2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:31 
Здравствуйте,

вот сижу уже неделю ломаю голову над задачей восьмого класса. Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.

Задача: Докажите, что число вида $n^3-n$, где $n$ натуральное число делится на 6.

Моё доказательство:

Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n*(n+1)*(n-1)$

По определению если число $n*(n+1)*(n-1)$ делится на 6, то следовательно оно должно иметь вид $n*(n+1)*(n-1)$ = $6*q$, где q - некое натуральное число.

Теперь методом тыка возьмем любое натуральное число и подставим его за место $n$, например 2. Так как $2*(2+1)*(2-1)$ = $6*1$ делится на 6, то доказательство приведено.

Тем самым было доказано, что существует хотя бы одно число из $N$, для которого это утверждение справедливо.


Теперь вопрос:

Как доказать, что это утверждение справедливо для всех $n$ из $N$?

Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Доказав это тем же методом, что и выше мы можем заключить, что деление на 6 выполняется для всех натуральных чисел..

Я правильно мыслю или это очень "жидкие" доказательства?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:39 
Начало правильное.
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$
А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:43 
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.
Нет, вы чего. Ну следует и следует одно число, а как с этим связана делимость?

Лучше подумайте про делимость на делители 6 и, если не придумается ничего

(Спойлер!)

то про остатки от деления на них.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:51 
Pphantom в сообщении #1399382 писал(а):
Начало правильное.
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$
А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.


Спасибо большое за ответ.

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:53 
devis,
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Вы должны не доказать, что предположение верно для $n$, а предположить, что оно верно для некоторого $n$ и провести правомерный переход к этому предположению для $n+1$. Это называется методом математической индукции.Но он Вам тут не нужен.
Достаточно лишь воспользоваться советом arseniiv, там дословно написано решение.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:00 
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:11 
Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?


То есть если $n^3-n$ делится на 6, то оно должно иметь вид $n^3-n= 6q +r$ где $r = 0$.
Следователь разложив $n^3-n = n(n+1)(n-1)$ и показав, что имеет вид $n(n+1)(n-1) =6q$, можно заключить, что утверждение доказано?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:14 
Нет. Просто ответьте на заданные мной вопросы.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:15 
Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?



если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:22 
Аватара пользователя
И теперь последний шаг...

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:23 
devis в сообщении #1399390 писал(а):
если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))
В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью. :-)

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:34 
Pphantom в сообщении #1399393 писал(а):
devis в сообщении #1399390 писал(а):
если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))
В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью. :-)

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?


каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:38 
devis в сообщении #1399397 писал(а):
или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:41 
devis в сообщении #1399397 писал(а):
каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.
Отлично. Теперь посмотрите на сделанное вами разложение на множители: там есть два натуральных числа подряд? три натуральных числа подряд?

 
 
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 20:00 
Sdy в сообщении #1399399 писал(а):
devis в сообщении #1399397 писал(а):
или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?



1) Нет, не может. Если три числа идут друг за другом, то в этом множестве только одно число делится на три.

2) Так как мы показали, что что среди двух идущих друг за другом чисел есть одно чётное и одно не чётное, то среди них есть число которое делится на 2.
Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть число которое делится на три. Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть и число которое делится на 2. Так как 6 = 2* 3, то три идущих подряд числа делятся на 6.

Так что ли?

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group