Поле многогранника

[Eule_A]

(Оффтоп)

superkonev в сообщении #1398803 писал(а):

т.е. это второстепенный вопрос

Ну-ну...
Нет, Вы продолжайте. Забавно просто смотреть.

[Munin]

Eule_A в сообщении #1398801 писал(а):

Вообще, искать что-то интересное в электростатике в вакууме - это на 90% попытка поиграть на теореме Гаусса. Вот эта теорема - красива. Остальное вторично.

Я бы сказал, там есть ещё идея суперпозиции и идея симметрии. На них тоже приходятся по 90 % :-)

-- 11.06.2019 18:36:53 --

superkonev в сообщении #1398803 писал(а):

Раз уж формула для поля есть

Вы её приведите.

[superkonev]

Munin, формула для поля многогранника основана на формуле для поля пирамиды. Формула для поля пирамиды основана на формуле для поля многоугольника. Формула для поля многоугольника основана на формуле для поля треугольника. Формула для поля треугольника основана на формуле для поля прямоугольного треугольника над его вершиной. Привожу формулы для составляющих $E_x$ и $E_y$ поля прямоугольного треугольника над его вершиной:

$$ \ $$

$E_x=-k\,\sigma X(A,a,z)$, где

$$X(A,a,z)=\cos A\;\; \text {arsh}\frac {a} {\left | z\right | \sin A}- \text {arsh}\frac {a \ctg A} {\sqrt {a^2+z^2}};$$

$E_y=-k\,\sigma Y(A,a,z)$, где

$$Y(A,a,z)= \text {arsh}\frac {a} {\left | z\right |}- \sin A \,\text {arsh}\frac {a} {\left | z\right | \sin A}.$$

Здесь: $a-$ катет, над концом которого наблюдается поле; $A-$ противолежащий катету $a$ угол треугольника. Формула для компоненты $E_z$ там тоже есть и она очень проста, причем ее можно написать сразу для многоугольника. На основе этих формул написал в маткаде формулу для поля многогранника. Ответ получаю сразу. Не то, что было бы, если бы я написал 3-кратный интеграл, как советовал Eule_A.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

superkonev в сообщении #1400292 писал(а):

Формула для поля треугольника основана на формуле для поля прямоугольного треугольника над его вершиной.

Вот этот переход распишите, пожалуйста.

[superkonev]

Munin, любой треугольник можно представить в виде суммы двух прямоугольных треугольников. На основе этого получим формулу для поля косоугольного треугольника над его вершиной. Произвольный $n$-угольник можно представить в виде суммы $n$ косоугольных (в общем случае) треугольников с общей вершиной. На основе этого получим формулу для поля произвольного многоугольника в произвольной точке.

[Munin]

В общем, непонятно, зачем вам треугольники в качестве промежуточного шага. Разве что для мазохизма.

-- 21.06.2019 01:10:09 --

Будьте любезны, посчитайте мне пример.

Многоугольник на плоскости $z=0$ задан вершинами:

$\begin{array}{rrrrrr}1,&1+\sqrt[3]{-1},&\sqrt[3]{-1},&\sqrt[3]{-1}+(\sqrt[3]{-1})^2,&(\sqrt[3]{-1})^2,&(\sqrt[3]{-1})^2-1,\\-1,&-1-\sqrt[3]{-1},&-\sqrt[3]{-1},&-\sqrt[3]{-1}-(\sqrt[3]{-1})^2,&-(\sqrt[3]{-1})^2,&-(\sqrt[3]{-1})^2+1,\end{array}$

где $\sqrt[3]{-1}=e^{i\pi/3}$ - главное значение корня, и подразумевается отождествление комплексных чисел с $(x,y).$
(Многоугольник - шестиугольная звёздочка.)
Плотность заряда многоугольника 1.
Какова напряжённость поля, которую многоугольник создаёт в точке $(1\tfrac{1}{2},0,1)$?

[superkonev]

Munin, получилось $E_x=1.054395641104302, E_y=0, E_z=1.064314947223522.$

(Оффтоп)

Если ничего не перепутал в итоговой формуле. Полную автоматизацию для общего случая пока не сделал.

[Munin]

Прошу прощения, можно увидеть разбиение на прямоугольные треугольники? А не только конечную цифирку.

[superkonev]

Здесь один прямоугольный треугольник положительно заряжен, а второй прямоугольный треугольник заряжен отрицательно. Невсегда очевидно, с каким знаком + или - брать косоугольный треугольник, особенно при большом числе сторон многоугольника, как в вашем примере. Нужен либо точный черчеж, но я написал функцию, вычисляющую этот знак.

[Munin]

Ещё раз: на сколько треугольников вы разбивали фигуру, которую я вам предложил? И можно ли их увидеть?

(Судя по приведённым рисункам, надо понимать не как "формула для поля треугольника", а как "формула для поля треугольника над его вершиной". Это делает треугольники более нужными.)

[drug39]

(Оффтоп)

Ай да Munin! Придумал еврейскую задачу и требует, чтобы на форуме нарисовали звезду Давида...

[Munin]

:-)

Я мог бы 7-конечную звезду нарисовать, но это было бы уже извращением :-) А тут очень красивые треугольники. Была даже надежда получить число в аналитическом виде, через радикалы или в худшем случае через арктангенсы.

[superkonev]

Munin в сообщении #1400812 писал(а):

на сколько треугольников вы разбивали фигуру, которую я вам предложил? И можно ли их увидеть?

Сколько сторон у фигуры на столько треугольников она и разбивается. В Вашем примере 12 сторон, значит на 12 треугольников. Здесь удобно было то, что последовательность вершин была задана по периметру, поэтому мне не пришлось расставлять вершины по порядку. Т.е. стороны были заданы соответственно вершинами: 1-2, 2-3, 3-4, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10, 10-11, 11-12 и 12-1. Что бы определить знаки треугольников, можно сделать эскиз и тогда придётся таки узреть звезду Давида. Но я же написал функцию, которая вычисляет знак треугольника в произвольном случае. И тут важно, чтобы вершины были заданы в правильной последовательности. Суть того, как работает эта функция можно понять и на примере приведённого рис.6.

Munin в сообщении #1400812 писал(а):

надо понимать не как "формула для поля треугольника", а как "формула для поля треугольника над его вершиной"

Верное замечание-уточнение.

Munin в сообщении #1400830 писал(а):

Была даже надежда получить число в аналитическом виде, через радикалы или в худшем случае через арктангенсы.

Так по сути эти формулы и дают значение поля в аналитическом виде, только очень грамоздко, но в маткаде выглядит сносно. Надеюсь, для звезды Давида ничего там божественным образом не упрощается... Суть то в том, что случай может быть произвольный, а кирпичом является формула для поля прямоугольного треугольника над его вершиной.