Аберрация (СТО). ФЛФ. Задача 34-4.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

1. Примените к этой плоскости преобразования Лоренца для системы отсчёта телескопа, движущейся в направлении оси $x$ со скоростью $v.$

$x' = \tfrac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \implies x = x'\sqrt{1-v^2/c^2}+vt$
$t' = \tfrac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , $
$t'\sqrt{1-v^2/c^2}=t-v(x'\sqrt{1-v^2/c^2}+vt)/c^2 ,$
$t'\sqrt{1-v^2/c^2} + vx'\sqrt{1-v^2/c^2}/c^2=t(1-v^2/c^2 ) \implies t=\tfrac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$y' = y = -ct = -\tfrac{ct'+vx'/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Цитата:

2. Рассмотрим второй волновой фронт, идущий после первого через время (период волны) $T,$ или что то же самое, идущий позади на расстоянии (длине волны) $\lambda=cT.$ Запишите его уравнение в пространстве-времени. Преобразуйте его в движущуюся систему отсчёта, как в п. 1.

$y = -ct + \lambda$
$y' = y = -ct + \lambda = -\tfrac{ct'+vx'/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \lambda$

Цитата:

3. Глядя на эти два волновых фронта, определите, как с точки зрения движущегося телескопа выглядят эти набегающие на него световые волны: с какого направления они идут? С каким периодом? С какой длиной волны? Рассчитайте по периоду и длине волны частоту и волновой вектор. Убедитесь, что получилось то же, что и при прямом расчёте преобразований $(\mathbf{k},\omega).$

Чертеж png
$\tg\theta = \tfrac{y'(t'=0,x')}{x'} = \tfrac{ -\tfrac{vx'/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}{x'} = -\tfrac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$\lambda' = \lambda \cos(\theta) = \lambda \sqrt{1-v^2/c^2} $
$T' = \lambda' / c = \lambda \sqrt{1-v^2/c^2} / c = T\sqrt{1-v^2/c^2} $
$\omega' = 2\pi / T' = 2\pi / T\sqrt{1-v^2/c^2} = \omega / \sqrt{1-v^2/c^2} $
$k' = 2\pi / \lambda' =2\pi / \lambda \sqrt{1-v^2/c^2} = k/ \sqrt{1-v^2/c^2}$
Угол наклона телескопа совпал, но $\omega'\text{, } k'$ — нет.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1387904 писал(а):

Угол наклона телескопа совпал, но $\omega'\text{, } k'$ — нет.

Почему нет-то?

Вот цитата из вашего первого сообщения:

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

Для наблюдателя в покое волновой вектор $\mathbf {k}$:
$\mathbf{k} (k_x, k_y , k_z) = \mathbf {k} (0, k_y , 0)$
Для движущегося наблюдателя:
$\mathbf{k'} (k_x', k_y' , k_z') = \mathbf {k'} (\frac{k_x+\omega v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , k_y , k_z) = \mathbf {k'} (\frac{0+(k_y c) v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , k_y , 0) $

Здесь вы посчитали $\mathbf{k}'$ как вектор, с отдельными составляющими по $(x',y',z').$ Какова величина этого вектора? По теореме Пифагора $k'=\sqrt{k_x'^2+k_y'^2}.$ Подставляем и считаем.

Что с частотой? Её можно рассчитать через $k',$ и убедиться, что всё сошлось.

Но я предлагаю вам немножко другой путь: подставить в штрихованное уравнение для второго волнового фронта величины $y'=x'=0,$ то есть, посмотреть, когда он пройдёт через начало координат, в какой момент времени $t'$? И это и даст вам и $T',$ и $\omega'=2\pi/T'.$

-- 16.04.2019 00:32:35 --

Я надеюсь, понятно, что если для расстояний между первым и вторым волновым фронтом всё будет правильно, то дальше идут 3-й, 4-й, и так далее, волновые фронты, всё так же на равных расстояниях и с равными периодами. То есть, для расчёта двух фронтов достаточно.

[Uchitel'_istorii]

Так, тут надо правильно угол найти. Угол между положительным направлением оси $x'$ и $\mathbf{k'}: $
$\phi = \theta - \tfrac{\pi}{2}$
$\cos(\phi) = \cos(\theta - \tfrac{\pi}{2}) =\sin(\theta) = -v/c$
$\sin(\phi) = \sin(\theta - \tfrac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) = -\sqrt{1-v^2/c^2}$

$k' = \tfrac{k}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$k = -k_y$
$k'_x=k'\cos(\phi) =- \tfrac{kv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$k'_y=k'\sin(\phi) = - k$

Также у Фейнмана в 34-6 формула волны $\cos(\omega t - kx)$, т.е. волна летит вправо, а штрихованная система -- влево. Поэтому правильные формулы преобразований:
$k'_x = \tfrac{k_x - \omega v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}};$
$\omega' = \tfrac{\omega - k_x v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$
$k_x = 0, \quad \omega = k c$
$\therefore k'_x = -\tfrac{k v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \quad \omega' = \tfrac{\omega }{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Т.е. да , сошлось.