2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:31 


15/06/19
14
Здравствуйте,

вот сижу уже неделю ломаю голову над задачей восьмого класса. Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.

Задача: Докажите, что число вида $n^3-n$, где $n$ натуральное число делится на 6.

Моё доказательство:

Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n*(n+1)*(n-1)$

По определению если число $n*(n+1)*(n-1)$ делится на 6, то следовательно оно должно иметь вид $n*(n+1)*(n-1)$ = $6*q$, где q - некое натуральное число.

Теперь методом тыка возьмем любое натуральное число и подставим его за место $n$, например 2. Так как $2*(2+1)*(2-1)$ = $6*1$ делится на 6, то доказательство приведено.

Тем самым было доказано, что существует хотя бы одно число из $N$, для которого это утверждение справедливо.


Теперь вопрос:

Как доказать, что это утверждение справедливо для всех $n$ из $N$?

Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Доказав это тем же методом, что и выше мы можем заключить, что деление на 6 выполняется для всех натуральных чисел..

Я правильно мыслю или это очень "жидкие" доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Начало правильное.
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$
А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.
Нет, вы чего. Ну следует и следует одно число, а как с этим связана делимость?

Лучше подумайте про делимость на делители 6 и, если не придумается ничего

(Спойлер!)

то про остатки от деления на них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:51 


15/06/19
14
Pphantom в сообщении #1399382 писал(а):
Начало правильное.
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$
А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.


Спасибо большое за ответ.

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 18:53 


07/08/16
328
devis,
devis в сообщении #1399379 писал(а):
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Вы должны не доказать, что предположение верно для $n$, а предположить, что оно верно для некоторого $n$ и провести правомерный переход к этому предположению для $n+1$. Это называется методом математической индукции.Но он Вам тут не нужен.
Достаточно лишь воспользоваться советом arseniiv, там дословно написано решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:11 


15/06/19
14
Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?


То есть если $n^3-n$ делится на 6, то оно должно иметь вид $n^3-n= 6q +r$ где $r = 0$.
Следователь разложив $n^3-n = n(n+1)(n-1)$ и показав, что имеет вид $n(n+1)(n-1) =6q$, можно заключить, что утверждение доказано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:14 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Нет. Просто ответьте на заданные мной вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:15 


15/06/19
14
Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):
devis в сообщении #1399385 писал(а):
Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.
arseniiv уже дал более детальную подсказку. :-) Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?



если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:22 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
И теперь последний шаг...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
devis в сообщении #1399390 писал(а):
если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))
В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью. :-)

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:34 


15/06/19
14
Pphantom в сообщении #1399393 писал(а):
devis в сообщении #1399390 писал(а):
если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))
В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью. :-)

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?


каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:38 


07/08/16
328
devis в сообщении #1399397 писал(а):
или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 19:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
devis в сообщении #1399397 писал(а):
каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.
Отлично. Теперь посмотрите на сделанное вами разложение на множители: там есть два натуральных числа подряд? три натуральных числа подряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.
Сообщение15.06.2019, 20:00 


15/06/19
14
Sdy в сообщении #1399399 писал(а):
devis в сообщении #1399397 писал(а):
или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?



1) Нет, не может. Если три числа идут друг за другом, то в этом множестве только одно число делится на три.

2) Так как мы показали, что что среди двух идущих друг за другом чисел есть одно чётное и одно не чётное, то среди них есть число которое делится на 2.
Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть число которое делится на три. Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть и число которое делится на 2. Так как 6 = 2* 3, то три идущих подряд числа делятся на 6.

Так что ли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group