2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение11.04.2019, 20:25 
Аватара пользователя


01/12/11
8360
Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, три последовательные стороны которого соответственно равны $a, b, a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 01:42 
Аватара пользователя


07/01/16
774
Аязьма
Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь - $S=\dfrac1{16}(R+3b)^2\sqrt{\frac{R-b}{R+3b}}$, где $R=\sqrt{b^2+8a^2}$ :shock: По-моему, это и есть максимум. При $a\gg b$ можно достичь $S\approx\dfrac12a^2$, что, в общем, логично

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 02:44 


29/06/10

53
Москва
Можно так.
Пусть основания равнобокой трапеции $b и $b+ 2x$$, где $a^2 = h^2+x^2$.
$S = (b+x)h$ максимальна при $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 14:18 


05/09/16
6126
waxtep в сообщении #1387204 писал(а):
Наивно думал, что прямоугольник и $ab$, но, равнобедренная трапеция с меньшим основанием $b$ и прямым углом между боковой стороной и диагональю дает бОльшую площадь

Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне. Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?
Формула страшненькая. Наверняка ведь найдется какое-то красивое свойство такой трапеции или чего-то построенного вокруг неё...

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 14:38 
Аватара пользователя


07/01/16
774
Аязьма
wrest в сообщении #1387265 писал(а):
Кстати, а зачем вы написали "с меньшим основанием"? Вроде б, диагональ, выходящая из вершины-пересечения $a$ и $b$, должна быть перпендикулярна стороне $a$ независимо от того что больше $a$ или $b$?
Я имел в виду, что второе основание трапеции, которое $b+2x$, больше чем $b$. Я делал как участник Fedorov, формУлами, геометрический факт увидел уже из них, из $h^2=b(b+x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 20:27 


05/09/16
6126
waxtep
Ах, ну да - "основанием", не "стороной" :facepalm:
Тогда следующий вопрос. А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.
Что-то мне подсказывает (геогебра, конечно :mrgreen: и ваши формулы), что выходит кардиоида улитка Паскаля, и построить низзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение12.04.2019, 23:53 
Аватара пользователя


07/01/16
774
Аязьма
waxtep в сообщении #1387269 писал(а):
из $h^2=b(b+x)$
очипятка, правильно $h^2=x(b+x)$ конечно
wrest в сообщении #1387341 писал(а):
А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
ой, в этом я слаб. Вообще конечно геометрические решение было бы интересно понять; в предельном случае $b=0$ получается равнобедренный прямоугольный треугольник, а в трапеции этот прямой угол как бы "разъезжается" на два...

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение13.04.2019, 01:15 


29/06/10

53
Москва
wrest в сообщении #1387341 писал(а):
А можно ли построить искомую фигуру циркулем и линейкой без делений?
Отрезки $a$ и $b$ даны.

Отрезки
$\quad $ $x = \frac{\sqrt{b^2+8a^2} - b}{4}$; $\quad h=\sqrt{a^2-x^2}$\quad
элементарно строятся циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение13.04.2019, 20:54 
Заслуженный участник


23/07/08
7869
Харьков
wrest в сообщении #1387265 писал(а):
Я в геогебре покрутил - таки да, диагональ д.б. перпендикулярна стороне.
Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение14.04.2019, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13241
с Территории
Не очень интересно, что $a,b,a$. Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что? Какой должна быть четвёртая, и транслируется ли это в какое-то простое геометрическое свойство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5513
Пусть $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$. Пусть задан угол $\angle ABC=\beta$. Поскольку $AC$ и $CD$ таким образом известны и угол $\angle ACD$ можно выбирать произвольно, можно считать, что он прямой (это максимизирует площадь треугольника $ACD$ при остальных параметрах фиксированных). Таким образом, нужно максимизировать функцию
$$
\frac12 ab\sin\beta+\frac12 c\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\beta}.
$$

Дальше не очень интересно, я думаю.

-- Вс, 14 апр 2019 14:21:54 --

svv, я не заметил Вашего ответа, но удалять уже не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 04:55 


29/06/10

53
Москва
ИСН в сообщении #1387751 писал(а):
Вот если даны три стороны $a,b,c$ - тогда что?

$(4R^2-a^2)(4R^2-c^2)=(ac+2Rb)^2

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 16:35 


05/09/16
6126
svv в сообщении #1387551 писал(а):
Получается из простого соображения. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ пусть $KL=a, LM=b, MN=a$. Его площадь равна сумме площадей треугольников $KLN$ и $MLN$. Будем двигать вершину $K$ по окружности радиуса $a$ с центром в $L$. Тогда площадь $MLN$ меняться не будет. А площадь $KLN$ равна половине произведения основания $LN$ (диагонали) на соответствующую высоту. Основание не меняется, а высота максимальна и равна $a$, когда $KL\perp LN$.

Попробовал вникнуть, но чего-то не смог.
Изображение
Вращением $K$ максимизировали площадь $\triangle KLN$ а дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 17:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7869
Харьков
Получается, если угол $KLN$ не прямой, то, двигая точку $K$ с сохранением длин трёх заданных сторон, можно ещё увеличить площадь четырёхугольника, то есть исходный четырёхугольник не будет иметь максимально возможную площадь. Значит, в четырёхугольнике максимальной площади угол $KLN$ должен быть прямым. То же для угла $KMN$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник?
Сообщение15.04.2019, 17:57 


05/09/16
6126
svv в сообщении #1387874 писал(а):
То же для угла $KMN$.

А, точно - и отсюда следует что искомый четырехугольник -- именно трапеция, плюс по условию она получается равнобедренная. Вернее, из-за равнобедренности, с учетом равенства этих углов ($\angle KLM= \angle KMN$) получается что это трапеция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group