ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Уважаемый vasili, спасибо за примеры. Я упустил, что вид слагаемых не зависит от их старшинства.

[serval]

Пусть $a+b=c$ . Тогда $c-b=a$ .

Пусть $a^2+b^2=c^2$ . Какое значение будет иметь разность $c-b$ ?

Обозначим: $t=\text{НОД}(b,c-a),\ b=lt,\ c-a=rt$ .

Из условия равенства квадратов найдём значение $t$ :

$l^2t^2=(a+rt)^2-a^2\ ,\ l^2t^2=2art+r^2t^2\ ,\ (l^2-r^2)t^2=2art\ ,\ t=\displaystyle \frac{2ar}{l^2-r^2}$ .

Подставив полученное значение $t$ в выражение разности $(a+rt)-lt$ получим её значение:

$a+rt-lt=a-(l-r)t=a-2ar\ \displaystyle \frac{l-r}{l^2-r^2}=a\ \left(1-\displaystyle \frac{2r}{l+r}\right)=a\ \displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ .

Окончательно:

$c-b=a\ \displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ .

Тем же способом разность $c-b$ можно вычислить для любой степени $n$ .

[SVD-d]

serval в сообщении #1392518 писал(а):

Обозначим: $t=\text{НОД}(b,c-a),\ b=lt,\ c-a=rt$ .

Стесняюсь спросить, зачем такие сложности?
Что-то изменится от того что $t$ будет не наибольшим общим делителем, а просто делителем?
Так, допустим,
$a = 300$, $b = 400$, $c = 500$. Пусть $t = 10$. Остальные обозначения оставим. Тогда $l = 40$, $r = 20$. Соответственно,
$c - b = 500 - 400 = a \frac{l - r}{l + r} = 300 \frac{40-20}{40+20} = 300 \frac{1}{3} = 100$.

Более того, ничего не испортится если $t$ вообще не будет ничьим делителем. Так, если $t = 17$, то $l = 400/17$, $r = 200/17$,
$c - b = 500 - 400 = a \frac{l - r}{l + r} = 300 \frac{400/17-200/17}{400/17+200/17} = 300 \frac{1}{3} = 100$.
Собственно, полученные выражения есть тавтология. С другой стороны, тождественными преобразованиями ничего кроме тавтологии получить, кажется, невозможно.

[serval]

SVD-d в сообщении #1392765 писал(а):

Что-то изменится от того что $t$ будет не наибольшим общим делителем, а просто делителем?

Тогда пифагорова тройка не будет примитивной.

SVD-d в сообщении #1392765 писал(а):

ничего не испортится если $t$ вообще не будет ничьим делителем

$t$ - делитель по определению, оно так задаётся.

SVD-d в сообщении #1392765 писал(а):

если $t = 17$, то $l = 400/17$, $r = 200/17$

Тогда элементами какой пифагоровой тройки будут $c$ и $b$ ?

Пожалуйста, приведите пример примитивной пифагоровой тройки в которой не выполняется указанное мной соотношение.

-- Пн май 13, 2019 15:58:31 --

SVD-d в сообщении #1392765 писал(а):

зачем такие сложности?

Просто так устроены пифагоровы тройки. И это позволяет вычислить, а не угадать выражения для их членов: $a=l^2-r^2,\ b=2lr,\ c=l^2+r^2$ . Я уже показывал.

[SVD-d]

serval в сообщении #1392766 писал(а):

Пожалуйста, приведите пример примитивной пифагоровой тройки в которой не выполняется указанное мной соотношение.

Это соотношение выполняется в любых пифагоровых тройках потому что это - тавтология. Если мы зададим $t$ не как делитель, ничего не изменится. Это выражение будет справедливо для любых $l, r$ построенных по приложенному рецепту. Прошу проверить:
$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, $t = 17$, $l = 4/17$, $r = 2/17$,
$c - b = 5 - 4 = a \frac{l - r}{l + r} = 3 \frac{4/17-2/17}{4/17+2/17} = 3 \frac{1}{3} = 1$.

А если всли выражение выполняется всегда и независимо ни от чего, то в нём нет никакого смысла. Зачем же нам задавать $t$ как делитель числа, которое мы ещё не вычислили? Можно задать его как единицу. Так даже проще считать.

--

Вообще, в тот момент когда у вас появляется система из четырёх уравнений для трёх неизвестных, стоит задуматься над тем, нет ли чего-то лишнего.

[serval]

Вы правы, не хватает одного условия. Я упустил его посчитав очевидным.
Это условие - все числа должны быть натуральными.
В условии ВТФ оговаривается натуральность $a,\ b$ и $c$. Я же не оговорил это для $l,\ r$ и $t$ подразумевая по умолчанию.
Исправляюсь.
Спасибо, это действительно следует указывать явно.
А откуда взято такое представление - посмотрите несколькими страницами выше, там я показал это с картинками.

P.S. А чуть позже я показал вычисленное тем же способом представление элементов кубических троек через те же $l$ и $r$.

[SVD-d]

Ну позвольте.

$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, $t = 1$, $l = 4$, $r = 2$. Идеально подходит. Хотя наибольшие общий делитель будет 2, а не 1. 2, кстати, тоже бы подошло. Как и $\sqrt{2}$

Чуть раскрою свою мысль. Предложим следующее

Пускай $b = L$, $c-a = R$. Где $R, L$ - некоторые параметры. Тогда вы записываете систему:

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} c^2-a^2=b^2\\ b = R\\ c - a = L \\ \end{array} \right. \end{equation}$

Три уравнения, три неизвестных. Решение известно и легко находится.
$a = \frac{R^2 - L^2}{2L}$, $b = R$, $c = \frac{R^2+L^2}{2 L}$. Ну, или если мы потребуем чтобы наши параметры были взаимно простыми, то для получения натуральной тройки домножим на $2L$, тем самым получив то, что записано в любой книжке:
$a = R^2 - L^2$, $b = 2 L R$, $c = R^2+L^2$

Вы же предлагаете добавить в исходную систему следующую замену:

$L = t l$, $R = t r$.

Понятно, что параметры остались параметрами и от этого дополнения ровным счётом ничего не изменилось. Фактически, так как $t, r, l$ могут быть любыми заранее известными величинами, то система получается переопределённой. Используя любое вещественное $t$ можно подобрать такие $r, l$, чтобы параметры $R, L$ были натуральными.

Нет никакого криминала в том, чтобы ограничить себя и искать $t$ как $\text{НОД}(b, c-a)$. Но это приводит к двум очевидным сложностям.
1) Мы не можем заранее сосчитать этот самый НОД, так как именно от этого НОД зависят те самые величины, из которых он потом будет рассчитан.
2) Этот самый НОД может меняться от одной тройки чисел к другой.

Гораздо проще следующий вариант. Раз уж $t$ может быть любым, объявляем $t = 1$. Тем самым мы:
1) Можем быть уверены в том, что $L, R$ - взаимно простые и использовать уже заранее известную формулу.
2) Единицу легко считать.
3) Единица равна самой себе независимо от тройки чисел.
4) Формулы заметным образом упрощаются.

[serval]

SVD-d в сообщении #1392946 писал(а):

$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, $t = 1$, $l = 4$, $r = 2$. Идеально подходит.

Не подходит. При таких $l$ и $r$ члены пифагоровой тройки примут значения: $a=4^2-2^2=12,\ b=2\cdot 4\cdot 2=16,\ c=4^2+2^2=20$, а это совсем не $3,\ 4$ и $5$ . Я говорил почему - если $t$ не НОД, а просто делитель, то пифагорова тройка не будет примитивной.

Еще раз - $t$ по определению задаётся как $\text{НОД}(b,c-a)$, то есть в вашем примере $t=\text{НОД}(4,5-3)=2$ . И другого значения она не может принять, поскольку однозначно вычисляется по заданной формуле.

SVD-d в сообщении #1392946 писал(а):

$t, r, l$ могут быть любыми заранее известными величинами

Не могут. В примере выше при произвольном $t$ не получилась исходная тройка. И не получится. В любой примитивной пифагоровой тройке параметр $t$ имеет единственное однозначно вычислимое значение.

SVD-d в сообщении #1392946 писал(а):

Используя любое вещественное $t$ можно подобрать такие $r, l$

Зачем их подбирать, если при вычислении $t$ они получаются автоматически?

SVD-d в сообщении #1392946 писал(а):

Раз уж $t$ может быть любым

В каждой примитивной пифагоровой тройке $t$ имеет единственное значение которое легко вычислить. Для чего подбирать по заданному $t$ остальные два параметра, если все три легко вычисляются из указанных мной соотношений членов тройки?

[SVD-d]

Как, не подходит?
Вы выписали уравнения, которыми я и руководствуюсь. Вот они:

serval в сообщении #1392518 писал(а):

$l^2t^2=(a+rt)^2-a^2\ ,\ l^2t^2=2art+r^2t^2\ ,\ (l^2-r^2)t^2=2art\ ,\ t=\displaystyle \frac{2ar}{l^2-r^2}$ .

serval в сообщении #1392518 писал(а):

$c-b=a\ \displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ .

serval в сообщении #1392518 писал(а):

$b=lt,\ c-a=rt$ .

Из этих уравнений следует:
$a = t \frac{l^2 - r^2}{2 r} = 3$
$b = t l = 4$
$c = a + t r = 5$

Прошу заметить, тройка примитивна до безобразия при том что никаких условий на $t$ я не накладывал, оно у меня равно единице. И открою секрет: оно может быть любым вещественным числом, и если $l$ и $r$ вычисляются по приведённому выше рецепту, итоговая тройка не будет зависеть от него ровно никак.
Снова повторюсь. От того что вы задаёте $t$ как наибольший общий делитель двух чисел, которые ещё не вычислены, ровным счётом ничего не изменится. Вы можете определить это число так или иначе - оно никак не повлияет на ответ.

[serval]

SVD-d в сообщении #1393146 писал(а):

Из этих уравнений следует

Это следует при $l,=2\ r=1,\ t=2$ . Где вы взяли эти значения?

SVD-d в сообщении #1393146 писал(а):

никаких условий на $t$ я не накладывал, оно у меня равно единице

На $t$ не нужно накладывать условий - его нужно вычислить по формуле, которой оно задаётся. Вам не нравится, что $t$ существует? Но так устроены пифагоровы тройки - для каждой действительно существует $t=\text{НОД}(b,c-a)$ . Это верно для всех без исключения примитивных пифагоровых троек.

При $l,=2\ r=1,\ t=1$ по моим формулам, на которые вы сослались, не получается тройка $a=3,\ b=4,\ c=5$ . Я ведь это показал.
Пожалуйста, покажите вычисление членов тройки по моим формулам при условии $l,=2\ r=1,\ t=1$ .

SVD-d в сообщении #1393146 писал(а):

вы задаёте $t$ как наибольший общий делитель двух чисел, которые ещё не вычислены

Ясно. Вы не поняли. Я не вычисляю члены тройки. Прочтите постановку задачи - для тройки $a^2+b^2=c^2$ найти значение $c-b$ . Вы же упорно решаете какую-то свою задачу.

-- Ср май 15, 2019 17:25:53 --

И то, что $t$ всегда существует имеет причину, которую можно легко изобразить.

[SVD-d]

serval в сообщении #1393179 писал(а):

Это следует при $l,=2\ r=1,\ t=2$ . Где вы взяли эти значения?

Взял вот отсюда:

SVD-d в сообщении #1392946 писал(а):

$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, $t = 1$, $l = 4$, $r = 2$. Идеально подходит.

Обратите внимание на то что $t$, $r$ и $l$ совершенно не те, что приведены вами, а результат тот же.

Я не спорю с тем, что для любого набора из двух натуральных чисел всегда существует число, являющееся их наибольшим общим делителем. Это самоочевидно. Но использовать это число для нахождения этих двух чисел приведённым вами способом бессмысленно по двум причинам:
1) до тех пор пока эти два числа не будут найдены величина $t$ останется неизвестной.
2) даже несмотря на то что она неизвестна, её значение ни на что не влияет, поэтому использование её совершенно бессмысленно. Это, как мне кажется, очевидно для любого, способного сопоставить между собой два высказывания:

serval в сообщении #1393179 писал(а):

Прочтите постановку задачи - для тройки $a^2+b^2=c^2$ найти значение $c-b$

serval в сообщении #1392518 писал(а):

$c-b=a\ \displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ .

[serval]

SVD-d в сообщении #1393184 писал(а):

для любого набора из двух натуральных чисел всегда существует число, являющееся их наибольшим общим делителем. Это самоочевидно

Ещё одно обстоятельство, которое я упустил. Даже в голову не пришло.

При $a<b<c$ всегда $t>1$ . То есть, в пифагоровой тройке всегда $\text{НОД}(b,c-a)>1$ . А это совсем не очевидно.

Вы уже дважды помогли мне установить строгость, спасибо.

SVD-d в сообщении #1393184 писал(а):

использовать это число для нахождения этих двух чисел

Мне начинает казаться, что вы не читаете моих ответов. Ещё раз - я не вычисляю члены тройки по параметрам $l,\ r$ и $t$ . Вообще. Такая задача не ставится. Услышьте уже.

SVD-d в сообщении #1393184 писал(а):

сопоставить между собой два высказывания

Я ставлю задачу, ввожу замену переменных и получаю верный результат. Почему я не могу использовать именно такую замену?

[SVD-d]

Что изменится в полученном вами выводе, если в качестве $t$ использовать $\text{НОД}(a+b, c)$?

[serval]

SVD-d в сообщении #1393210 писал(а):

Что изменится в полученном вами выводе, если в качестве $t$ использовать $\text{НОД}(a+b, c)$?

В первой же пифагоровой тройке $3^2+4^2=5^2$ такого натурального НОД не существует.

-- Пт июн 28, 2019 18:27:23 --

В матричном виде условие существования примитивных пифагоровых троек $a^2+b^2=c^2$ выглядит так:

$ \begin{pmatrix} l& r\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 1& -1\\ 1& -1& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b\\ a\\ c \end{pmatrix}=0 $

где

$l=b/\text{НОД}(c-a,b)\ ;\ r=(c-a)/\text{НОД}(c-a,b)$

$\text{НОД}(c-a,b)>1\ ;\ a<b<c\ ;\ l>r$

Все числа натуральные.

В вектор-столбце элементы пифагоровой тройки стоят не по старшинству для красоты прямоугольной матрицы - при таком порядке её элементы группируются в треугольники соответственно их знакам.

[Someone]

serval в сообщении #1402059 писал(а):

В первой же пифагоровой тройке $3^2+4^2=5^2$ такого натурального НОД не существует.

Почему не существует? Он равен $1$.