Дана композиция преобразований плоскости
, где
- перенос на вектор
,
- поворот вокруг точки
на угол
. Нужно определить, к какому типу относится данное преобразование.
Теорема
Любой поворот или перенос представляется в виде композиции двух осевых симметрий:
где оси симметрий могут быть выбраны достаточно произвольно:
либо
может быть выбрана произвольно, после этого другая ось определяется однозначно.
"выбрана произвольно" означает:
если у нас поворот, то это может быть произвольная прямая, проходящая через центр поворота;
если перенос, то это может быть произвольная прямая, перпендикулярная направлению переноса.
Пусть теперь имеем преобразование вида
, где
- перенос на вектор
,
- поворот вокруг точки
на угол
.
Представим его в виде произведения осевых симметрий.
При этом в качестве второго множителя в разложении переноса возьмем прямую (т.е. симметрию отн. ее), проходящую через центр поворота (
)
В качестве первого множителя в разложении поворота возьмем ее же.
Тогда в композиции из четырех симметрий мы получим два одинаковых множителя подряд. Они аннулируются. В результате получаем композицию симметрий относительно двух непараллельных прямых, то есть поворот.
Точно так же рассматривается композиция этого поворота с оставшимся переносом. То есть берем в качестве второй оси в разложении этого поворота прямую, перпендикулярную направлению переноса.
Точно так же может быть доказано общее утверждение:
композиция поворотов и переносов в любом количестве является поворотом или переносом в зависимости в сего лишь от одного обстоятельства: суммы углов всех поворотов. Если эта сумма является целым кратным
, то перенос, иначе поворот.