Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?

[Ktina]

Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, три последовательные стороны которого соответственно равны $a, b, a$?

[waxtep]

Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь - $S=\dfrac1{16}(R+3b)^2\sqrt{\frac{R-b}{R+3b}}$, где $R=\sqrt{b^2+8a^2}$ По-моему, это и есть максимум. При $a\gg b$ можно достичь $S\approx\dfrac12a^2$, что, в общем, логично

[Fedorov]

Можно так.
Пусть основания равнобокой трапеции $b и $b+ 2x$$, где $a^2 = h^2+x^2$.
$S = (b+x)h$ максимальна при $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$.

[wrest]

waxtep в сообщении #1387204 писал(а):

Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь

Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне. Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?
Формула страшненькая. Наверняка ведь найдется какое-то красивое свойство такой трапеции или чего-то построенного вокруг неё...

[waxtep]

wrest в сообщении #1387265 писал(а):

Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?

Я имел в виду, что второе основание трапеции, которое $b+2x$, больше чем $b$. Я делал как участник Fedorov, формУлами, геометрический факт увидел уже из них, из $h^2=b(b+x)$

[wrest]

waxtep
Ах, ну да - "основанием", не "стороной"
Тогда следующий вопрос. А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.
Что-то мне подсказывает (геогебра, конечно и ваши формулы), что выходит кардиоида улитка Паскаля, и построить низзя.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1387269 писал(а):

из $h^2=b(b+x)$

очипятка, правильно $h^2=x(b+x)$ конечно

wrest в сообщении #1387341 писал(а):

А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?

ой, в этом я слаб. Вообще конечно геометрические решение было бы интересно понять; в предельном случае $b=0$ получается равнобедренный прямоугольный треугольник, а в трапеции этот прямой угол как бы "разъезжается" на два...

[Fedorov]

wrest в сообщении #1387341 писал(а):

А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.

Отрезки
$\quad $ $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$; $\quad h=\sqrt{a^2-x^2}$\quad
элементарно строятся циркулем и линейкой.

[svv]

wrest в сообщении #1387265 писал(а):

Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне.

Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

[ИСН]

Не очень интересно, что $a,b,a$. Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что? Какой должна быть четвёртая, и транслируется ли это в какое-то простое геометрическое свойство?

[g______d]

Пусть $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$. Пусть задан угол $\angle ABC=\beta$. Поскольку $AC$ и $CD$ таким образом известны и угол $\angle ACD$ можно выбирать произвольно, можно считать, что он прямой (это максимизирует площадь треугольника $ACD$ при остальных параметрах фиксированных). Таким образом, нужно максимизировать функцию

$$ \frac12 ab\sin\beta+\frac12 c\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\beta}. $$

Дальше не очень интересно, я думаю.

-- Вс, 14 апр 2019 14:21:54 --

svv, я не заметил Вашего ответа, но удалять уже не буду.

[Fedorov]

ИСН в сообщении #1387751 писал(а):

Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что?

$(4R^2-a^2)(4R^2-c^2)=(ac+2Rb)^2

[wrest]

svv в сообщении #1387551 писал(а):

Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

Попробовал вникнуть, но чего-то не смог.

Вращением $K$ максимизировали площадь $\triangle KLN$ а дальше?

[svv]

Получается, если угол $KLN$ не прямой, то, двигая точку $K$ с сохранением длин трёх заданных сторон, можно ещё увеличить площадь четырёхугольника, то есть исходный четырёхугольник не будет иметь максимально возможную площадь. Значит, в четырёхугольнике максимальной площади угол $KLN$ должен быть прямым. То же для угла $KMN$.

[wrest]

svv в сообщении #1387874 писал(а):

То же для угла $KMN$.

А, точно - и отсюда следует что искомый четырехугольник -- именно трапеция, плюс по условию она получается равнобедренная. Вернее, из-за равнобедренности, с учетом равенства этих углов ($\angle KLM= \angle KMN$) получается что это трапеция.