Нужен ликбез по обобщённым функциям

[Mikhail_K]

Так получилось, что будучи студентом я не изучал обобщённые функции. УЧП у нас преподавали по Тихонову-Самарскому, в функциональном анализе эта штука тоже не упоминалась.

Сейчас разбираюсь в этой теме для себя. И у меня возникло, видимо, несколько совершенно тривиальных вопросов, на которые я прошу помочь найти ответ.

1) Велика ли вообще роль обобщённых функций в теории уравнений с частными производными? То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно. Но вот, для того же уравнения теплопроводности или волнового уравнения - у Тихонова-Самарского решение успешно ищется и без помощи обобщённых функций. Согласен, что в учебнике Владимирова с помощью аппарата обобщённых функций получается несколько более внятно и прозрачно. Не ясно, стоит ли это необходимости развивать целую теорию, а там нужно аккуратно определять операции над обобщёнными функциями, доказывать их свойства - это занимает у Владимирова целую главу. Можно ли пояснить, почему в большинстве современных учебников принят именно подход с обобщёнными функциями?

2) Для чего нужна сходимость (или топология) в пространствах основных и обобщённых функций? Что сломается, если пространство основных функций определить просто как линейное без какой-либо дополнительной структуры, пространство обобщённых - тоже как линейное пространство всевозможных линейных (без требования непрерывности) функционалов на пространстве основных функций? Кажется, свёртку определить удастся, преобразование Фурье (там где оно возможно) - тоже, а что ещё нужно для УЧП?

3) Обычно в учебниках вводятся два пространства обобщённых функций: первое строится на основе финитных бесконечно дифференцируемых основных функций, второе - пространство обобщённых функций медленного роста. Второе удобно тем, что там можно определить преобразование Фурье. А вот вопрос: зачем нужно первое? В каких вопросах может не хватить второго пространства, почему нельзя определить только его?

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):

Для чего нужна сходимость (или топология) в пространствах основных и обобщённых функций?

Прежде всего: хоть какая-то сходимость нужна всегда и везде. Не только по теоретическим соображениям, но и хотя бы по сугубо прикладным причинам: любое решение на практике является приближённым, и эту приближенность нужно хоть как-то контролировать.

Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):

А вот вопрос: зачем нужно первое?

Оно абсолютно необходимо для определения того, что такое производные обобщённой функции.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1386568 писал(а):

Прежде всего: хоть какая-то сходимость нужна всегда и везде. Не только по теоретическим соображениям, но и хотя бы по сугубо прикладным причинам: любое решение на практике является приближённым, и эту приближенность нужно хоть как-то контролировать.

Этот аргумент кажется убедительным, если речь о пространстве $C$ или $L_p$. Там и метрика есть, позволяющая оценить погрешность решения, и самое главное - эти метрики имеют прозрачный смысл. Но мне неочевидно, несёт ли какой-либо важный прикладной смысл сходимость чего-то к чему-то в пространстве обобщённых функций.
Вопросы, связанные со сходимостью/непрерывностью, при изложении теории обобщённых функций занимают очень большой процент объёма материала. Но при этом неочевидно, зачем это нужно.

ewert в сообщении #1386568 писал(а):

Оно абсолютно необходимо для определения того, что такое производные обобщённой функции.

Увы, не вижу почему это так. Производную можно определить формулой $(D^\alpha f,\varphi)=(-1)^{|\alpha|}(f,D^\alpha\varphi)$ и в пространстве обобщённых функций умеренного роста, и там тоже производная всегда будет существовать.

[vpb]

В УЧП я не понимаю от слова совсем. Помню, что когда-то тоже изучал их по Тихонову-Самарскому, и еще по книжке лекций Олейник. Откуда понятие об обобщенных функциях, тоже не помню (первоначальное из каких-то популярных книжек). Но вот что я знаю твердо --- что функция Грина --- вещь очень полезная, и соответственно обобщенные функции тоже могут быть очень удобны. А если какая-то вещь удобна и постоянно используется, то надо строгость навести, очевидно.

Например, вчера была в олимпиадном разделе задача про выпуклые функции. С помощью рассуждений про обобщенные функции она легко сводится к частному случаю (подробности напишу к вечеру). Правда, там можно дать рассуждение и без дельта-функций, и вообще автор, наверное, подразумевал что-то другое, но вот я начал отчего-то рассуждать с обобщенными.

[пианист]

1) Наверное, теорема Мальгранжа-Эренпрайса.
2) А что, например, можно сделать с оф, если они просто элементы бесконечномерного ЛВП без сходимости?
3) По-моему, потому что оно проще.
upd В 1) еще хочется добавить ударные волны как слабые решения, ну и вообще слабые решения учп.. Но это нелинейные уравнения, а там с обобщенными функциями все сложно :(

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1386570 писал(а):

Производную можно определить формулой $(D^\alpha f,\varphi)=(-1)^{|\alpha|}(f,D^\alpha\varphi)$ и в пространстве обобщённых функций умеренного роста,

Можно. Только вопрос: а с какой стати определять её именно так?

Ведь обобщённых функций в природе не бывает. Это всегда результат некоторой идеализации. Не бывает дельта-функций -- бывают лишь дельтаобразные последовательности (и очень даже бывают). И дельта-функция полезна ровно потому, что может интерпретироваться как формальный предел таких последовательностей. Но, между прочим, для формализации понятия предела безусловно необходима хоть какая-то топология. Лучше бы, конечно, метрическая; но за невозможностью оной на худой конец сойдёт и слабая.

Так вот: то же самое и с производными. При использовании финитных пробных функций такого рода тождества, во-первых, выполняются для частного случая, когда эти функции регулярны и, во-вторых, задают регулярные производные однозначно. Этого достаточно для того, чтобы считать такое определение в обобщённом случае разумным и вполне мотивированным с практической точки зрения. Но это и необходимо.

А вот функции класса Шварца подходят для такой мотивации гораздо меньше, чем финитные. Не говоря уж о том, что этот класс имеет смысл только для всего пространства, обобщённые же функции нужны и для областей.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):

1) Велика ли вообще роль обобщённых функций в теории уравнений с частными производными? То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно. Но вот, для того же уравнения теплопроводности или волнового уравнения - у Тихонова-Самарского решение успешно ищется и без помощи обобщённых функций. Согласен, что в учебнике Владимирова с помощью аппарата обобщённых функций получается несколько более внятно и прозрачно. Не ясно, стоит ли это необходимости развивать целую теорию...

Ну, если бы тут рядом не было Red_Herring, я бы сказал примерно следующее.

Вообще, существует три главных подхода к решению УЧП матфизики - по крайней мере, по базовым учебникам. Это:
- через фундаментальное решение;
- через разделение переменных;
- через характеристики.
Например, в волновом уравнении эти методы представляют решение в виде:
- (1) расходящихся волн (принцип Гюйгенса);
- (2) стоячих волн;
- (3) бегущих волн.
Не всегда актуальны все три метода, например, для уравнений эллиптического типа третий метод не применим.

Нельзя сказать, что решение успешно ищется каким-то одним методом, значит, давайте другие не изучать. Нет, надо изучать все три.

С практической точки зрения, эти методы имеют разную применимость. Когда-то одни удобнее, а когда-то другие. Когда-то одни методы совсем невозможно применить, и тогда мы вынуждены использовать другие. То есть, владение всеми методами даёт нам необходимую свободу действий.

С математической точки зрения, надо убедиться в том, что эти методы эквивалентны, что они предоставляют одни и те же множества решений. Ну и что задача нахождения решения полностью решена.

----------------

Другое дело, что фундаментальное решение может быть изложено без упоминания дельта-функций. Это заставляет выкручиваться, но в принципе возможно.

[Red_Herring]

Я сейчас занят (скажем, на неделю--10 дней) и к долгому разговору неспособен. Хочу отметить

1) Обобщенные функции играют фундаментальную роль в одних разделах теории УЧП (и эти разделы мне гораздо ближе) и не играют почти никакой роли в других--но там появляются слабые решения, т.е. решения, которые являются обычными функциями но недостаточно гладкие. К этому же примыкают обобщенные производные, которые обычные функции.

2) Топология в пространствах обобщенных функций ужасна и нормальные люди ее не касаются. Без сходимости это будет не анализ, а какая-то алгебраическая фигня. Ну а серьезно, как иначе объяснить начальные или граничные условия, в которые входит дельта?

3) Разумеется, пространств Шварца $\mathscr{S}$ недостаточно. Во-первых, как быть с областями? И как быть с $e^{x}$ или $e^{x^2}$?

[vpb]

vpb в сообщении #1386572 писал(а):

Например, вчера была в олимпиадном разделе задача про выпуклые функции. С помощью рассуждений про обобщенные функции она легко сводится к частному случаю (подробности напишу к вечеру).

Написал.

[Walker_XXI]

Mikhail_K в сообщении #1386570 писал(а):

Но мне неочевидно, несёт ли какой-либо важный прикладной смысл сходимость чего-то к чему-то в пространстве обобщённых функций.

А вспомните того же Владимирова, самый первый параграф про ОФ - как вводится $\delta$-функция?
Кроме того у Гельфанда и Шилова (Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними, 1959) в первых параграфах читаем:

Цитата:

каждый сингулярный функционал есть предел регулярных
...
каждая обобщенная функция есть предел обобщенных функций, сосредоточенных в ограниченных множествах

Ну и подумайте над хорошим вопросом

пианист в сообщении #1386573 писал(а):

2) А что, например, можно сделать с оф, если они просто элементы бесконечномерного ЛВП без сходимости?

[Mikhail_K]

Большое спасибо всем ответившим!

(Оффтоп)

Пожалуйста, не сочтите задержку в ответе проявлением невежливости. Просто как-то совсем не было времени, кроме того хочется осмыслить каждый ответ прежде чем что-то отвечать или писать следующий вопрос.

Red_Herring в сообщении #1386619 писал(а):

Без сходимости это будет не анализ, а какая-то алгебраическая фигня. Ну а серьезно, как иначе объяснить начальные или граничные условия, в которые входит дельта?
<...>
Разумеется, пространств Шварца $\mathscr{S}$ недостаточно. Во-первых, как быть с областями?

Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе. Он позволяет доказать какие-то утверждения, которые нельзя доказать без обобщённых функций? Или доказать их более просто и внятно? Или, может, разработать какие-то методы нахождения решения? Потому что до сих пор моё знакомство с применением обобщённых функций ограничивалось вот этим:

Mikhail_K в сообщении #1386560 писал(а):

То есть понятно, что они дают нам способ нахождения решений задач Коши: сначала ищем фундаментальное решение, например с помощью преобразования Фурье, затем его свёртку с чем нужно.

---

Red_Herring в сообщении #1386619 писал(а):

но там появляются слабые решения, т.е. решения, которые являются обычными функциями но недостаточно гладкие. К этому же примыкают обобщенные производные, которые обычные функции.

Нет, с этим у меня вопросов в данный момент нет. О важности слабых решений и обобщённых производных я имею устраивающее меня в данный момент представление. Вопрос именно про обобщённые функции.

[amon]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1386575 писал(а):

Ведь обобщённых функций в природе не бывает.

Да и с обычными тоже проблемы. Я вот, за всю свою долгую и богатую приключениями жизнь, в окрестных лесах еще ни одного тангенса не встретил.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1390383 писал(а):

Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе

Я как-то фантастически промахиваюсь с литературой, потому что рекомендую основываясь на моих старых воспоминаниях или представлении, что должно быть в книге, а там, оказывается не совсем то, или совсем не то. Я в настоящее время уверен только в книгах, по которым учу (и только по покрываем главам).

С моей точки зрения, огромное преимущество в единообразии. Так есть интегральные операторы, сингулярные интегральные операторы дифференциальные, их композиции да суперпозиции, а с помощью обобщенных функций можно сказать "интегральный оператор с ядром Шварца .... ". Как иначе объяснить, что такое фундаментальное решение? Для каждой задачи объяснение придется придумывать отдельно, если без обобщенных функций, даже если фундаментальное решение является обычной функцией. А вот для 3D волнового уравнения (и тем паче в более высоких размерностях, оно обычной функцией и не будет).

Если говорить о краевых задачах, то рассмотрим к примеру оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле. Тогда фундаментальное решение будет $G(x,y)$ (в данном случае симметричное относительно $x$ и $y$: $\Delta_x G=\delta(x-y)$, $G|_{x\in \partial D}=0$. Ну и если надо решить $\Delta u=f$, $u|_{\partial D}=0$, to otvet $u(x)=\int G(x,y)f(y)\,dy$.
А если граничное условие $u|_{\partial X}=g$, то добавится (знак считать лень) $\pm \int [\nu_y \cdot \nabla_y G(x,y)]g(y)\,dS_y$ , где $\nu$ единичная внутренняя нормаль.

[fred1996]

amon в сообщении #1390399 писал(а):

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1386575 писал(а):

Ведь обобщённых функций в природе не бывает.

Да и с обычными тоже проблемы. Я вот, за всю свою долгую и богатую приключениями жизнь, в окрестных лесах еще ни одного тангенса не встретил.

(Оффтоп)

Ну это в лесах Ленобласти тангенсов особо не встретишь. Поезжайте в горы. Там что ни тропинка, то тангенс. То вверх, то вниз. И вообще, в природе нет ничего кроме функций. Мы их просто так не называем. Но, взаимодействуя с внешним миром, имеем дело каждый раз с функциями. И скорее всего как раз обобщенными, а не абстрактными математическими. Грубо говоря мы имеем дело с интегральными взаимодействиями, что и есть в известом смысле обобщенные функции. А обычне функции - это как раз абстракция, которую реально не пощупаешь, а только абстрактно представишь.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1390383 писал(а):

Не могли бы Вы посоветовать какую-нибудь элементарную литературу, где бы рассматривалось применение аппарата обобщённых функций к изучению краевых задач для УЧП (где были бы граничные условия и области), и чтобы было ясно, какая выгода и преимущества в этом подходе. Он позволяет доказать какие-то утверждения, которые нельзя доказать без обобщённых функций? Или доказать их более просто и внятно? Или, может, разработать какие-то методы нахождения решения?

Я не знаю, насколько мой ответ будет содержательным (тем более что вопрос адресован Red_Herring, разбирающемуся в предмете намного более лучше меня), но попробую.

1) Как отметил ewert, дельта-образные последовательности возникли до появления дельта-функции Дирака. Было замечено, что если потребовать от последовательности каких-то общих свойств, то для приложений не важно, какую именно дельта-образную последовательность использовать. Попытка выделить "то общее, что есть у всех дельта-образных последовательностей" оказалась успешной и привела к определению дельта-функции. В долгосрочной перспективе бывает полезно добавить один уровень абстракции, если он сокращает объём записи и убирает лишнее (а именно, конкретный выбор дельта-образной последовательности). Конечно, всегда возникает вопрос, стоит ли одно другого (например, если сложная абстракция незначительно сокращает изложение, но требует существенных усилий для её введения). В случае обобщённых функций общим мнением было, что абстракция не очень сложная, а сокращает много. Одним из лучших примеров, по-моему, является учебник Шубина "лекции об уравнениях математической физики". Мне кажется, что столько изложить в таком тонком учебнике можно было только благодаря обобщённым функциям.

2) Другая причина в том, что физики бы всё равно бы пользовались не только дельта-функцией, но и более сложными функциями. Например, точечный диполь (производная от дельта-функции) и потенциалы простого и двойного слоя. Кроме того, некоторые вопросы, связанные с расходимостями в квантовой электродинамике/теории поля связаны с проблемой перемножения обобщённых функций (могу привести ссылки на учебники, если нужно). Любой из этих причин было бы достаточно для внимания математиков и попыток разработки соответствующего аппарата.

3) По поводу литературы есть два ответа. Любой элементарный учебник на то и элементарный, чтобы всё, что там есть, можно было бы изложить и доказать без обобщённых функций (длиннее). Это утверждение из серии "всё, что можно сделать с помощью теории групп, можно сделать и без неё" (кажется, Ландау). Книга Шубина, на мой взгляд, является удачным примером использования обобщённых функций.

4) Если говорить о более профессиональной стороне дела, то в эллиптических и параболических уравнениях без обобщённых функций можно кое-как обойтись (с большим количеством оговорок), то в теории гиперболических уравнений без обобщённых функций вообще никуда, потому что один из основных вопросов в этой теории -- геометрия волновых фронтов, и само понятие волнового фронта использует обобщённые функции.

Наверное, если очень постараться, то можно выписать всё и без обобщённых функций, вручную задавая все условия сшивания на всех подмногообразиях, но зачем, теория и так достаточно сложна и длинна без этого, а так будет в 10 раз длиннее.

Одной из классических монографий по PDE, активно это использующей, является четырёхтомник Хёрмандера "Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными", но надо учесть, что ей уже больше 30 лет, и с тех пор наука продвинулась вперёд. Но всё-таки она неизмеримо ближе к современному состоянию области, чем учебники, в которых учат разделять переменные в прямоугольнике и в шаре.

5) В предыдущем пункте я упоминал оговорки, приведу одну: даже если мы рассматриваем, например, оператор Лапласа в области с гладкой границей, некоторые вопросы (например, спектральные асимптотики или популярная в последнее время "quantum ergodicity") естественно решаются в терминах задачи Коши для уравнения теплопроводности или волнового уравнения в этой области (добавили одну переменную $t$). В некоторых ситуациях волновое уравнение удобнее (потому что принцип Гюйгенса выполняется и проще контролировать носитель решения), поэтому сразу же возникают те же волновые фронты, с которыми весьма нетривиально бороться, когда они доходят до границы области (например, волны шепчущей галереи и т. п.).