MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???

[shwedka]

неверно.

Формула у Выгодского, конечно, правильная, но с учетом слов, которые вокруг нее написаны. В Вашем же приложении вспомогательных переменных не одна, а три.
У Вас есть функция $\dot u_k(x_1,x_2,x_3)$,компонента скорости, и, согласно Козачку,

Цитата:

аргументы $x_j$ задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной $ s$

.

$\dot u_k=\dot u_k(x_1(s),x_2(s),x_3(s))$
По Выгодскому, стр 643, именно ЭТИ $x_j$ являются, действительно, вспомогательными переменными,а $ s$-основной. Так что вспомогательных переменных три штуки, а не одна. Поэтому формулы с одной вспомогательной переменной здесь иррелевантны. Правильную формулу я уже писала.
Еще раз призываю>: проверьте Вашу формулу

Цитата:

$ \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial s }}\frac{{\partial s}} {{\partial x_i }},(x_i = x,y,z) $

хотя бы на одном примере.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Формула у Выгодского, конечно, правильная, но с учетом слов, которые вокруг нее написаны.

. Вокруг нее написаны слова

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... dbooks.htm писал(а):

Пусть

\[ w \]

есть сложная функция любого числа аргументов

\[ u,v,...,t \]

(§438), заданная через посредство вспомогательных переменных

\[ x,y,...z \]

(в любом числе).

Исключим из рассмотрения проблемы Козачка. Будем полагаться только на Выгодского, где Вы четко видите вспомогательные переменные , \[ x,y,...z, и они могут быть , в любом числе. Формула (1) записана в общем виде для любого числа вспомогательных переменных \[ x,y,...z, . Поэтому в случае одной вспомогательной переменной, например

\[ x \]

, она имеет вид

\[ \begin{array}{l} \frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\ \frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \\ ................... \\ \frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\ \end{array} \]

(1*)


Подтвердите, пожалуйста, только не ссылаясь на проблемы Козачка, и после этого будем двигаться дальше.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок Формулы верны.
При одной вспомогательной переменной. То есть для функции.
$w(x(u,v,...,t))$.
А вот формулы Козачка $\frac{\partial \dot \vec u} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial s }}\frac{{\partial s}} {{\partial x_i }} $ неверны

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Александр Козачок Формулы верны.
При одной вспомогательной переменной. То есть для функции.
$w(x(u,v,...,t))$.
А вот формулы Козачка $\frac{\partial \dot \vec u} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial s }}\frac{{\partial s}} {{\partial x_i }} $ неверны

Ну вот и прекрасно! Значит эти формулы верны и в случае, когда аргументов только три, т.е. $u,v,t$, а $w$ является вектор-функцией . В таком случае формулы (1*) примут вид

\[ \begin{array}{l} \frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\ \frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \\ \frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\ \end{array} \]

(1**)

Подтвердите, пожалуйста, и прошу Вас, больше не ссылаясь на Козачка, а после этого будем двигаться дальше.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

верны, конечно, только, поскольку переменная $x$ только одна, точнее будет писать здесь не частную производную по $x$ , а обыкновенную.

И до чего же увлекательно присутствовать при создании новой математики и даже своим скромным поддакиванием в том соучаствовать.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

верны, конечно, только, поскольку переменная $x$ только одна, точнее будет писать здесь не частную производную по $x$ , а обыкновенную.

Надеюсь, что Вы не будете возражать против такой замены символов в этих формулах

\[\begin{array}{l} \frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\ \frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \\ \frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\ \end{array}\] \[\begin{array}{l} \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial y}} \\ \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial z}} \\ \end{array} \]

Цитата:

И до чего же увлекательно присутствовать при создании новой математики и даже своим скромным поддакиванием в том соучаствовать.

Если это тонкий юмор, то Вы недооцениваете значимость этой дискуссии. Если всерьез, то честно скажу, что Ваше жесткое сопротивление важнее скромного поддакивания. А то, что Вы в математике не noname, я уже убедился не только по этой дискуссии, но и просматривая многие другие. Но наша дискуссия когда-то все-таки закончится и навсегда останется в архиве этого замечательного форума. К тому же она будет обязательно отражена мною и в расширенном за счет этой (и других) темы издании учебного пособия «Парадоксы МСС». Но в таком объеме, Вы сами понимаете, все это поместить в учебное пособие не удастся, да и не имеет смысла. Поэтому, я надеюсь, что по итогам дискуссии Вы подготовите свое заключение, которое с Вашей подписью навсегда, как и многие другие комментарии и рецензии, войдет в учебное пособие «Парадоксы МСС», предназначенное в первую очередь для преподавателей и аспирантов.
Боюсь, что снова мне достанется за излишний пафос. Но есть оправдание: shwedka спровоцировала своим высказыванием.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок

Цитата:

$\begin{array}{l} \frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\ \frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \\ \frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\ \end{array}\] \[\begin{array}{l} \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial y}} \\ \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot \vec u}}{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}{{\partial z}} \\ \end{array} $

Не соглашусь, пока не выясню от Вас , как связаны между собой новые переменные.Я же по Вашей просьбе забыла, что

Цитата:

аргументы $x_j$ задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной $ \varsigma$

Я напомню, что до переобозначения были функции
$w(x(u,v,t))$ или, еще точнее, по компонентам $w_k(x(u,v,t)), k=1,2,3$ Обратите внимание, что здесь функция $x(u,v,t)$ ОДНА И ТА ЖЕ для всех компонент $w$.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Не соглашусь, пока не выясню от Вас , как связаны между собой новые переменные.Я же по Вашей просьбе забыла, что аргументы $x_j$ задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной $ \varsigma$

Это не новые переменные, а всего лишь иные обозначения символов тех же переменных, которые были приняты в справочнике Выгодского. И все. О прежних моих комментариях к его формуле пока забудьте. Мы начали с чистого листа.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок писал(а):

shwedka писал(а):

Не соглашусь, пока не выясню от Вас , как связаны между собой новые переменные.

Это не новые переменные, а всего лишь иные обозначения символов тех же переменных, которые были приняты в справочнике Выгодского. И все

Не сочтите за труд, напишите соотношения между новыми переменными своей рукой, для благодарного потомства и для удобства дальнейшего цитирования.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Не сочтите за труд, напишите соотношения между новыми переменными своей рукой, для благодарного потомства и для удобства дальнейшего цитирования.

Пожалуйста: OLD-обозначения в справочнике Выгодского, NEW- новые обозначения

\[ \begin{array}{l} u({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow x({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ v({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow y({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ t({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow z({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ x({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow \varsigma ({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ w({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow \dot \vec u({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ \end{array} \]

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок писал(а):

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Не сочтите за труд, напишите соотношения между новыми переменными своей рукой, для благодарного потомства и для удобства дальнейшего цитирования.

Пожалуйста: OLD-обозначения в справочнике Выгодского, NEW- новые обозначения

\[ \begin{array}{l} u({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow x({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ v({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow y({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ t({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow z({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ x({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow \varsigma ({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ w({\mathop{\rm OLD}\nolimits} ) \Rightarrow \Rightarrow \dot \vec u({\mathop{\rm NEW}\nolimits} ) \\ \end{array} \]

С уважением, Александр Козачок

Нет, не то. я просила соотношения между новыми переменными. Ладно, напишу сама, но Вы обязательно повторите, не как мою цитату, но от своего имени, чтобы потом ссылаться не на меня, а на Вас.
______________________________________________________________________

Имеется вектор-функция $\dot \vec u$, компоненты которой имеют форму

$\dot u_j(\varsigma(x,y,z))$, причем функция $\varsigma(x,y,z)$ - одна и та же для всех компонент. Тогда...(и перепишите Ваши формулы для производных)

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Нет, не то. я просила соотношения между новыми переменными.

Имеется вектор-функция $\dot \vec u$, компоненты которой имеют форму
$\dot u_j(\varsigma(x,y,z))$, причем функция $\varsigma(x,y,z)$ - одна и та же для всех компонент.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Замечательно,
поехали дальше. Вы теперь будете доказывать, что дивергенция ускорния равна нулю?? Я вся внимание.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):

Замечательно,
поехали дальше. Вы теперь будете доказывать, что дивергенция ускорния равна нулю?? Я вся внимание.

Итак, есть ВЕРНАЯ ФОРМУЛА (1) и последовательные формальные переходы от нее к (2), (3), (4). Уберите, пожалуйста, в скобках после номера формул ненужное слово, и Ваш ответ, если не считать возможные комментарии, готов.

\[ \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }} {{\partial x_i }},(x_i = x,y,z) \]

(1) (ВЕРНАЯ ФОРМУЛА)
Записывая эти формулы в явном виде относительно

\[ \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial \varsigma }} \]

и поочередно приравнивая их правые части, получим

\[ \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}} {{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}} \]

(2) (ПЕРЕХОД ВЕРНЫЙ ИЛИ НЕВЕРНЫЙ)

Переходя к покомпонентной записи формулы (2), имеем

\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}} {{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}} {{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}} {{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}} \]

(3) (ПЕРЕХОД ВЕРНЫЙ ИЛИ НЕВЕРНЫЙ)

Если все три соотношения записать в явном виде относительно общего для них множителя

\[ \frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}} {{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}} \]

и поочередно приравнять правые части полученных выражений, то получим варианты взаимосвязей между произведениями производных компонент вектора

\[ \dot \vec u \]

\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]

(4) (ПЕРЕХОД ВЕРНЫЙ ИЛИ НЕВЕРНЫЙ)
Если возражений нет, то пойдем дальше.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

все совершенно верно, конечно, при выполнении условия

Цитата:

причем функция $\varsigma(x,y,z)$ - одна и та же для всех компонент.

Вы, конечно, это условие помните, это я так, для своей и читательской памяти повторяю.