О счётности базы на фактор-пространстве

[g______d]

Да, в тех обозначениях, которые я использовал, надо заменить $\mathbb N$ на $\mathbb Z$.

[Evgenii2012]

(Полными) прообразами открытых множеств фактор-пространства ${\Bbb R}^/\sim$ являются либо совокупности некоторого числа непересекающихся открытых интервалов в ${\Bbb R}$, не содержащих натуральных чисел внутри себя, либо совокупности этих же интервалов вместе с объединением всех чисел натурального ряда, либо совокупности счётного числа открытых интервалов, каждый из которых содержит внутри себя не менее одного натурального числа - вроде так (прав ли я ?)

[nya]

Evgenii2012 в сообщении #1386507 писал(а):

либо совокупности этих же интервалов вместе с объединением всех чисел натурального ряда

Не очень открыто звучит

[Evgenii2012]

nya, пожалуйста, поясните Ваш комментарий. Вы имеете в виду, что соответствие между элементами самого пространства и фактор-пространства не является непрерывным, то есть, прообраз не любого открытого открыт ? Так я ведь это и не утверждаю, поскольку я не уверен, что отображение между пространством и его фактором непрерывно. Я лишь хочу понять, как устроена топология в фактор-пространстве, пока что у меня нет ясного представления об этом. Кроме того, я пытаюсь ответить на последний вопрос g______d, надеясь, что мне это поможет понять проблему.
Мыслю так: если мы имеем, например, интервал $(0, 2)$ в ${\Bbb R},$ то в этом интервале "склеиваться" элементу 1 не с чем, он единственный натуральный элемент в этом множестве. В фактор-пространстве у нас, таким образом, снова $(0, 2).$ Далее, смотрим его полный прообраз в исходном пространстве при данном отображении: во-первых, все элементы $(0, 2)$ относятся к этому прообразу, кроме того, элементы $\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\{n\}$ -- ведь они все переходят в $1\in (0, 2)\subset {\Bbb R}/\sim .$ Где я ошибся ?

[nya]

Evgenii2012 в сообщении #1386511 писал(а):

. Вы имеете в виду, что соответствие между элементами самого пространства и фактор-пространства не является непрерывным, то есть, прообраз не любого открытого открыт ?

Оно всегда обязано быть непрерывным по определению топологии на $X/G$, более того, топология на $X/G$ грубейшая из удовлетворяющих свойству "факторпроекция непрерывна", поэтому чтобы понять какие множества окрыты в $X/G$ нужно понять, прообраз каких подмножеств $X/G$ относительно $\pi$ открыт в $\mathbb{R}$. А чего вы добьётесь вычислив $\pi^{-1} \circ \pi ( (0..2))$? Мне кажется ничего!

-- 07.04.2019, 22:15 --

Разве что ваше вычисление показывает, что $\pi((0..2))$ НЕ открыто в $X/G$, так как его прообраз $(0..2) \cup \mathbb Z$ НЕ открыт в $\mathbb R$.

[Evgenii2012]

Уважаемый nya, большое спасибо за сообщение. Давайте уточним: множество $A$ в $X/G$ открыто, если $\pi^{\,-1}(A)$ открыто в $X$, или же наоборот, если множество $B$ открыто в $X,$ то $\pi(B)$ открыто в $X/G$ ? Как мы увидели в примере, приведённом выше, образ $\pi(B)$ открытого множества $B$ в $X$ может быть таковым, что $\pi^{\,-1}(\pi(B))$ уже не открыто в $X,$ поскольку образ и полный прообраз не взаимно обратны. До Вашего предыдущего поста я был уверен в том, что открытые множества в факторе определяются как естественные проекции открытых множеств в исходном пространстве. Но исходя из Вашего предыдущего сообщения вытекает, что естественное отображение $\pi$ должно быть непрерывным и открытым одновременно. Так ли это ? Пункт номер два (возврат к нашей предыдущей теме). Корректирую свою позицию так: (Полными) прообразами открытых множеств фактор-пространства ${\Bbb R}^/\sim$ являются либо совокупности некоторого числа непересекающихся открытых интервалов в ${\Bbb R}$, не содержащих натуральных чисел внутри себя, либо совокупности счётного числа открытых интервалов, каждый из которых содержит внутри себя не менее одного натурального числа. Прав ли я сейчас ? И если да, то что это нам даёт в плане вопроса об отсутствии первой аксиомы счётности в факторе ? Буду благодарен за Ваше мнение !

[nya]

Evgenii2012 в сообщении #1386519 писал(а):

Давайте уточним: множество $A$ в $X/G$ открыто, если $\pi^{\,-1}(A)$ открыто в $X$

Это. И ещё "если" заменить на "тогда и только тогда".

Evgenii2012 в сообщении #1386519 писал(а):

о исходя из Вашего предыдущего сообщения вытекает, что естественное отображение $\pi$ должно быть непрерывным и открытым одновременно.

Непрерывным да, открытым необязательно. (Как вы и показали примером с $(0..2)$ )

Evgenii2012 в сообщении #1386519 писал(а):

либо совокупности счётного числа открытых интервалов, каждый из которых содержит внутри себя не менее одного натурального числа.

+ каждое натуральное число содержится хотя бы в одном открытом интервале, наверняка вы это и хотели написать. В остальном вы правы. (Ну это не все, но такие формируют базу).

Evgenii2012 в сообщении #1386519 писал(а):

И если да, то что это нам даёт в плане вопроса об отсутствии первой аксиомы счётности в факторе ? Буду благодарен за Ваше мнение !

От противного, предположите что у класса $\mathbb{Z}$ есть счётная база $E_n$ взяв прообразы обратно в $\mathbb{R}$ получите семейство интервалов $E_{n,k}$ где $k \in \mathbb{Z}$ окрестность точки, собственно, $k$. Используйте диагональный аргумент чтобы построить открытое множество содержащее $\mathbb{Z}$ но при этом не содержащееся в $\pi^{-1}(E_n)$ для любого $n$, это вам даст окрестность в $X/G$ не содержащуюся ни в одном элементе базы $E_n$, что приведёт к противоречию.

[Evgenii2012]

nya, большое спасибо, ситуация значительно прояснилась, теперь надо подумать

[Someone]

Evgenii2012 в сообщении #1386492 писал(а):

Что касается интервала $(-1/2, -1/2),$

то он является пустым множеством, а в оригинале речь шла об интервале

g______d в сообщении #1386481 писал(а):

$(-1/2,1/2)$

о котором намекалось, что в фактор-пространстве его образ не является открытым множеством.

[Evgenii2012]

nya, ещё раз, большое спасибо, не вполне понятно, как именно диагональный процесс используется. Ведь каждое открытое множество системы $\pi^{-1}(E_n)$ содержит весь натуральный ряд, если я правильно понял. Вы не могли бы уточнить принцип конструкции открытого множества, не содержащегося в $\pi^{-1}(E_n)$ ? (буду благодарен). Всё остальное предельно понятно. Ну, а $(-1/2, -1/2)$ в моём посте - опечатка, естественно

[nya]

Все $E_n$ можно выбрать достаточно маленькими для того, чтобы компоненты связности $\pi^{-1}(E_n)$ cодержали ровно одно натуральное число. Рассмотрите двойную последовательность $E'_{n,k}$ это компонента связности (то есть открытый промежуток) множества $\pi^{-1}(E_n)$ содержащая натуральное число $k$. Рассмотрите $F_k =$ "любой собственное открытый подинтервал открытого промежутка $E'_{k,k}$ содержащий $k$". Тогда открытое множество $F = \cup_k F_k$ обладает тем свойством, что $\pi^{-1}(E_n) \not \subset F$ при этом легко понять, что $\pi^{-1} \circ \pi (F) = F$, то есть $\pi(F)$ открытое в $\mathbb R / \mathbb N$. Так как прообразы сохраняют включения то выполнено также $E_n \not \subset \pi(F)$, то есть мы построили окрестность факторкласса $[\mathbb N]$ которая не содержит целиком ни одного элементе базы, что даёт противоречие.

[Evgenii2012]

Большое спасибо ! Теперь надо осмыслить