2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3345
Так получилось, что будучи студентом я не изучал обобщённые функции. УЧП у нас преподавали по Тихонову-Самарскому, в функциональном анализе эта штука тоже не упоминалась.

Сейчас разбираюсь в этой теме для себя. И у меня возникло, видимо, несколько совершенно тривиальных вопросов, на которые я прошу помочь найти ответ.

1) Велика ли вообще роль обобщённых функций в теории уравнений с частными производными? То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно. Но вот, для того же уравнения теплопроводности или волнового уравнения - у Тихонова-Самарского решение успешно ищется и без помощи обобщённых функций. Согласен, что в учебнике Владимирова с помощью аппарата обобщённых функций получается несколько более внятно и прозрачно. Не ясно, стоит ли это необходимости развивать целую теорию, а там нужно аккуратно определять операции над обобщёнными функциями, доказывать их свойства - это занимает у Владимирова целую главу. Можно ли пояснить, почему в большинстве современных учебников принят именно подход с обобщёнными функциями?

2) Для чего нужна сходимость (или топология) в пространствах основных и обобщённых функций? Что сломается, если пространство основных функций определить просто как линейное без какой-либо дополнительной структуры, пространство обобщённых - тоже как линейное пространство всевозможных линейных (без требования непрерывности) функционалов на пространстве основных функций? Кажется, свёртку определить удастся, преобразование Фурье (там где оно возможно) - тоже, а что ещё нужно для УЧП?

3) Обычно в учебниках вводятся два пространства обобщённых функций: первое строится на основе финитных бесконечно дифференцируемых основных функций, второе - пространство обобщённых функций медленного роста. Второе удобно тем, что там можно определить преобразование Фурье. А вот вопрос: зачем нужно первое? В каких вопросах может не хватить второго пространства, почему нельзя определить только его?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 11:13 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):
Для чего нужна сходимость (или топология) в пространствах основных и обобщённых функций?

Прежде всего: хоть какая-то сходимость нужна всегда и везде. Не только по теоретическим соображениям, но и хотя бы по сугубо прикладным причинам: любое решение на практике является приближённым, и эту приближенность нужно хоть как-то контролировать.

Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):
А вот вопрос: зачем нужно первое?

Оно абсолютно необходимо для определения того, что такое производные обобщённой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3345
ewert в сообщении #1386568 писал(а):
Прежде всего: хоть какая-то сходимость нужна всегда и везде. Не только по теоретическим соображениям, но и хотя бы по сугубо прикладным причинам: любое решение на практике является приближённым, и эту приближенность нужно хоть как-то контролировать.
Этот аргумент кажется убедительным, если речь о пространстве $C$ или $L_p$. Там и метрика есть, позволяющая оценить погрешность решения, и самое главное - эти метрики имеют прозрачный смысл. Но мне неочевидно, несёт ли какой-либо важный прикладной смысл сходимость чего-то к чему-то в пространстве обобщённых функций.
Вопросы, связанные со сходимостью/непрерывностью, при изложении теории обобщённых функций занимают очень большой процент объёма материала. Но при этом неочевидно, зачем это нужно.
ewert в сообщении #1386568 писал(а):
Оно абсолютно необходимо для определения того, что такое производные обобщённой функции.
Увы, не вижу почему это так. Производную можно определить формулой $(D^\alpha f,\varphi)=(-1)^{|\alpha|}(f,D^\alpha\varphi)$ и в пространстве обобщённых функций умеренного роста, и там тоже производная всегда будет существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 11:48 
Заслуженный участник


18/01/15
1830
В УЧП я не понимаю от слова совсем. Помню, что когда-то тоже изучал их по Тихонову-Самарскому, и еще по книжке лекций Олейник. Откуда понятие об обобщенных функциях, тоже не помню (первоначальное из каких-то популярных книжек). Но вот что я знаю твердо --- что функция Грина --- вещь очень полезная, и соответственно обобщенные функции тоже могут быть очень удобны. А если какая-то вещь удобна и постоянно используется, то надо строгость навести, очевидно.

Например, вчера была в олимпиадном разделе задача про выпуклые функции. С помощью рассуждений про обобщенные функции она легко сводится к частному случаю (подробности напишу к вечеру). Правда, там можно дать рассуждение и без дельта-функций, и вообще автор, наверное, подразумевал что-то другое, но вот я начал отчего-то рассуждать с обобщенными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1118
МО
1) Наверное, теорема Мальгранжа-Эренпрайса.
2) А что, например, можно сделать с оф, если они просто элементы бесконечномерного ЛВП без сходимости?
3) По-моему, потому что оно проще.
upd В 1) еще хочется добавить ударные волны как слабые решения, ну и вообще слабые решения учп.. Но это нелинейные уравнения, а там с обобщенными функциями все сложно :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 11:55 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Mikhail_K в сообщении #1386570 писал(а):
Производную можно определить формулой $(D^\alpha f,\varphi)=(-1)^{|\alpha|}(f,D^\alpha\varphi)$ и в пространстве обобщённых функций умеренного роста,

Можно. Только вопрос: а с какой стати определять её именно так?

Ведь обобщённых функций в природе не бывает. Это всегда результат некоторой идеализации. Не бывает дельта-функций -- бывают лишь дельтаобразные последовательности (и очень даже бывают). И дельта-функция полезна ровно потому, что может интерпретироваться как формальный предел таких последовательностей. Но, между прочим, для формализации понятия предела безусловно необходима хоть какая-то топология. Лучше бы, конечно, метрическая; но за невозможностью оной на худой конец сойдёт и слабая.

Так вот: то же самое и с производными. При использовании финитных пробных функций такого рода тождества, во-первых, выполняются для частного случая, когда эти функции регулярны и, во-вторых, задают регулярные производные однозначно. Этого достаточно для того, чтобы считать такое определение в обобщённом случае разумным и вполне мотивированным с практической точки зрения. Но это и необходимо.

А вот функции класса Шварца подходят для такой мотивации гораздо меньше, чем финитные. Не говоря уж о том, что этот класс имеет смысл только для всего пространства, обобщённые же функции нужны и для областей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):
1) Велика ли вообще роль обобщённых функций в теории уравнений с частными производными? То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно. Но вот, для того же уравнения теплопроводности или волнового уравнения - у Тихонова-Самарского решение успешно ищется и без помощи обобщённых функций. Согласен, что в учебнике Владимирова с помощью аппарата обобщённых функций получается несколько более внятно и прозрачно. Не ясно, стоит ли это необходимости развивать целую теорию...

Ну, если бы тут рядом не было Red_Herring, я бы сказал примерно следующее.

Вообще, существует три главных подхода к решению УЧП матфизики - по крайней мере, по базовым учебникам. Это:
- через фундаментальное решение;
- через разделение переменных;
- через характеристики.
Например, в волновом уравнении эти методы представляют решение в виде:
- (1) расходящихся волн (принцип Гюйгенса);
- (2) стоячих волн;
- (3) бегущих волн.
Не всегда актуальны все три метода, например, для уравнений эллиптического типа третий метод не применим.

Нельзя сказать, что решение успешно ищется каким-то одним методом, значит, давайте другие не изучать. Нет, надо изучать все три.

С практической точки зрения, эти методы имеют разную применимость. Когда-то одни удобнее, а когда-то другие. Когда-то одни методы совсем невозможно применить, и тогда мы вынуждены использовать другие. То есть, владение всеми методами даёт нам необходимую свободу действий.

С математической точки зрения, надо убедиться в том, что эти методы эквивалентны, что они предоставляют одни и те же множества решений. Ну и что задача нахождения решения полностью решена.

----------------

Другое дело, что фундаментальное решение может быть изложено без упоминания дельта-функций. Это заставляет выкручиваться, но в принципе возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9651
Hogtown
Я сейчас занят (скажем, на неделю--10 дней) и к долгому разговору неспособен. Хочу отметить

1) Обобщенные функции играют фундаментальную роль в одних разделах теории УЧП (и эти разделы мне гораздо ближе) и не играют почти никакой роли в других--но там появляются слабые решения, т.е. решения, которые являются обычными функциями но недостаточно гладкие. К этому же примыкают обобщенные производные, которые обычные функции.

2) Топология в пространствах обобщенных функций ужасна и нормальные люди ее не касаются. Без сходимости это будет не анализ, а какая-то алгебраическая фигня. Ну а серьезно, как иначе объяснить начальные или граничные условия, в которые входит дельта?

3) Разумеется, пространств Шварца $\mathscr{S}$ недостаточно. Во-первых, как быть с областями? И как быть с $e^{x}$ или $e^{x^2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение08.04.2019, 17:28 
Заслуженный участник


18/01/15
1830
vpb в сообщении #1386572 писал(а):
Например, вчера была в олимпиадном разделе задача про выпуклые функции. С помощью рассуждений про обобщенные функции она легко сводится к частному случаю (подробности напишу к вечеру).

Написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение09.04.2019, 12:51 
Заслуженный участник


01/06/15
968
С.-Петербург
Mikhail_K в сообщении #1386570 писал(а):
Но мне неочевидно, несёт ли какой-либо важный прикладной смысл сходимость чего-то к чему-то в пространстве обобщённых функций.

А вспомните того же Владимирова, самый первый параграф про ОФ - как вводится $\delta$-функция?
Кроме того у Гельфанда и Шилова (Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними, 1959) в первых параграфах читаем:
Цитата:
каждый сингулярный функционал есть предел регулярных
...
каждая обобщенная функция есть предел обобщенных функций, сосредоточенных в ограниченных множествах


Ну и подумайте над хорошим вопросом
пианист в сообщении #1386573 писал(а):
2) А что, например, можно сделать с оф, если они просто элементы бесконечномерного ЛВП без сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение30.04.2019, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3345
Большое спасибо всем ответившим!

(Оффтоп)

Пожалуйста, не сочтите задержку в ответе проявлением невежливости. Просто как-то совсем не было времени, кроме того хочется осмыслить каждый ответ прежде чем что-то отвечать или писать следующий вопрос.
Red_Herring в сообщении #1386619 писал(а):
Без сходимости это будет не анализ, а какая-то алгебраическая фигня. Ну а серьезно, как иначе объяснить начальные или граничные условия, в которые входит дельта?
<...>
Разумеется, пространств Шварца $\mathscr{S}$ недостаточно. Во-первых, как быть с областями?
Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе. Он позволяет доказать какие-то утверждения, которые нельзя доказать без обобщённых функций? Или доказать их более просто и внятно? Или, может, разработать какие-то методы нахождения решения? Потому что до сих пор моё знакомство с применением обобщённых функций ограничивалось вот этим:
Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):
То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно.
---
Red_Herring в сообщении #1386619 писал(а):
но там появляются слабые решения, т.е. решения, которые являются обычными функциями но недостаточно гладкие. К этому же примыкают обобщенные производные, которые обычные функции.
Нет, с этим у меня вопросов в данный момент нет. О важности слабых решений и обобщённых производных я имею устраивающее меня в данный момент представление. Вопрос именно про обобщённые функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение30.04.2019, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4082
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1386575 писал(а):
Ведь обобщённых функций в природе не бывает.
Да и с обычными тоже проблемы. Я вот, за всю свою долгую и богатую приключениями жизнь, в окрестных лесах еще ни одного тангенса не встретил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение01.05.2019, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9651
Hogtown
Mikhail_K в сообщении #1390383 писал(а):
Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе

Я как-то фантастически промахиваюсь с литературой, потому что рекомендую основываясь на моих старых воспоминаниях или представлении, что должно быть в книге, а там, оказывается не совсем то, или совсем не то. Я в настоящее время уверен только в книгах, по которым учу (и только по покрываем главам).

С моей точки зрения, огромное преимущество в единообразии. Так есть интегральные операторы, сингулярные интегральные операторы дифференциальные, их композиции да суперпозиции, а с помощью обобщенных функций можно сказать "интегральный оператор с ядром Шварца .... ". Как иначе объяснить, что такое фундаментальное решение? Для каждой задачи объяснение придется придумывать отдельно, если без обобщенных функций, даже если фундаментальное решение является обычной функцией. А вот для 3D волнового уравнения (и тем паче в более высоких размерностях, оно обычной функцией и не будет).

Если говорить о краевых задачах, то рассмотрим к примеру оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле. Тогда фундаментальное решение будет $G(x,y)$ (в данном случае симметричное относительно $x$ и $y$: $\Delta_x G=\delta(x-y)$, $G|_{x\in \partial D}=0$. Ну и если надо решить $\Delta  u=f$, $u|_{\partial D}=0$, to otvet $u(x)=\int G(x,y)f(y)\,dy$.
А если граничное условие $u|_{\partial X}=g$, то добавится (знак считать лень) $\pm \int [\nu_y \cdot \nabla_y  G(x,y)]g(y)\,dS_y$ , где $\nu$ единичная внутренняя нормаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение01.05.2019, 23:46 
Аватара пользователя


09/10/15
3827
Torrance, California, USA
amon в сообщении #1390399 писал(а):

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1386575 писал(а):
Ведь обобщённых функций в природе не бывает.
Да и с обычными тоже проблемы. Я вот, за всю свою долгую и богатую приключениями жизнь, в окрестных лесах еще ни одного тангенса не встретил.

(Оффтоп)

Ну это в лесах Ленобласти тангенсов особо не встретишь. Поезжайте в горы. Там что ни тропинка, то тангенс. То вверх, то вниз. И вообще, в природе нет ничего кроме функций. Мы их просто так не называем. Но, взаимодействуя с внешним миром, имеем дело каждый раз с функциями. И скорее всего как раз обобщенными, а не абстрактными математическими. Грубо говоря мы имеем дело с интегральными взаимодействиями, что и есть в известом смысле обобщенные функции. А обычне функции - это как раз абстракция, которую реально не пощупаешь, а только абстрактно представишь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение02.05.2019, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Mikhail_K в сообщении #1390383 писал(а):
Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе. Он позволяет доказать какие-то утверждения, которые нельзя доказать без обобщённых функций? Или доказать их более просто и внятно? Или, может, разработать какие-то методы нахождения решения?


Я не знаю, насколько мой ответ будет содержательным (тем более что вопрос адресован Red_Herring, разбирающемуся в предмете намного более лучше меня), но попробую.

1) Как отметил ewert, дельта-образные последовательности возникли до появления дельта-функции Дирака. Было замечено, что если потребовать от последовательности каких-то общих свойств, то для приложений не важно, какую именно дельта-образную последовательность использовать. Попытка выделить "то общее, что есть у всех дельта-образных последовательностей" оказалась успешной и привела к определению дельта-функции. В долгосрочной перспективе бывает полезно добавить один уровень абстракции, если он сокращает объём записи и убирает лишнее (а именно, конкретный выбор дельта-образной последовательности). Конечно, всегда возникает вопрос, стоит ли одно другого (например, если сложная абстракция незначительно сокращает изложение, но требует существенных усилий для её введения). В случае обобщённых функций общим мнением было, что абстракция не очень сложная, а сокращает много. Одним из лучших примеров, по-моему, является учебник Шубина "лекции об уравнениях математической физики". Мне кажется, что столько изложить в таком тонком учебнике можно было только благодаря обобщённым функциям.

2) Другая причина в том, что физики бы всё равно бы пользовались не только дельта-функцией, но и более сложными функциями. Например, точечный диполь (производная от дельта-функции) и потенциалы простого и двойного слоя. Кроме того, некоторые вопросы, связанные с расходимостями в квантовой электродинамике/теории поля связаны с проблемой перемножения обобщённых функций (могу привести ссылки на учебники, если нужно). Любой из этих причин было бы достаточно для внимания математиков и попыток разработки соответствующего аппарата.

3) По поводу литературы есть два ответа. Любой элементарный учебник на то и элементарный, чтобы всё, что там есть, можно было бы изложить и доказать без обобщённых функций (длиннее). Это утверждение из серии "всё, что можно сделать с помощью теории групп, можно сделать и без неё" (кажется, Ландау). Книга Шубина, на мой взгляд, является удачным примером использования обобщённых функций.

4) Если говорить о более профессиональной стороне дела, то в эллиптических и параболических уравнениях без обобщённых функций можно кое-как обойтись (с большим количеством оговорок), то в теории гиперболических уравнений без обобщённых функций вообще никуда, потому что один из основных вопросов в этой теории -- геометрия волновых фронтов, и само понятие волнового фронта использует обобщённые функции.

Наверное, если очень постараться, то можно выписать всё и без обобщённых функций, вручную задавая все условия сшивания на всех подмногообразиях, но зачем, теория и так достаточно сложна и длинна без этого, а так будет в 10 раз длиннее.

Одной из классических монографий по PDE, активно это использующей, является четырёхтомник Хёрмандера "Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными", но надо учесть, что ей уже больше 30 лет, и с тех пор наука продвинулась вперёд. Но всё-таки она неизмеримо ближе к современному состоянию области, чем учебники, в которых учат разделять переменные в прямоугольнике и в шаре.

5) В предыдущем пункте я упоминал оговорки, приведу одну: даже если мы рассматриваем, например, оператор Лапласа в области с гладкой границей, некоторые вопросы (например, спектральные асимптотики или популярная в последнее время "quantum ergodicity") естественно решаются в терминах задачи Коши для уравнения теплопроводности или волнового уравнения в этой области (добавили одну переменную $t$). В некоторых ситуациях волновое уравнение удобнее (потому что принцип Гюйгенса выполняется и проще контролировать носитель решения), поэтому сразу же возникают те же волновые фронты, с которыми весьма нетривиально бороться, когда они доходят до границы области (например, волны шепчущей галереи и т. п.).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group