Нужен ликбез по обобщённым функциям

[Munin]

g______d в сообщении #1390690 писал(а):

А разделение переменных -- это ситуация, при которой многомерная система распадается на невзаимодействующие одномерные.

Ну или хотя бы менее многомерные. Про симметрию понимаю. Например, в ОТО есть решения для симметричных чёрных дыр, а для хоть немного несимметричных гравитирующих тел - всё хуже.

g______d в сообщении #1390690 писал(а):

По поводу Хёрмандера -- надо понимать, что для его комфортного чтения (если это вообще возможно), желательно владеть университетским курсом линейных УЧП для математиков, например, на уровне первой половины Эванса. Того же Владимирова, например, мало, там нет пространств Соболева.

Большое спасибо! Ценное пояснение. Ну, в принципе, я на Хёрмандера не замахиваюсь...

[Eule_A]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1390690 писал(а):

Folland, "Quantum field theory: a tourist guide for mathematicians".

Извините, встряну здесь. Книгу эту не знал, сейчас посмотрел (пока) по диагонали, и она мне очень понравилась. Уже хотя бы тем, что автор не стесняется прописывать "очевидные" вещи, которые зачастую опускают. Вообще, по первому впечатлению хорошо читаться должна.
g______d, спасибо! Я эту книгу, пожалуй, добавлю в наш список рекомендованной литературы по физике.

[Mikhail_K]

Спасибо всем за ответы!

[Mikhail_K]

Вопрос такой.
В учебных курсах УЧП, которые я видел, аппарат обобщённых функций вводится обычно для того, чтобы найти в явном виде фундаментальные решения некоторых отдельных уравнений и затем сказать, что остальные решения можно искать в виде свёртки с фундаментальным.

Ясно, что фундаментальное решение, равно как и решения соответствующих задач Коши и краевых задач, далеко не всегда записывается в явном виде, более того, это случается крайне редко.
Что делать с уравнением, если решение в явном виде получить не удалось?

Когда речь идёт о классических решениях краевых задач, то более или менее понятно, что делать: убедившись в существовании, единственности и устойчивости решения (если они имеют место), искать это решение численно.

Теперь я хочу спросить, что можно делать с задачей для УЧП в рамках парадигмы, что искомое решение обобщённое и оно есть свёртка фундаментального решения (которое не обязательно регулярное) с какой-то другой обобщённой функцией (тоже не обязательно регулярной), если для этого обобщённого решения нет явной формулы?

Проводится ли в таких случаях только качественное исследование (например, какие-нибудь асимптотики и исследование поверхностей разрыва или носителей сингулярности решения), или же есть некий аналог численного?
Например, если у меня есть задача Коши или краевая задача для УЧП (произвольная из какого-нибудь достаточно широкого класса, допускающего должные теоремы единственности), с обобщёнными начальными, граничными условиями и/или правой частью, могу ли я, скажем, каким-нибудь численным методом найти сколь угодно точное регулярное приближение решения такой задачи (вообще говоря нерегулярного) в смысле сходимости в $\mathscr{D}^\prime$?

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1390803 писал(а):

в виде свёртки с фундаментальным.

Я не уверен, что понимается под словом "свертка". Если это обычное $(G*v)(x)=\int G(x-y)v(y)\,dy$ (распространенное на обобщенные функции) то это подразумевает то, что по пространству задача однородна (мало того, что постоянные коэффициенты, так еще и область$\mathbb{R}^n$). В общем случае фундаментальное решение есть $G(x,y)$ ($\ne G(x-y)$). Если Вы имеете в виду $u(x)=\int G(x,y)v(y)\,dy$, то слово "свертка" противоречит стандартной терминологии, хотя ничего лучшего предложить не могу.

[Mikhail_K]

Red_Herring в сообщении #1390808 писал(а):

Я не уверен, что понимается под словом "свертка". Если это обычное $(G*v)(x)=\int G(x-y)v(y)\,dy$ (распространенное на обобщенные функции) то это подразумевает то, что по пространству задача однородна (мало того, что постоянные коэффициенты, так еще и область$\mathbb{R}^n$). В общем случае фундаментальное решение есть $G(x,y)$ ($\ne G(x-y)$). Если Вы имеете в виду $u(x)=\int G(x,y)v(y)\,dy$, то слово "свертка" противоречит стандартной терминологии, хотя ничего лучшего предложить не могу.

Да, это мне понятно.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1390803 писал(а):

Ясно, что фундаментальное решение, равно как и решения соответствующих задач Коши и краевых задач, далеко не всегда записывается в явном виде, более того, это случается крайне редко.

В общем случае это будет не свёртка, а интегральный оператор. Можно рассмотреть такой пример. Пусть $\Omega$ -- ограниченная область с гладкой границей. Для любого $x\in \Omega$ пусть $u_x$ -- фундаментальное решение $-(\Delta u_x)(y)=\delta(x-y)$ во всём пространстве (для него есть явная формула, зависящая от размерности). У этого $u_x$ есть какое-то значение на границе $\partial \Omega$, зависящее от $x$.

Пусть $v_x$ -- решение краевой задачи $(-\Delta v_x)(y)=0$, $y\in \Omega$, $\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=\left. u_x\right|_{\partial\Omega}$. Заметим, что для него тоже есть более-менее явная формула (потенциал то ли простого, то ли двойного слоя).

Тогда, благодаря сокращениям на границе, $w_x=u_x-v_x$ будет фундаментальным решением задачи Дирихле в области $\Omega$: если $K(x,y)=u_x(y)$, то решением уравнения $-\Delta u=f$, $\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=0$ будет $u(x)=\int_\Omega K(x,y)f(y)\,dy$. Возможно, я порядок $x$ и $y$ где-то перепутал, но думаю, что идея понятна (если я сейчас начну всё исправлять в процессе чтения, это только запутает).

-- Пт, 03 май 2019 08:36:33 --

Mikhail_K в сообщении #1390803 писал(а):

Например, если у меня есть задача Коши или краевая задача для УЧП (произвольная из какого-нибудь достаточно широкого класса, допускающего должные теоремы единственности), с обобщёнными начальными, граничными условиями и/или правой частью, могу ли я, скажем, каким-нибудь численным методом найти сколь угодно точное регулярное приближение решения такой задачи (вообще говоря нерегулярного) в смысле сходимости в $\mathscr{D}^\prime$?

В реальности никогда не бывает так, чтобы обобщённое решение было просто в классе $\mathscr D'$ без какой-то дополнительной информации. Обычно оно оказывается в пространстве типа Соболева, возможно с отрицательным показателем (зависит от регулярности правой части, коэффициентов, и краевых условий). Дальше можно бороться за наиболее естественное пространство, в котором задача является корректной (что фактически и означает, что её можно решать численно, обычно идёт в комплекте с разрешимостью). Для этого придуманы миллион функциональных пространств, у некоторых может быть до 10 значков.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1390815 писал(а):

Заметим, что для него тоже есть более-менее явная формула (потенциал то ли простого, то ли двойного слоя).

Нет, явная формула почти никогда не наблюдается. Обычно решение $\Delta u=0$ выражается через потенциал простого слоя, порожденный поверхностной плотностью $\frac{\partial u}{\partial \nu}$, и потенциал двойного слоя порожденный поверхностной плотностью $u$ (с соответствующими знаками), т.е. надо знать и $u|_\Sigma $, и $\frac{\partial u}{\partial \nu}|_\Sigma$. Их можно связать через интегральное уравнение, но его надо решать!

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1390817 писал(а):

Нет, явная формула почти никогда не наблюдается. Обычно решение $\Delta u=0$ выражается через потенциал простого слоя, порожденный поверхностной плотностью $\frac{\partial u}{\partial \nu}$, и потенциал двойного слоя порожденный поверхностной плотностью $u$ (с соответствующими знаками), т.е. надо знать и $u|_\Sigma $, и $\frac{\partial u}{\partial \nu}|_\Sigma$. Их можно связать через интегральное уравнение, но его надо решать!

Да, я глупость сказал не подумавши. Там интегральное уравнение на границе надо решать, действительно.

Но наверное стоит отметить, что функция $v_x$ очень регулярна (аналитична) внутри области, поэтому сингулярности у $w_x$ такие же, как у $u_x$.

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1390815 писал(а):

Для этого придуманы миллион функциональных пространств, у некоторых может быть до 10 значков.

На миллион функциональных пространств с десятками индексов я замахиваться не буду, но о пространствах Соболева (в т.ч. с отрицательным показателем) некоторое минимальное представление имею. Нельзя ли посоветовать книгу, где изучалась бы корректность хотя бы какого-нибудь класса задач в пространствах Соболева с отрицательным показателем (желательно с какой-нибудь минимальной физической интерпретацией) и, самое главное, обсуждались методы аппроксимации, численного приближения обобщённого решения (вообще говоря сингулярного) из такого пространства.

И на этом я бомбардировку вопросами прекращу на некоторое время.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1390822 писал(а):

Нельзя ли посоветовать книгу, где изучалась бы корректность хотя бы какого-нибудь класса задач в пространствах Соболева с отрицательным показателем (желательно с какой-нибудь минимальной физической интерпретацией) и, самое главное, обсуждались методы аппроксимации, численного приближения обобщённого решения (вообще говоря сингулярного) из такого пространства.

Попробую поискать, но ради интереса приведу пример очень красивой недавней статьи про KdV:

http://annals.math.princeton.edu/articles/14341

https://arxiv.org/abs/1802.04851

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1390678 писал(а):

Вам же все равно нужно ссылаться на какое-нибудь нормированное пространство для этой теоремы

не не нужно, все теоремы, что я упоминал были про локально выпуклые пространства.

[Mikhail_K]

Red_Herring в сообщении #1390578 писал(а):

С моей точки зрения, огромное преимущество в единообразии. Так есть интегральные операторы, сингулярные интегральные операторы дифференциальные, их композиции да суперпозиции, а с помощью обобщенных функций можно сказать "интегральный оператор с ядром Шварца .... ".

А как определяется интегральный оператор с ядром Шварца?

Насколько я понимаю, даже в частном случае свёртки, подходов к определению бывает много разных, особенно если обе функции, свёртка которых берётся, нефинитны и хотя бы одна из них нерегулярна.

Предположу, что возможны подходы к определению таких объектов, использующие продолжение по непрерывности операторов, определённых вначале не везде где хочется, в какой-либо норме, топологии или сходимости. Если так, то на это было бы интересно посмотреть.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1394420 писал(а):

А как определяется интегральный оператор с ядром Шварца?

В общем случае из $\matscr{D}(\Omega_1)$  в $\matscr{D}'(\Omega_2)$: $(A\phi)(\psi)= (K_A, \phi\otimes \psi)$.

[Mikhail_K]

Red_Herring в сообщении #1394455 писал(а):

В общем случае из $\mathscr{D}(\Omega_1)$ в $\mathscr{D}'(\Omega_2)$: $(A\phi)(\psi)= (K_A, \phi\otimes \psi)$.

Это ясно. Но если $K_A$ - фундаментальное решение какого-то уравнения, то нам хотелось бы применять оператор $A$ также и к неосновным функциям на $\Omega_1$, и даже к сингулярным. Как это делать?