или их ситуации применимости существенно различаются? Основаны ли они на разных принципах, или в глубине родственны? И т. д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
919
МО
У меня они на разных полочках (в голове, в смысле).
Насчет частных случаев.. как-то даже не приходило в голову :о но не исключено, что и..
Применяются, таки да, примерно в одинаковых случаях афаик, и, по сути, одно и то же надо (априорные оценки).
Только первое это топологическое чисто (кстати, Вы, если не знаете, гляньте лемму Шпернера - прикольная штука!), а второе метрика задействуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 16:41 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
пианист в сообщении #1399262 писал(а):
Насчет частных случаев.. как-то даже не приходило в голову :о но не исключено, что и..

Не ну как. Принцип сжатых отображений годится для любого полного метрического пространства, теорема Брауэра -- для множества, гомеоморфного шару $\mathbb{R}^m$. Но зато в теореме Брауэра отображение не обязано сжимать. В теореме Брауэра нет единственности, в принципе сжатых отображений -- есть. Различия можно долго перечислять. Теоремы по сути разные. Это даже если бесконечномерных обобщений теоремы Брауэра не касаться.

-- 14.06.2019, 17:48 --

Примените, попробуйте, сюда теорему Брауэра https://dxdy.ru/topic134648.html
Теорема Шаудера тоже не работает, только принцип сжатых отображений

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70003
pogulyat_vyshel
Большое спасибо за пояснения!

пианист
Тогда ваш пример с лямбдой может быть примером как раз второго типа, а не первого... Функции от строк - сжимающее отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение14.06.2019, 19:03 
Заслуженный участник


31/12/15
647
Кому интересна тема неподвижных точек
https://arxiv.org/pdf/1201.0340v1.pdf
Есть результат (теорема Кнастера-Тарского), дающий неподвижную точку без непрерывности (монотонное отображение полной решётки в себя имеет неподвижную точку). Этот результат неожиданно улучшил один грузин (Патарая). В начале статьи обзор теорем о неподвижной точки и их связи с ординалами, затем автор изучает, что из них можно доказать в интуиционистской логике, а чего нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение15.06.2019, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
748
матмех спбгу
В условиях теоремы Брауэра нет смысла говорить про непрерывную зависимость неподвижной точки от параметра поскольку эта неподвижная точка тупо может пропасть, как ноль $x^{2}$ при возмущении $x^{2} + \varepsilon$ для $\varepsilon>0$ (естественно где-нибудь в другом месте она появится, но будет лежать за пределами окрестности данной точки). А вот в рамках принципа сжимающих отображений, когда есть единственность, можно получить и непрерывную зависимость (надо требовать одинаковой константы сжатия для всех отображений семейства).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group