Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.

[devis]

Здравствуйте,

вот сижу уже неделю ломаю голову над задачей восьмого класса. Задача на тему о делимости целых неотрицательных чисел.

Задача: Докажите, что число вида $n^3-n$, где $n$ натуральное число делится на 6.

Моё доказательство:

Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n*(n+1)*(n-1)$

По определению если число $n*(n+1)*(n-1)$ делится на 6, то следовательно оно должно иметь вид $n*(n+1)*(n-1)$ = $6*q$, где q - некое натуральное число.

Теперь методом тыка возьмем любое натуральное число и подставим его за место $n$, например 2. Так как $2*(2+1)*(2-1)$ = $6*1$ делится на 6, то доказательство приведено.

Тем самым было доказано, что существует хотя бы одно число из $N$, для которого это утверждение справедливо.


Теперь вопрос:

Как доказать, что это утверждение справедливо для всех $n$ из $N$?

Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Доказав это тем же методом, что и выше мы можем заключить, что деление на 6 выполняется для всех натуральных чисел..

Я правильно мыслю или это очень "жидкие" доказательства?

[Pphantom]

Начало правильное.

devis в сообщении #1399379 писал(а):

Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$

А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.

[arseniiv]

devis в сообщении #1399379 писал(а):

Есть идея использовать правило, что за каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Нет, вы чего. Ну следует и следует одно число, а как с этим связана делимость?

Лучше подумайте про делимость на делители 6 и, если не придумается ничего

(Спойлер!)

то про остатки от деления на них.

[devis]

Pphantom в сообщении #1399382 писал(а):

Начало правильное.

devis в сообщении #1399379 писал(а):

Разложим $n^3-n$ на множители: $n^3-n=n \cdot (n+1) \, (n-1)$

А вот после этого места должны следовать две фразы, которыми доказательство, собственно, и кончится; вы чрезмерно переусложнили процесс.

P.S. Кстати, не надо ставить звездочки в качестве знака умножения. Посмотрите на исправление в цитате и пользуйтесь каким-нибудь из этих вариантов.

Спасибо большое за ответ.

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

[Sdy]

devis,

devis в сообщении #1399379 писал(а):

Следовательно если мы доказали, что для некого числа $n=k$ утверждение справедливо, то тем самым оно должно быть справедливым и для $k + 1$.

Вы должны не доказать, что предположение верно для $n$, а предположить, что оно верно для некоторого $n$ и провести правомерный переход к этому предположению для $n+1$. Это называется методом математической индукции.Но он Вам тут не нужен.
Достаточно лишь воспользоваться советом arseniiv, там дословно написано решение.

[Pphantom]

devis в сообщении #1399385 писал(а):

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

arseniiv уже дал более детальную подсказку. Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?

[devis]

Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):

devis в сообщении #1399385 писал(а):

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

arseniiv уже дал более детальную подсказку. Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?

То есть если $n^3-n$ делится на 6, то оно должно иметь вид $n^3-n= 6q +r$ где $r = 0$.
Следователь разложив $n^3-n = n(n+1)(n-1)$ и показав, что имеет вид $n(n+1)(n-1) =6q$, можно заключить, что утверждение доказано?

[Pphantom]

Нет. Просто ответьте на заданные мной вопросы.

[devis]

Pphantom в сообщении #1399387 писал(а):

devis в сообщении #1399385 писал(а):

Честно говоря не пойму какие именно фразы должны следовать.

arseniiv уже дал более детальную подсказку. Но давайте еще упростим...

Пусть есть два натуральных числа, отличающихся на единицу. Сколько из них делится на 2? Что можно сказать о том, делится ли на 2 их произведение?

если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))

[Aritaborian]

И теперь последний шаг...

[Pphantom]

devis в сообщении #1399390 писал(а):

если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))

В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью.

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?

[devis]

Pphantom в сообщении #1399393 писал(а):

devis в сообщении #1399390 писал(а):

если они отличаются друг от друга на единицу, то хотя бы одно из них делится на два и следовательно их произведение делится на два))

В общем правильно, хотя утверждение про "хотя бы одно", пожалуй, страдает чрезмерной осторожностью.

Теперь аналогичный вопрос про три числа, идущих подряд: сколько из них делится на 3? Что можно сказать про делимость на 3 их произведения?

каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.

[Sdy]

devis в сообщении #1399397 писал(а):

или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?

[Pphantom]

devis в сообщении #1399397 писал(а):

каждое третие делится на 3, ну или хотя бы одно из трёх и следовательно их произведение.

Отлично. Теперь посмотрите на сделанное вами разложение на множители: там есть два натуральных числа подряд? три натуральных числа подряд?

[devis]

Sdy в сообщении #1399399 писал(а):

devis в сообщении #1399397 писал(а):

или хотя бы одно из трёх

Хотя бы? Может получиться и так, что два из них делятся на три?
Вы можете строго доказать, что $n^3-n$ делится на два и три?

1) Нет, не может. Если три числа идут друг за другом, то в этом множестве только одно число делится на три.

2) Так как мы показали, что что среди двух идущих друг за другом чисел есть одно чётное и одно не чётное, то среди них есть число которое делится на 2.
Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть число которое делится на три. Следовательно среди 3 идущих подряд чисел есть и число которое делится на 2. Так как 6 = 2* 3, то три идущих подряд числа делятся на 6.

Так что ли?