Классический эксперимент Фейнмана со спином электрона.

[fps24]

В лекциях Фейнмана по квантовой механике среди множества мысленных экспериментов есть только один, результаты которого Фейнман прокомментировал так: "Это один из самых великих законов квантовой механики".

Уже поэтому данный классический эксперимент Фейнмана со спином атома заслуживает особого рассмотрения. Не все одинаково хорошо знакомы с лекциями Фейнмана (далее ФЛФ), поэтому далее выложены фрагменты ФЛФ с описанием эксперимента для атома со спином $1$ :








Несложно понять, что эквивалентная схема мысленного эксперимента в этом случае может выглядеть, например, так (на самом деле угол между осями $z_1$ и $z_2$ может быть любым):




Мне было предложено доказать, что в аналогичном эксперименте с электроном наблюдаемый результат будет аналогичным.

Далее приведено моё доказательство.

Предположим, что результат классического эксперимента Фейнмана в случае с электроном аналогичен результату, показанному выше, тогда эквивалентная схема мысленного эксперимента будет выглядеть так:



Проверим результаты расчётом.

1. Для нижнего датчика

Можно написать амплитуду того, что электрон попадёт в нижний датчик в последнем приборе в виде суммы двух амплитуд - по одной для каждого пути в среднем приборе.

Для верхнего пути в среднем приборе это будет: $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ , где:
$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ - амплитуда сохранения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $\alpha$ при проходе электрона из первого прибора во второй.
$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle$ - амплитуда изменения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $-\alpha$ при проходе электрона из второго прибора в третий.

Для нижнего пути в среднем приборе это будет: $\langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ , где:
$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ - амплитуда изменения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $\alpha$ при проходе электрона из первого прибора во второй.
$\langle-z_1\lvert-z_2\rangle$ - амплитуда сохранения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $-\alpha$ при проходе электрона из второго прибора в третий.

Итоговая амплитуда попадания электрона в нижний датчик последнего прибора для обоих путей:
$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$

Подставим определённые ранее формулы расчёта амплитуд сохранения и изменения знака спина в зависимости от угла $\alpha$ поворота оси $z$ вокруг оси $y$:

$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$

$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle = -\sin\frac{-\alpha} 2 = \sin\frac\alpha 2$

$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$

$\langle-z_1\lvert-z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$


Итоговая формула для амплитуды попадания электрона в нижний датчик последнего прибора:

$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2\sin\frac\alpha 2 - \sin\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 = 0$


2. Для верхнего датчика

Можно написать амплитуду того, что электрон попадёт в верхний датчик в последнем приборе в виде суммы двух амплитуд - по одной для каждого пути в среднем приборе.

Для верхнего пути в среднем приборе это будет: $\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ , где:
$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$ - амплитуда сохранения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $\alpha$ при проходе электрона из первого прибора во второй.
$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle$ - амплитуда сохранения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $-\alpha$ при проходе электрона из второго прибора в третий.

Для нижнего пути в среднем приборе это будет: $\langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ , где:
$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$ - амплитуда изменения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $\alpha$ при проходе электрона из первого прибора во второй.
$\langle+z_1\lvert-z_2\rangle$ - амплитуда изменения знака спина при повороте оси $z$ вокруг оси $y$ на угол $-\alpha$ при проходе электрона из второго прибора в третий.

Итоговая амплитуда попадания электрона в верхний датчик последнего прибора для обоих путей:
$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle+z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$

Подставим определённые ранее формулы расчёта амплитуд сохранения и изменения знака спина в зависимости от угла $\alpha$ поворота оси $z$ вокруг оси $y$:

$\langle+z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2$

$\langle+z_1\lvert+z_2\rangle = \cos\frac{-\alpha} 2 = \cos\frac\alpha 2$

$\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = -\sin\frac\alpha 2$

$\langle+z_1\lvert-z_2\rangle = \sin\frac{-\alpha} 2 = -\sin\frac\alpha 2$


Учтя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ - получим итоговую формулу для амплитуды попадания электрона в верхний датчик последнего прибора:

$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle = \cos\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 + \sin\frac\alpha 2\sin\frac\alpha 2 = 1$

Настоящим доказано, что результат классического эксперимента Фейнмана для случая с электроном аналогичен результату эксперимента для атома со спином $1$ .


Всё правильно ?

[RomanGrmv]

Опять куда-то Вы идёте не туда.

Раз Вы перешли к расчётам вычислите чему будет равна матрица ?

$$ \begin{pmatrix} \cos\tfrac{\alpha}{2} & \sin\tfrac{\alpha}{2} \\ \\ -\sin\tfrac{\alpha}{2} & \cos\tfrac{\alpha}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos\tfrac{-\alpha}{2} & \sin\tfrac{-\alpha}{2} \\ \\ -\sin\tfrac{-\alpha}{2} & \cos\tfrac{-\alpha}{2} \end{pmatrix}$$

Это ваши два поворота вдоль оси $y$ туда и обратно.

А после вычисления, умножьте её на входной спинор состояния и получите выходной спинор состояния, который попадает на датчики.

[fps24]

RomanGrmv в сообщении #1399185 писал(а):

Опять куда-то Вы идёте не туда.

Я скопировал доказательство из лекций Фейнмана. Понятно, что если наблюдаемый результат эксперимента адекватен, то такой результат можно обосновать различными адекватными способами.

Но меня интересует, является ли адекватным именно тот способ обоснования, который Фейнман использует в своих лекциях (и который приведён выше), когда он объясняет, почему его классический эксперимент даёт именно такой результат.

Удовлетворяет ли Вас обоснование результата данного эксперимента, приведённое Фейнманом в ФЛФ, или обоснование данного результата в ФЛФ неадекватно ?

[RomanGrmv]

Естественно вывод Фейнмана адекватный, вопрос лишь в том поняли Вы его или просто скопировали. Я лишь тоже самое записал через матрицы вращения.

Так как Вы потом пишете про атом со спином 1, а приводите результат для электрона со спином ½

Сделайте тогда вывод в духе Фейнмана для спина 1 или
запишите уравнения матриц вращения для спина 1 (векторов) (что проще)

[fps24]

RomanGrmv в сообщении #1399241 писал(а):

Естественно вывод Фейнмана адекватный, вопрос лишь в том поняли Вы его или просто скопировали. Я лишь тоже самое записал через матрицы вращения.

Позже Фейнман тоже переходит к матрицам вращения, но в самом начале лекций он использует (насколько я понял) тот "дедовский" метод рассуждения, которым пользовались "отцы-основатели" ещё до того момента, когда вдруг поняли, что заново изобрели матричное исчисление. Таким образом Фейнман как бы проводит обучаемых по тому же пути, по которому шли основоположники, и когда он, наконец, вводит матричную запись - обучаемые испытывают те же чувства, которые испытали их предшественники, когда поняли, что несколько страниц рассуждений можно легко заменить парой перемножаемых матриц. На мой взгляд, Фейнман поступает так не случайно - он хочет вызвать у обучаемых эмоциональную вовлечённость, дав им самим почувствовать себя первооткрывателями величайших законов природы.

Вот почему, когда в ответ на цитату из лекций Фейнмана я слышу, что иду в неправильном направлении или что моя цитата состоит из непонятных картинок и безосновательных утверждений, то появляется желание разобраться конкретно. Понятно, что матричный подход гораздо эффективнее "дедовского", но тот путь, которым Фейнман подводит обучаемых к такому выводу, мне представляется весьма правильным.

[warlock66613]

fps24 в сообщении #1399127 писал(а):

Для верхнего пути в среднем приборе это будет: $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$

Ну вот видите, оказывается, вы знаете какие формулы писать. Обратите внимание, что вы здесь утверждаете, что электроны, идущие верхним путём, находятся в чистом состоянии $\left|+z_2 \right\rangle$, они не остаются в состоянии $\left|+z_1 \right\rangle$.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1399353 писал(а):

Обратите внимание, что вы здесь утверждаете, что электроны, идущие верхним путём, находятся в чистом состоянии $\left|+z_2 \right\rangle$, они не остаются в состоянии $\left|+z_1 \right\rangle$.

Это не так.

Вопрос сам по себе хороший, но недавно выяснилось, что мы неправильно использовали терминологию при его обсуждении. Поэтому, короткого ответа тут быть не может, а для развёрнутого ответа нам надо будет или вернуться в исходное обсуждение, или создать специальную тему. Здесь же мы продолжим рассматривать различные варианты классического эксперимента Фейнмана и пока мы будем это делать - станет понятно, в какой форме позже будет продолжено обсуждение "чистого состояния спина". Предлагаю отнестись с пониманием.

[warlock66613]

Тогда объясняйте, как вы получили вот это:

fps24 в сообщении #1399127 писал(а):

Для верхнего пути в среднем приборе это будет: $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$

На основании чего вы утверждаете, что амплитуда будет именно такая?

[Pphantom]

fps24, "следующий вариант эксперимента, который нам предстоит рассмотреть" выделен в отдельную тему, которая (временно) закрыта. Ответьте сначала на вопросы собеседников в этой теме. Предупреждаю, что любая попытка возобновления темы до появления ответов приведет к ее окончательному закрытию.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1399353 писал(а):

Обратите внимание, что вы здесь утверждаете, что электроны, идущие верхним путём, находятся в чистом состоянии $\left|+z_2 \right\rangle$, они не остаются в состоянии $\lvert+z_1\rangle$.

Базисные состояния спина электрона $\lvert+z_1\rangle$ и $\lvert+z_2\rangle$ не являются различными чистыми состояниями - это базисные компоненты разложения единого состояния спина, обретённого электроном в первом приборе, при проекции этого состояния на базисы $z_1$ и $z_2$.

Общее выражение для проекции спина электрона на произвольный базис $z_2$ является суперпозицией базисных состояний $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert-z_2\rangle$ и может быть представлено в различных эквивалентных формах, например:

$$\begin{pmatrix} u\\ \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle+z_2\lvert+z_1\rangle\\ \\ \langle-z_2\lvert+z_1\rangle\end{pmatrix} = \langle+z_2\lvert+z_1\rangle \begin{pmatrix} 1\\ \\ 0\end{pmatrix} + \langle-z_2\lvert+z_1\rangle \begin{pmatrix} 0\\ \\ 1\end{pmatrix}$$

где вектор-столбец $(u, v)$ называется спинором.

Легко заметить, что базисные состояния $\lvert+z_2\rangle$ и $\lvert-z_2\rangle$ - это лишь компоненты разложения проекции спина на базис $z_2$ и они используются по отдельности в "дедовском" способе вычисления лишь потому, что "дедовский" способ не использует матричную запись.

Ранее, при обсуждении темы чистого состояния спина, нами была допущена ошибка в использовании терминологии, на которую никто из авторитетных участников обсуждения не указал. Проблема в том, что "чистым" называется такое состояние квантовой величины, которое имеет волновую функцию. Поскольку квантовое состояние спина электрона всегда имеет волновую функцию, то любое состояние спина электрона всегда является чистым.

Ранее мы использовали термин "смешанное состояние спина" для описания такой проекции спина электрона на произвольный базис, у которой обе базисных компоненты суперпозиции отличны от нуля. Это ошибочное использование термина. Понятие "смешанное состояние спина" может относиться только к системе из нескольких спинов, не все из которых находятся в общем чистом состоянии (т.е. в смешанном состоянии спина может находиться пучок электронов, но не какой-то один из электронов пучка).

Вот почему для отдельного электрона термины "состояние спина" и "чистое состояние спина" полностью тождественны.

Фейнман в своих лекциях специально предупреждает, чтобы базисным состояниям спина, описывающим в суперпозиции проекцию неизменного спина на произвольный базис, не предавалось особого значения:

Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать базисные состояния «основными состояниями». Слово «базис» понимается лишь как «система описания».

И понятно почему - одно и то же состояние спина может быть описано в проекции на любой возможный базис и при этом само по себе никак не изменится.

Вот почему в классическом эксперименте Фейнмана:



изменение базиса описания спина электрона в среднем приборе никак не влияет на итоговый результат. При изменении базиса описания - спин электрона остаётся неизменным, поэтому переход от описания спина в базисе $z_1$ к описанию в базисе $z_2$, а потом обратно - даёт в итоге тождественное преобразование описания от базиса $z_1$ к базису $z_1$, а значит - средний прибор можно вообще удалить из эксперимента, никак не повлияв при этом на итоговый результат.

И Фейнман специально отмечает это в своих лекциях:

Всё выглядит так, как если бы среднего прибора вовсе не было.

[warlock66613]

fps24, давайте немного изменим эксперимент. Это позволит отвести внимание от некоторых несущественных моментов. Пусть будет не спин $\frac 1 2$, а спин $1$. Но в среднем приборе нижний из трёх путей перекрыт. Такой прибор выкинуть уже нельзя, и вращать как угодно тоже нельзя. Но между средним и верхним путём интерференция есть и это важно. Будем считать, что амплитуды типа $\langle +z1 \lvert +z2 \rangle$, $\langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle$, $\langle 0\,z1 \lvert -z2 \rangle$ и т. п. нам известны. Тогда амплитуда попадания в верхний датчик будет такой:

$$\langle +z1 \lvert +z2 \rangle \langle +z2 \lvert +z1 \rangle + \langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle \langle 0\,z2 \lvert +z1 \rangle.$$

Вопрос прежний: почему формула такая?

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400069 писал(а):

Тогда объясняйте, как вы получили вот это:

fps24 в сообщении #1399127 писал(а):

Для верхнего пути в среднем приборе это будет: $\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle$

На основании чего вы утверждаете, что амплитуда будет именно такая?

В лекциях Фейнмана утверждается, что амплитуда попадания электрона в нижний датчик последнего прибора для обоих путей:
$\langle-z_1\lvert+z_2\rangle\langle+z_2\lvert+z_1\rangle + \langle-z_1\lvert-z_2\rangle\langle-z_2\lvert+z_1\rangle$

Я понимаю это так, что при "дедовском" способе вычислений - амплитуды считаются раздельно по каждому из путей, но надо понимать, что на самом деле мы в каждом из приборов имеем не раздельные пути, а общий спинор двух путей.

-- 19.06.2019, 18:50 --

warlock66613 в сообщении #1400173 писал(а):

fps24, давайте немного изменим эксперимент. Это позволит отвести внимание от некоторых несущественных моментов. Пусть будет не спин $\frac 1 2$, а спин $1$. Но в среднем приборе нижний из трёх путей перекрыт. Такой прибор выкинуть уже нельзя, и вращать как угодно тоже нельзя. Но между средним и верхним путём интерференция есть и это важно. Будем считать, что амплитуды типа $\langle +z1 \lvert +z2 \rangle$, $\langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle$, $\langle 0\,z1 \lvert -z2 \rangle$ и т. п. нам известны. Тогда амплитуда попадания в верхний датчик будет такой:

$$\langle +z1 \lvert +z2 \rangle \langle +z2 \lvert +z1 \rangle + \langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle \langle 0\,z2 \lvert +z1 \rangle.$$

Вопрос прежний: почему формула такая?

Как-то мы синхронно сообщения постим. Далее я постараюсь заменить это сообщение на более подробный ответ.

[Munin]

fps24 в сообщении #1400157 писал(а):

нами была допущена ошибка в использовании терминологии

Вы себя, что ль, во множественном числе величаете? Это уместно только для царственных персон, и когда статья или книга написана коллективом авторов.

fps24 в сообщении #1400157 писал(а):

Проблема в том, что "чистым" называется такое состояние квантовой величины, которое имеет волновую функцию.

На самом деле, у слова "чистый" сложилось два употребления:
- не смешанный, как сказано здесь в цитате;
- базисный, то есть не в суперпозиции.
Неудобно и приходится различать по контексту.

В контексте фейнмановских схем - смешанные состояния не упоминаются вообще, поэтому слово "чистый" подразумевает второй смысл (при изучении квантовой механики он первый).

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1400173 писал(а):

fps24, давайте немного изменим эксперимент. Это позволит отвести внимание от некоторых несущественных моментов. Пусть будет не спин $\frac 1 2$, а спин $1$. Но в среднем приборе нижний из трёх путей перекрыт. Такой прибор выкинуть уже нельзя, и вращать как угодно тоже нельзя. Но между средним и верхним путём интерференция есть и это важно. Будем считать, что амплитуды типа $\langle +z1 \lvert +z2 \rangle$, $\langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle$, $\langle 0\,z1 \lvert -z2 \rangle$ и т. п. нам известны. Тогда амплитуда попадания в верхний датчик будет такой:

$$\langle +z1 \lvert +z2 \rangle \langle +z2 \lvert +z1 \rangle + \langle +z1 \lvert 0\,z2 \rangle \langle 0\,z2 \lvert +z1 \rangle.$$

Вопрос прежний: почему формула такая?

Я понимаю так, что в этом случае в среднем приборе происходит редукция волновой функции спина, поэтому состояние спина в среднем приборе изменяется. Это отличный пример "частичного измерения" спина, который я "возьму на вооружение". В экспериментах с электроном случаи "частичного измерения" невозможны, поэтому различия между экспериментами с коллапсом волновой функции спина электрона в среднем приборе (т.е. с "полным измерением спина") и с его отсутствием - наглядны и легки для понимания.

Когда на одном из путей в среднем приборе появляется перегородка - это изменяет не только проекцию спина на базис, но и сам спин. Всегда, когда оси $z$ первого и второго приборов не параллельны и на одном из путей во втором приборе стоит перегородка - частицы на выходе из второго прибора находятся не в том же состоянии спина, которое есть на выходе из первого прибора. Это правило никак не изменяется при переходе от случая с двумя путями к случаю с тремя путями.

В случае с тремя путями спинор частицы на выходе первого прибора всегда:

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\ 0\end{pmatrix}$$

При отсутствии перегородки во втором приборе - спинор частицы на выходе второго прибора:

$$\begin{pmatrix} \lvert+z_2\rangle\\\lvert 0 z_2\rangle\\\lvert-z_2\rangle\end{pmatrix}$$

и это в точности тот же спин, что и в предыдущем случае, только в проекции на базис $z_2$, в чём можно легко убедиться, преобразовав этот спинор обратно к базису $z_1$ и снова получив исходный спинор.

При наличии перегородки на нижнем пути во втором приборе - спинор частицы на выходе второго прибора:

$$\begin{pmatrix} \lvert+z_2\rangle\\\lvert 0 z_2\rangle\\0\end{pmatrix}$$

и это совсем не тот же спин, что в двух предыдущих случаях. В этом можно легко убедиться, преобразовав этот спинор обратно к базису $z_1$ и получив совсем другой спинор, чем в первом случае.

Надеюсь, что это достаточное объяснение, почему отчасти похожие формулы для амплитуд отражают в двух обсуждавшихся случаях совершенно различную реальность, в одной из которых спин частицы при прохождении через приборы эксперимента никак не изменяется, а в другой - изменяется коренным образом.

[Munin]

fps24 в сообщении #1400189 писал(а):

$$\begin{pmatrix} \lvert+z_2\rangle\\\lvert 0 z_2\rangle\\\lvert-z_2\rangle\end{pmatrix}$$

Этот винегрет из двух разных нотаций некорректен.