2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение11.04.2019, 20:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, три последовательные стороны которого соответственно равны $a, b, a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 01:42 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь - $S=\dfrac1{16}(R+3b)^2\sqrt{\frac{R-b}{R+3b}}$, где $R=\sqrt{b^2+8a^2}$ :shock: По-моему, это и есть максимум. При $a\gg b$ можно достичь $S\approx\dfrac12a^2$, что, в общем, логично

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 02:44 


29/06/10

53
Москва
Можно так.
Пусть основания равнобокой трапеции $b и $b+ 2x$$, где $a^2 = h^2+x^2$.
$S = (b+x)h$ максимальна при $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 14:18 


05/09/16
11468
waxtep в сообщении #1387204 писал(а):
Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь

Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне. Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?
Формула страшненькая. Наверняка ведь найдется какое-то красивое свойство такой трапеции или чего-то построенного вокруг неё...

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 14:38 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
wrest в сообщении #1387265 писал(а):
Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?
Я имел в виду, что второе основание трапеции, которое $b+2x$, больше чем $b$. Я делал как участник Fedorov, формУлами, геометрический факт увидел уже из них, из $h^2=b(b+x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 20:27 


05/09/16
11468
waxtep
Ах, ну да - "основанием", не "стороной" :facepalm:
Тогда следующий вопрос. А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.
Что-то мне подсказывает (геогебра, конечно :mrgreen: и ваши формулы), что выходит кардиоида улитка Паскаля, и построить низзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 23:53 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
waxtep в сообщении #1387269 писал(а):
из $h^2=b(b+x)$
очипятка, правильно $h^2=x(b+x)$ конечно
wrest в сообщении #1387341 писал(а):
А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
ой, в этом я слаб. Вообще конечно геометрические решение было бы интересно понять; в предельном случае $b=0$ получается равнобедренный прямоугольный треугольник, а в трапеции этот прямой угол как бы "разъезжается" на два...

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение13.04.2019, 01:15 


29/06/10

53
Москва
wrest в сообщении #1387341 писал(а):
А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.

Отрезки
$\quad $ $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$; $\quad h=\sqrt{a^2-x^2}$\quad
элементарно строятся циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение13.04.2019, 20:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
wrest в сообщении #1387265 писал(а):
Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне.
Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение14.04.2019, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Не очень интересно, что $a,b,a$. Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что? Какой должна быть четвёртая, и транслируется ли это в какое-то простое геометрическое свойство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Пусть $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$. Пусть задан угол $\angle ABC=\beta$. Поскольку $AC$ и $CD$ таким образом известны и угол $\angle ACD$ можно выбирать произвольно, можно считать, что он прямой (это максимизирует площадь треугольника $ACD$ при остальных параметрах фиксированных). Таким образом, нужно максимизировать функцию
$$
\frac12 ab\sin\beta+\frac12 c\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\beta}.
$$

Дальше не очень интересно, я думаю.

-- Вс, 14 апр 2019 14:21:54 --

svv, я не заметил Вашего ответа, но удалять уже не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 04:55 


29/06/10

53
Москва
ИСН в сообщении #1387751 писал(а):
Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что?

$(4R^2-a^2)(4R^2-c^2)=(ac+2Rb)^2

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 16:35 


05/09/16
11468
svv в сообщении #1387551 писал(а):
Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

Попробовал вникнуть, но чего-то не смог.
Изображение
Вращением $K$ максимизировали площадь $\triangle KLN$ а дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 17:51 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Получается, если угол $KLN$ не прямой, то, двигая точку $K$ с сохранением длин трёх заданных сторон, можно ещё увеличить площадь четырёхугольника, то есть исходный четырёхугольник не будет иметь максимально возможную площадь. Значит, в четырёхугольнике максимальной площади угол $KLN$ должен быть прямым. То же для угла $KMN$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 17:57 


05/09/16
11468
svv в сообщении #1387874 писал(а):
То же для угла $KMN$.

А, точно - и отсюда следует что искомый четырехугольник -- именно трапеция, плюс по условию она получается равнобедренная. Вернее, из-за равнобедренности, с учетом равенства этих углов ($\angle KLM= \angle KMN$) получается что это трапеция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group