Гиперболические функции.

[Munin]

Цитирую по Градштейну-Рыжику (изд. 4, ф. 1.622), так что не уверен, многолистные ли тут подразумеваются функции, и если нет, какие выбраны значения:

$$\begin{aligned} \arcsin z & =\tfrac{1}{i}\operatorname{Arsh}iz & \arccos z & =\tfrac{1}{i}\operatorname{Arch}z & \arctg z & =\tfrac{1}{i}\operatorname{Arth}iz \\ \operatorname{Arsh}z & =\tfrac{1}{i}\arcsin iz & \operatorname{Arch}z & =i\arccos z & \operatorname{Arth}z & =\tfrac{1}{i}\arctg iz \end{aligned}$$

Почему-то в интернете эти формулы редко встречаются, в википедии и Wolfram MathWorld их нет.

[btoom]

Munin в сообщении #1397202 писал(а):

в аналитическом смысле - они возникают как решения аналогичных дифференциальных уравнений

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\omega^2 x=0 \qquad \dfrac{d^2y}{dx^2}-k^2 x=0.$$

Там же полиномиальные решения. Может, как решения задачи Коши? $y''=y, y(0)=1, y'(0)=0$, дает гиперболический косинус.

[Munin]

btoom в сообщении #1397886 писал(а):

Там же полиномиальные решения.

А именно?

[nnosipov]

Munin в сообщении #1397896 писал(а):

А именно?

У Вас там в уравнениях опечатка: вместо $x$ должно быть $y$ (а иначе действительно будут полиномы).

[Munin]

А, спасибо! Исправляю!

[Solaris86]

Спасибо за разъяснения!

Картинка 196 страницы из того же учебника Бронштейна-Семендяева седьмого издания 1957 г.
Итак, если я правильно понял, то:
Тригонометрическиe функции:
1. $x = \cos t$
2. $y = \sin t$
При этом параметр $t$ - это площадь кругового сектора с центральным углов $2\alpha$ или центральный угол $\alpha$.
Тут же вопрос: для чего площадь в этом учебнике обозначена через $x$, ведь это создаёт путаницу, ведь $x$ - это и обозначение абсциссы?
Гиперболические функции:
1. $x = \ch t$
2. $y = \sh t$
При этом параметр $t$ - это площадь гиперболического сектора сектора с центральным углом $2\alpha$
Ещё пара вопросов:
1. Ареа-функции - это устаревшее обозначение арк-функций?
2. В параметрических уравнениях различных кривых или поверхностей параметр $t$ - это всегда площадь или объём чего-либо (сектора и т.п.)?
3. Я никак не могу понять, для чего нужны гиперболические функции. Написано, что используются в различных научных дисциплинах, но какое они дают преимущество, мне пока не ясно
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0 ... 0%B8%D1%8F
Ну, разве что в уравнении цепной линии их применение понятно, ибо там в формуле мелькают экспоненты.

[ewert]

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

1. Ареа-функции - это устаревшее обозначение арк-функций?

Это просто разные приставки, и употребляются они вполне общепринято: arc -- для обратных тригонометрических функций, ar -- для обратных гиперболических.

Кстати, у этих товарищей явный дефект в обозначениях: не может быть $\operatorname{Arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$. И слева, и справа должны быть одинаковые начальные буквы: или обе заглавные, если имеется в виду общее значение, или обе строчные, если значение -- главное.

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

2. В параметрических уравнениях различных кривых или поверхностей параметр $t$ - это всегда площадь или объём чего-либо (сектора и т.п.)?

Параметр -- это просто параметр и может иметь какой угодно смысл. Площадь здесь, можно сказать, притянута за уши. Ну да, заодно и площадь; ну и что?...

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

Я никак не могу понять, для чего нужны гиперболические функции. Написано, что используются в различных научных дисциплинах, но какое они дают преимущество, мне пока не ясно

Они упрощают многие выкладки; в первую очередь при интегрировании. Например, $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ -- это, конечно, "длинный" логарифм, но почему и с какой стати -- изначально выглядит некоторой загадкой. А вот то, что это гиперболический арксинус -- очевидно сходу, стоит только сделать замену $x=\sh t$.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

1. Ареа-функции - это устаревшее обозначение арк-функций?

Нет, это подчёркивает различие геометрического смысла обратных функций:
$\mathrm{arc}$ - "дуга"
$\mathrm{area}$ - "площадь"
Общее правило такое: с тригонометрическими функциями приставка $\mathrm{arc},$ с гиперболическими - приставка $\mathrm{ar}.$

Также упоминается, что некоторые авторы используют приставку $\mathrm{arg}$ "аргумент".

Применительно к гиперболическим функциям в беглой речи часто употребляют "арк-", и даже пишут в западных обозначениях $\mathrm{arcsinh},$$\mathrm{arccosh},$$\mathrm{arctanh},$ но все понимают, что это ошибка. Это позволительно только в таких неформальных жаргонных ситуациях, когда слушатели понимают говорящего, примерно на таком же уровне, на котором употребляются словечки типа

"шинус", "кошинус" или "чосинус", "тхангенс" или "θангенс" и т. п.

Начинающему математику важно обратить внимание на другую важную деталь: иногда обратные функции пишут с большой буквы, а иногда с маленькой. Смысл этого различия в том, чтобы сказать, что используется многозначная комплексная функция, или только одно её главное значение. Но когда что - это в разных источниках по-разному, и надо уточнять.

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

2. В параметрических уравнениях различных кривых или поверхностей параметр $t$ - это всегда площадь или объём чего-либо (сектора и т.п.)?

Ни в коем случае. Параметр может быть чем угодно.

Solaris86 в сообщении #1398364 писал(а):

3. Я никак не могу понять, для чего нужны гиперболические функции. Написано, что используются в различных научных дисциплинах, но какое они дают преимущество, мне пока не ясно

А тогда зачем вы вообще за них взялись?!?

Они нужны там, где возникают. Например, при решении дифференциальных уравнений в одной ситуации возникают тригонометрические функции, а в другой очень похожей ситуации - гиперболические. И чтобы ещё больше подчеркнуть сходство этих ситуаций, записывают похожие формулы.

А если вы пока не столкнулись с областью математики, в которой нужны эти функции, то и забудьте про них!