Аберрация (СТО). ФЛФ. Задача 34-4.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

PNG. писал(а):

As suggested on p. 34-10, derive the expression $\sin\theta = v/c using the Lorentz transformation.

Секция 34-8 на английском: http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... ml#Ch34-S8

Использую рисунок 34-12, формулу (34.18) для одномерного случая.
Для наблюдателя в покое волновой вектор $\mathbf {k}$:
$\mathbf{k} (k_x, k_y , k_z) = \mathbf {k} (0, k_y , 0)$
Для движущегося наблюдателя:
$\mathbf{k'} (k_x', k_y' , k_z') = \mathbf {k'} (\frac{k_x+\omega v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , k_y , k_z) = \mathbf {k'} (\frac{0+(k_y c) v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , k_y , 0) $
Поэтому угол находится из уравнения: $\tan(\theta) = \tfrac{k'_x}{k'_y} = \frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Вопрос в следующем. Допустим на оси $X$ есть точка $S(x_s,0)$, которая находится в покое ( координаты в формате $(x,t)$ ). Ось $X'$ совмещена с $X$, точки $(0,0)$ обеих осей совпадают. $X'$ движется в положительном направлении оси $X$ со скоростью $v$.
При взгяде из системы покоя, на движущейся оси точка $S$ имеет координаты:
$(x_s' , t_s' ) = (\frac{x_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , \frac{vx_s/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}})$
Но при взгяде из движущейся системы будет казаться, что точка $S$ и все пространство движется со скоростью $-v$, возникнет лоренцево сокращение длины и координаты точки $S$:
$(x_s'' , t_s'') = (x_s\sqrt{1-v^2/c^2} , 0)$.

Почему $\mathbf{k'}$ и $\omega '$ -- это то, что видит движущийся наблюдатель,--
но $x'$ и $t'$ -- не то, что видит движущийся наблюдатель?
И почему Фейнман при выводе формулы волны (34.16) переводит в штрихованные координаты и утверждает, что формула в штрихованных координатах -- это и есть то, что увидит движущийся наблюдатель.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

При взгляде из системы покоя, на движущейся оси точка $S$ имеет координаты...

Уже здесь проблема. При взгляде из системы покоя, точка $S$ имеет координаты в неподвижной системе координат $(x,t).$ А координаты $(x',t')$ - это то, что получается при взгляде из движущейся системы отсчёта. Не надо думать, что в системе покоя можно посмотреть на движущуюся ось и чего-то понять. Это усложняет вашу картину, и к тому же не соответствует реальности.

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

Допустим на оси $X$ есть точка $S(x_s,0)$, которая находится в покое ( координаты в формате $(x,t)$ ).

Если она находится в покое, то значит, что она не "случилась" в момент времени 0, а существует на протяжении всего времени. Она описывается мировой линией с уравнением $x(t)=x_s=\mathrm{const},$ и таким образом, её координаты - это пара чисел, зависящая от свободного параметра: $(x_s,t).$

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

При взгяде из системы покоя, на движущейся оси точка $S$ имеет координаты:
$(x_s' , t_s' ) = (\frac{x_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , \frac{vx_s/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}})$

Правильное вычисление - это использование преобразований Лоренца (здесь их напоминают под номером (34.15), только знак скорости другой):
$(x_s',t_s')=\Bigl(\dfrac{x_s-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\dfrac{t-vx_s/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Bigr)$
Это уже готовое описание (параметрическое уравнение) линии в координатах $(x',t').$ Однако старый параметр неудобен, и надо от него избавиться - выразить через другой параметр. Пропуская вычисления, приведу результат:
$(x_s',t_s')=(x_s\sqrt{1-v^2/c^2}-vt',t')$

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

Но при взгяде из движущейся системы будет казаться, что точка $S$ и все пространство движется со скоростью $-v$, возникнет лоренцево сокращение длины и координаты точки $S$:
$(x_s'' , t_s'') = (x_s\sqrt{1-v^2/c^2} , 0)$.

Полностью ошибочно. Да, точка $S$ будет двигаться со скоростью $-v$ (но не всё пространство), но эффект будет не сокращением длины, а преобразованием Лоренца. Нельзя путать эти вещи, они совершенно разные.

Вам необходимо вернуться к главам 15 и 17, и пройти их заново. Видно, что вы совершенно неправильно представляете себе базовые вещи.

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

Почему $\mathbf{k'}$ и $\omega '$ -- это то, что видит движущийся наблюдатель,--
но $x'$ и $t'$ -- не то, что видит движущийся наблюдатель?

Потому что наблюдатель локален. Он видит только световые волны, которые дошли до него, но не имеет возможности узнать, что там вдалеке. К счастью, правильно рассчитанные $(\mathbf{k}',\omega')$ и $(\mathbf{r}',t')$ совместимы между собой, а не противоречат.

-- 13.04.2019 14:49:00 --

Munin в сообщении #1387469 писал(а):

Пропуская вычисления, приведу результат

Нет, вы не справитесь. Вам надо разжёвывать.

Используем уравнение
$t_s'=\dfrac{t-vx_s/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$
Из него надо выразить, наоборот, $t$ через $t_s'$ (остальное - константы):
$t_s'\sqrt{1-v^2/c^2}=t-vx_s/c^2$
$t=vx_s/c^2+t_s'\sqrt{1-v^2/c^2}$

Теперь это выражение надо подставить в другое имеющееся уравнение $x_s'=\dfrac{x_s-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$x_s'=\dfrac{x_s-v(vx_s/c^2+t_s'\sqrt{1-v^2/c^2})}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$x_s'=\dfrac{x_s-v^2x_s/c^2-vt_s'\sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$x_s'=\dfrac{x_s(1-v^2/c^2)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-vt_s'$
$x_s'=x_s\sqrt{1-v^2/c^2}-vt_s'$

И наконец, поскольку мы выразили $x_s'=x_s'(t_s'),$ можно параметр этого выражения назвать $t'$ - от этого ничего не изменится.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Вам необходимо вернуться к главам 15 и 17, и пройти их заново.

Мне понравилась задача 17-1.
Фейнман спрашивает, сколько времени потребуется протону с энергией $10^{10} \text{ GeV}$, чтобы пересечь галактику по диаметру.
Ответ: $5 \text{ min.}$
Моменты входа в галактику и выхода из нее четко различимы во всех системах отсчета и в системе протона между ними $5 \text{ мин.}$ Разве не естественно представить, что галактика сжимается в системе протона?

[svv]

Uchitel'_istorii в сообщении #1387557 писал(а):

Разве не естественно представить, что галактика сжимается в системе протона?

Найдите ошибку в моих рассуждениях.

Имеется галактика размером $L$. Рассмотрим систему («неподвижную»), в которой галактика покоится. Левому краю галактики в этой системе соответствует $x=0$, правому $x=L$.
У нас есть два протона $a$ и $b$, оба движутся вправо со скоростью $v$.
В момент времени $t=0$ протон $a$ влетает в галактику с левого края. Назовём это событие $A$, с координатами $x_A=0, t_A=0$.
В тот же момент времени протон $b$ вылетает из галактики с правого края. Назовём это событие $B$, с координатами $x_B=L, t_B=0$.

А теперь перейдём в систему, в которой протоны покоятся («подвижную»). Найдём пространственные координаты событий $A$ и $B$ в подвижной системе:
$x'_A=\dfrac{x_A-vt_A}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=0$
$x'_B=\dfrac{x_B-vt_B}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\dfrac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}>L$
Понятно, что и в подвижной системе события $A$ и $B$ происходят на противоположных краях галактики.
При больших $v$ знаменатель мал, поэтому $x'_B-x'_A$ много больше $L$. А Вы говорите, что в системе протона галактика сжимается.

Где же ошибка?

[Uchitel'_istorii]

$t'_B = \tfrac{-vL/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Т.е. вылет протона $b$ произошел в далеком прошлом, в момент входа протона $a$ протон $b$ уже улетел на расстояние $\tfrac{L}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}$.

[svv]

Стало быть, 1) Вы понимаете, что переход от одной системы к другой не сводится к $x'=x\sqrt{1-v^2/c^2}$. Помимо этого, как минимум, меняется отношение одновременности для событий. И 2) Вы понимаете, что частица — не событие, ведь у события фиксирована временная координата. Тогда я не понимаю, как Вы можете спокойно писать формулы вроде таких:

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

$(x_s'' , t_s'') = (x_s\sqrt{1-v^2/c^2} , 0)$

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Тогда я не понимаю, как Вы можете спокойно писать формулы вроде таких:

Uchitel'_istorii в сообщении #1387423 писал(а):

$(x_s'' , t_s'') = (x_s\sqrt{1-v^2/c^2} , 0)$

Трудно объяснить, я неверно использовал для перехода начало координат (которое имеет одинаковые координаты в обеих системах ) и тот факт, что в каждой системе отсчета время по всей оси одинаково.

Почему тогда считается , что объекты укорачиваются в направлении движения, если начало и конец летящего объекта имеют разное время? Фейнман в секции 15-5 (рус.) объясняет , что неподвижный наблюдатель смотрит в движущуюся систему и видит укороченную линейку. А это эквивалентно укороченной оси, потому что линейка точно попадает в деления оси.

[arseniiv]

Uchitel'_istorii в сообщении #1387629 писал(а):

Почему тогда считается , что объекты укорачиваются в направлении движения, если начало и конец летящего объекта имеют разное время?

Начало и конец — это не события, так что у них нет определённого времени. Это прямые, а длина объекта — это длина отрезка, параллельного пространственной оси, упирающегося в них концами; тут уже можно посчитать. В ИСО, где эти прямые не параллельны временной оси (и тело не покоится) эта длина окажется меньше длины в ИСО покоя.

[arseniiv]

Вот две пространственно-временные диаграммы для иллюстрации, если вы ещё их не рисовали:

Слева показано тело и два интервала $\Delta\ell$ и $\Delta\ell'$, равные его длине в соответствующих ИСО. Справа показано, почему слева должно быть $|\Delta\ell'| < |\Delta\ell|$ (два изображённых интервала равны $\Delta\ell$). Всё это можно получить расчётом, но если установить пару геометрических фактов о пространственно-временных диаграммах, можно делать многие вещи наглядно.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1387557 писал(а):

Мне понравилась задача 17-1.

Мало ли, что вам понравилось. Это тот случай, когда надо не задачи решать, а текст читать.

А задачи вам надо уметь решать примерно такие: (ЛППТ начало)

Цитата:

Задача 1.7. Система отсчета $S'$ движется со скоростью $\vec{v}$ относительно системы отсчета $S.$ Стержень в системе отсчета $S'$ составляет угол $\theta'$ с направлением движения. Какой угол $\theta$ составляет этот стержень с направлением движения в системе отсчета $S$?

Задача 1.8. Система отсчета $S'$ движется со скоростью $\vec{v}$ относительно системы отсчета $S.$ Под углом $\theta'$ к направлению движения в системе отсчета $S'$ выпущена пуля со скоростью $\vec{w}'.$ Чему равен этот угол $\theta$ в системе отсчета $S$? Что произойдет, если «пулей» будет фотон?

Вот когда научитесь их решать, тогда можете вернуться к Фейнману к главе 34.

Uchitel'_istorii в сообщении #1387629 писал(а):

Почему тогда считается , что объекты укорачиваются в направлении движения, если начало и конец летящего объекта имеют разное время?

Вот с этим вам и надо разобраться! Сначала, в стиле § 17.1 нарисуйте стержень, неподвижный в одной системе координат. Потом опишите его математически (потребуются уравнения прямых линий). Потом применяя преобразования Лоренца (§ 15.2), преобразуйте эти уравнения прямых линий к движущейся системе координат. Изобразите эти уравнения на чертеже. Должны получиться линии, изображающие движущийся стержень (это момент проверки). И наконец, по этим линиям можно узнать длину движущегося стержня (длину стержня, как она видна из движущейся системы координат). Её надо выразить из известных (новых) уравнений прямых линий, и посчитать до ответа.

У Фейнмана, конечно, это не разобрано. И это плохо. Но задача разобрана в других учебниках. И в ней можно разобраться самостоятельно, например, по той схеме, что я написал.

-- 14.04.2019 15:53:18 --

arseniiv
Чем рисуете?

[arseniiv]

Inkscape. Правда я начал не совсем продуктивно; если будут другие, будет быстрее. Ну и «преобразования Лоренца» для надписей я сделал на глаз, хотя уже сейчас тоже вижу как можно было бы контролировать.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Сначала, в стиле § 17.1 нарисуйте стержень, неподвижный в одной системе координат.

Так png ?

[Munin]

Да, так. Если формулы, которые вы там написали, - это ваш расчёт, то он правильный. Теперь вы понимаете, что значит, что "движущаяся линейка укорочена", и стержень, и плечо интерферометра, и т. п. - о чём говорится в ФЛФ-2 § 15.5.

Раз у вас так ловко получилось, то я думаю, вы сможете решить и задачи ЛППТ 1.7 и 1.8, которые я привёл выше: post1387675.html#p1387675

[Uchitel'_istorii]

С задачей 1.7 всё ясно. Используя чертеж из предыдущего сообщения, можно написать:
$\tg(\theta') = \tfrac{y'(t'_0)}{x'(t'_0)} = \tfrac{y}{x\sqrt{1-u^2/c^2}} = \tfrac{\tg(\theta)}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$
Но по условию подразумевалось, что стержень неподвижен в штрихованной системе, поэтому:
$\tg(\theta) = \tfrac{\tg(\theta')}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

Со второй задачей ответы не совпали из-за странных обозначений $\beta$ в книге: png.
Из чертежа png:
$\tg(\theta) = \tfrac{\omega_y}{\omega_x} = \tfrac{\tfrac{\omega_y'\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+u\omega_x' / c^2}}{\tfrac{\omega_x'+u}{1+u\omega_x' / c^2}} = \tfrac{\omega_y'\sqrt{1-u^2/c^2}}{\omega_x'+u}$
$ = \tfrac{\tg(\theta')\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+u/\omega_x'}= \tfrac{\tg(\theta')\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+u/\omega'\cos(\theta')}$
Если пуля — фотон , то
$\tg(\theta) = \tfrac{\tg(\theta')\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+\tfrac{u}{c\cos(\theta')}}$

[Munin]

Замечательно.

Теперь сделаем вот что. Посмотрим снова на рис. 34.12. Рассмотрим волновой фронт, испущенный далёким-далёким источником, находящимся в направлении оси $y.$ Этот волновой фронт образует плоскость, которая в момент времени $t=0$ проходит через начало координат, и уравнение этой плоскости будет $y=0.$ Согласны? Но волновой фронт движется со скоростью света, и в произвольный момент времени имеет уравнение $y=-ct.$ Согласны? На самом деле, это уравнение задаёт плоскость в 4-мерном пространстве-времени (можно для упрощения пользоваться трёхмерным пространством-временем $(x,y,t)$).

1. Примените к этой плоскости преобразования Лоренца для системы отсчёта телескопа, движущейся в направлении оси $x$ со скоростью $v.$

2. Рассмотрим второй волновой фронт, идущий после первого через время (период волны) $T,$ или что то же самое, идущий позади на расстоянии (длине волны) $\lambda=cT.$ Запишите его уравнение в пространстве-времени. Преобразуйте его в движущуюся систему отсчёта, как в п. 1.

3. Глядя на эти два волновых фронта, определите, как с точки зрения движущегося телескопа выглядят эти набегающие на него световые волны: с какого направления они идут? С каким периодом? С какой длиной волны? Рассчитайте по периоду и длине волны частоту и волновой вектор. Убедитесь, что получилось то же, что и при прямом расчёте преобразований $(\mathbf{k},\omega).$