Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.

[Pphantom]

devis в сообщении #1399405 писал(а):

то три идущих подряд числа делятся на 6.

Так что ли?

Только не сами числа, а их произведение. Да, именно так.

[devis]

Pphantom в сообщении #1399400 писал(а):

devis в сообщении #1399397 писал(а):

каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.

Отлично. Теперь посмотрите на сделанное вами разложение на множители: там есть два натуральных числа подряд? три натуральных числа подряд?

Pphantom писал(а):

Только не сами числа, а их произведение. Да, именно так.

да это три натуральные числа которые идут подряд.

Честно говоря с этой перспективы я даже не пытался посмотреть на задачу.

Спасибо всем за терпение и помощь

[Sdy]

devis,
мне не очень нравится, как у Вас в некоторых моментах идёт импликация (применяется логическое следование).

devis в сообщении #1399405 писал(а):

Так как мы показали, что что среди двух идущих друг за другом чисел есть одно чётное и одно не чётное, то среди них есть число которое делится на 2.
Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть число которое делится на три.

Разве из первого предложения как-то следует второе?
Но, наверное, это не проблема понимания, а проблема моей формалистики.
Давайте я докажу, что $n^3-n$ делится на $2$ "формальным образом", а Вы доделаете всю остальную работу (если же уже всё кажется очевидным, то просто посмотрите, что я имел ввиду под формальным доказательством).

Утверждение. $n^3 - n$ делится на $2$, $\forall n \in \mathbb{Z}$
Доказательство.
Запишем $n^3-n = (n-1)n(n+1)$.
Любое целое число при делении на два даёт остаток $0$ (то есть имеет вид $2m$ для некоторого целого числа $m$) либо даёт остаток $1$ (то есть имеет вид $2k+1$ для некоторого целого числа $k$).
Тогда рассмотрим два варианта -
1.Пусть $n$ чётное. Тогда имеем $n = 2m, m \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (2m-1)2m(2m+1) = 2q_1, q_1 \in \mathbb{Z}$.
2.Пусть $n$ нечётное. Тогда имеем $n = 2k + 1, k \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (2k)(2k+1)(2k+2) = 2q_2, q_2 \in \mathbb{Z}$.
В обоих случаях получили, что $n^3-n$ делится на 2, утверждение доказано.$\triangle$

[devis]

Sdy в сообщении #1399410 писал(а):

devis,
мне не очень нравится, как у Вас в некоторых моментах идёт импликация (применяется логическое следование).

devis в сообщении #1399405 писал(а):

Так как мы показали, что что среди двух идущих друг за другом чисел есть одно чётное и одно не чётное, то среди них есть число которое делится на 2.
Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть число которое делится на три.

Разве из первого предложения как-то следует второе?
Но, наверное, это не проблема понимания, а проблема моей формалистики.
Давайте я докажу, что $n^3-n$ делится на $2$ "формальным образом", а Вы доделаете всю остальную работу (если же уже всё кажется очевидным, то просто посмотрите, что я имел ввиду под формальным доказательством).

Утверждение. $n^3 - n$ делится на $2$, $\forall n \in \mathbb{Z}$
Доказательство.
Запишем $n^3-n = (n-1)n(n+1)$.
Любое целое число при делении на два даёт остаток $0$ (то есть имеет вид $2m$ для некоторого целого числа $m$) либо даёт остаток $1$ (то есть имеет вид $2k+1$ для некоторого целого числа $k$).
Тогда рассмотрим два варианта -
1.Пусть $n$ чётное. Тогда имеем $n = 2m, m \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (2m-1)2m(2m+1) = 2q_1, q_1 \in \mathbb{Z}$.
2.Пусть $n$ нечётное. Тогда имеем $n = 2k + 1, k \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (2k)(2k+1)(2k+2) = 2q_2, q_2 \in \mathbb{Z}$.
В обоих случаях получили, что $n^3-n$ делится на 2, утверждение доказано.$\triangle$

нет, думаю не следует. Это скорей всего проблема моего нечеткого употребление слов.

Хорошо я доделаю то, что Вы начали. Но с начало нужно немного подумать.

[nnosipov]

devis
Предлагаю Вам в качестве следующего шага (по освоению премудростей теории делимости) доказать следующее утверждение: произведение 4-х последовательных целых чисел делится на $2 \cdot 3 \cdot 4=24$.

[devis]

Утверждение. $n^3 - n$ делится на $3$, $\forall n \in \mathbb{Z}$
Доказательство.
Запишем $n^3-n = (n-1)n(n+1)$.
Любое целое число при делении на три даёт остаток $0$ (то есть имеет вид $3m$ для некоторого целого числа $m$) либо даёт остаток $1$, либо даёт остаток $2$ (то есть имеет вид $3k+1$ или $3q+2$ для неких целых чисел $k, q$).
Тогда рассмотрим три варианта -
1.Пусть $n = 3m, m \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (3m-1)3m(3m+1) = 3q_1, q_1 \in \mathbb{Z}$.
2.Пусть $n = 3k + 1, k \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (3k)(3k+1)(3k+2) = 3q_2, q_2 \in \mathbb{Z}$.
3.Пусть $n = 3q + 2, q \in \mathbb{Z}$,
$(n-1)n(n+1) = (3q+1)(3q+2)(3q+3) = 3q_3, q_3 \in \mathbb{Z}$.
Во всех трёх случаях получили, что $n^3-n$ делится на 3, утверждение доказано.$\triangle$

Вот это вторая часть доказательства.

[Sdy]

devis,
Хорошо. Мы доказали, что $n^3-n$ делится на $3$ и на $2$. Как теперь доказать, что оно делится и на $6$?

[devis]

Sdy в сообщении #1399424 писал(а):

devis,
Хорошо. Мы доказали, что $n^3-n$ делится на $3$ и на $2$. Как теперь доказать, что оно делится и на $6$?

Достаточно сказать, что если $n^3-n$ делится на 2 и на 3, то оно общее кратное этих двух чисел. Следовательно оно должно делится на НОК. То есть на 6

[devis]

Sdy в сообщении #1399424 писал(а):

devis,
Хорошо. Мы доказали, что $n^3-n$ делится на $3$ и на $2$. Как теперь доказать, что оно делится и на $6$?

Сложная эта наука приводить доказательство. Вот начитаешь изучать новую тему, вроде всё понятно. Потом доходишь до задач, а там нука докажите что....

А методы как доказывать ни кто не показывал. Вот и сидишь потом неделями и ломаешь голову.

[nnosipov]

devis в сообщении #1399430 писал(а):

Достаточно сказать, что если $n^3-n$ делится на 2 и на 3, то оно общее кратное этих двух чисел. Следовательно оно должно делится на НОК. То есть на 6

Ну а что, вполне себе правильное рассуждение. Другое дело, что в том обобщении задачи, что я предложил выше, этого рассуждения не хватит. Но это уже другая история (если неинтересно, можно пока оставить).

devis в сообщении #1399441 писал(а):

А методы как доказывать ни кто не показывал. Вот и сидишь потом неделями и ломаешь голову.

Можно попросить учителя (преподавателя) разобрать еще несколько примеров на доказательство. Или книжку найти, в которой есть такие примеры. Конечно, поначалу нужны "образцы для подражания".