Тип преобразования плоскости

[arseniiv]

sotu в сообщении #1396421 писал(а):

Так?
$v_1=v+a v_2=v_1+v_A v_3=v_2e^{i\alpha}-v_A v_4=v_3+b=v_2e^{i\alpha}-v_A+b=(v_1+v_A)e^{i\alpha}-v_A+b=(v+a+v_A)e^{i\alpha}-v_A+b$

Да, но стоит учесть, что поворот будет в этом случае вокруг $-v_A$. Если поменять знаки во втором и третьем равенстве, будет уже вокруг $v_A$; проверка тут такая, что сам центр поворота должен остаться на месте, и если сначала отнимать, а в конце прибавлять, это очевидно выполняется, тогда как в противном случае можно будет найти, что он останется на месте лишь при тривиальном повороте на нулевой угол.

sotu в сообщении #1396421 писал(а):

Можно ли как-то сформулировать общий ответ через композицию одного параллельного переноса и одного вращения?

Ответом просто будет перечисление случаев, при каких условиях на $a,b,v_A,\alpha$ какой у результата тип. Просто сначала упростите выражение, раскройте скобки и соберите всё не зависящее от $v$ как-то поближе друг к другу. Получится композиция поворота и параллельного переноса, но это ещё не будет ответ, но дальше-то уж просто.

[Munin]

sotu в сообщении #1396428 писал(а):

Там тоже, вроде как, видно, что общего ответа особо не предвидится, и нужно знать что-то дополнительно о $A,\alpha,a,b$.

Ну, "в общем положении" ответ довольно очевиден, а потом от него можно плясать во всяких вырожденных случаях.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #1396403 писал(а):

Может быть, имелся в виду такой.

Если такой, то так и надо было писать с самого начала. Впрочем, там в любом случае вопрос был бредовый.

[vpb]

sotu
1) Понятно ли Вам то, что написано в учебнике на стр.272 ?

2) Если понятно (надеюсь, что так), то, обратите внимание, в большом посту на 1-й стр. темы у вас в матрицах для сдвига координаты сдвига написаны в последней строке, а в матрице поворота сдвиговая часть --- в последнем столбце.

3) Кроме того, предлагаю разобраться (вы должны это уже знать из курсов ангема и линейной алгебры), как ориентация ( т.е. собственность -несобственность) произведения двух движений зависит от ориентаций сомножителей. Тогда вообще никаких матриц писать не надо будет, можно будет обойтись "теоретическими" рассуждениями.

-- 30.05.2019, 00:06 --

P.S. Записывать движения плоскости через комплексные числа --- несколько менее применительно, чем через матрицы, но тоже полезно. Вы с этим познакомитесь в ТФКП (впрочем, оно и так элементарно. Иногда продвинутые школьники знают).

[nnosipov]

vpb в сообщении #1396490 писал(а):

Вы с этим познакомитесь в ТФКП

Вот, кстати, ТФКП (в части дробно-линейных преобразований) здесь была бы более полезна, чем матрицы и векторы (без которых не обойтись в случае произвольных аффинных преобразований, но в случае движений/подобий непонятно, зачем отказываться от более удобного инструмента). Когда центр поворота таки будет найден, можно будет поставить вопрос о том, что с ним произойдет при изменении параметров задачи. Например: куда и как он уедет при фиксированных $a$ и $b$ и меняющемся $\alpha$. Ответ на этот вопрос вполне очевиден (и доступен продвинутому школьнику, который и картинку соответствующую сможет нарисовать). Вполне себе наглядная геометрия.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396514 писал(а):

Вот, кстати, ТФКП (в части дробно-линейных преобразований) здесь была бы более полезна, чем матрицы и векторы (без которых не обойтись в случае произвольных аффинных преобразований, но в случае движений/подобий непонятно, зачем отказываться от более удобного инструмента).

Я уже объяснял, зачем. Комплексные числа работают в размерности 2. Если очень хочется, можно использовать кватернионы для размерности 3 и 4. С размерностью 8 уже трудности, но ещё есть алгебраическая система октонионов. А вот для произвольной размерности $n$ алгебраических систем уже не хватает. Однако линейных пространств с евклидовой метрикой хватает для всех.

Разумеется, всё это не в контексте школьника. И ТФКП вряд ли для школьника предлагается (это обычно 2-й курс вуза, в лучшем случае 2-й семестр).

[nnosipov]

Munin в сообщении #1396570 писал(а):

Комплексные числа работают в размерности 2. Если очень хочется, можно использовать кватернионы для размерности 3 и 4. С размерностью 8 уже трудности, но ещё есть алгебраическая система октонионов. А вот для произвольной размерности $n$ алгебраических систем уже не хватает. Однако линейных пространств с евклидовой метрикой хватает для всех.

Ну вот, опять набор банальностей. Еще раз: комплексные числа в данной задаче --- это не "линал для бедных", а наиболее адекватный инструмент для ее решения. По нынешним временам это даже роскошь, которую не каждый студент может себе позволить.

Munin в сообщении #1396570 писал(а):

И ТФКП вряд ли для школьника предлагается

Это всего лишь дробно-линейные преобразования, от инверсии совсем недалеко. Настоящей ТФКП здесь и не пахнет.

[Connector]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1396361 писал(а):

Upd. Хотя нет, теперь ответ верный. ($A$ будет неподвижной точкой, если $a+e^{i\alpha}b=0$.)

! Хотел уже создать новую тему в форуме «Помогите решить / разобраться».
Изначально имел в виду направленный угол между прямыми, несущими векторы $a$ и $b$ (так, наверное, и надо было написать с самого начала).

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396577 писал(а):

Ну вот, опять набор банальностей.

Согласен. Вас они почему-то не устраивают, но вы не объясняете, почему.

nnosipov в сообщении #1396577 писал(а):

Еще раз: комплексные числа в данной задаче --- это не "линал для бедных", а наиболее адекватный инструмент для ее решения.

Чем он адекватнее матриц? Я так и не понял.

nnosipov в сообщении #1396577 писал(а):

Это всего лишь дробно-линейные преобразования, от инверсии совсем недалеко. Настоящей ТФКП здесь и не пахнет.

А, это другое дело, но тогда незачем называть их ТФКП.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1396597 писал(а):

Чем он адекватнее матриц? Я так и не понял.

Да хотя бы тем, что матрица --- более сложный объект, чем число, хотя бы и комплексное. Матрицы отвечают за любой линейный оператор, а у нас в задаче он специфический. С комплексными числами сама задача становится устной, и даже в том случае, когда нужно подсчитать характеристики итогового поворота (всего-то решить обычное линейное уравнение). Попробуйте-ка в уме умножать матрицы. Да и на бумаге, как мы уже видели, получается у студентов катастрофически плохо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1396570 писал(а):

А вот для произвольной размерности $n$ алгебраических систем уже не хватает.

Клиффордщина же есть (впрочем, экспоненциальный рост размерности необходимой в этом случае $C\ell^+(n, \mathbb R)$ всё портит, для $n=8$ это уже $128 = 2^{8-1}$). А октонионы алгеброй Клиффорда сами по себе не являются, и конструкция для поворота вектора там куда страшнее: https://en.wikipedia.org/wiki/SO(8)#Unit_octonions. Можно наверно показать, что иначе быть бы не могло, заметив, что $\dim\mathrm{SO}(8,\mathbb R) = 28$, что больше даже $8\cdot2$ (чего можно достичь, если умножать на один октонион слева и на другой справа, как с кватернионами для $\mathrm{SO}(4,\mathbb R)$).

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396618 писал(а):

Да хотя бы тем, что матрица --- более сложный объект, чем число, хотя бы и комплексное. Матрицы отвечают за любой линейный оператор, а у нас в задаче он специфический.

Ну, здесь применяются ортогональные матрицы, тоже специфические. Да, в общем случае это более сложный объект - что и оправдано для $n$-мерного случая. Однако в 2-мерном случае ортогональные матрицы не сложнее комплексных чисел.

nnosipov в сообщении #1396618 писал(а):

С комплексными числами сама задача становится устной

Я бы сказал, что и методами черчения задача становится устной. В 2-мерном случае. И в этом смысле, не считаю комплексные числа самым адекватным инструментом.

nnosipov в сообщении #1396618 писал(а):

Попробуйте-ка в уме умножать матрицы. Да и на бумаге, как мы уже видели, получается у студентов катастрофически плохо.

Это, конечно, да.

Надо искать рассуждение, при котором матрицы фактически не приходится умножать.

----

У меня ещё одна причина недовольства комплексными числами. Для физики крайне важно обобщение этого факта на 3-мерное пространство, а комплексными числами оно не даётся.

-- 30.05.2019 15:55:39 --

arseniiv в сообщении #1396622 писал(а):

Клиффордщина же есть

Ну вот матрицы как-то проще. И ещё, что-то мне кажется, что ортогональные матрицы при построении "клиффордщины" используются...

[nnosipov]

Munin в сообщении #1396624 писал(а):

Я бы сказал, что и методами черчения задача становится устной.

О, тяжелая артиллерия пошла. Я точно знаю, что методы черчения изучались в пединститутах и уже канули там в небытие. На мой взгляд, это сродни геометрии, т.е. очень сложно. Простые картинки я, конечно, нарисую, но в любом случае мне проще решить линейное уравнение.

Munin в сообщении #1396624 писал(а):

У меня ещё одна причина недовольства комплексными числами. Для физики крайне важно обобщение этого факта на 3-мерное пространство, а комплексными числами оно не даётся.

Моя пропаганда исключительно 2-мерна и к тому же избирательна. В 3-мерном случае будут матрицы и линейные операторы, потому что ничего другого нет.

[vpb]

Комплексные числа и исторически появились раньше матриц, и по сути проще. Поэтому ясно, что "абстрактно" действительно было бы проще через комплексные. Или даже может методами чисто геометрическими (синтетическими), но это уж совсем воображаемая ситуация.

Думаю, разногласия по поводу того, матричный тут подход лучше или через комплексные числа, связаны с тем, что спорящие себе представляли какого-то воображаемого студента. Для такого студента, который непонятно какой, и метод непонятно какой лучше.

Будь это физматшкольник, и отдельно взятая задача по геометрии, для него было бы лучше через комплексные.
Но поскольку, как выяснилось, это студент 1-го курса мехмата МГУ (?) (судя по учебнику), и соответствующее место учебника --- это глава о классификации плоских федоровских групп, то ясно, что тут нужен матричный подход, а с комплексными, наоборот, не уместен.

Короче, не в том тут дело, что матрицы --- это что-то более общее и мощное, и вместе с тем более сложное, а в том, что контекст "образовательной ситуации" не был известен. Как-то так.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396636 писал(а):

Простые картинки я, конечно, нарисую, но в любом случае мне проще решить линейное уравнение.

Спасибо, понял вашу позицию.

Действительно, геометрия многими считается самым сложным школьным предметом. Но мне геометрическая наглядность всегда была как-то ближе. (Я не говорю про школьные задачи на геометрию, требующие запоминания огромного количества малосистематизированных фактов, и ловкости их применения.)

vpb в сообщении #1396649 писал(а):

Для такого студента, который непонятно какой, и метод непонятно какой лучше.

Спасибо. +1.