О счётности базы на фактор-пространстве

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, помогите, пожалуйста, ещё с одним вопросом. Пусть ${\Bbb B}^n/G$ -- фактор- пространство по некоторой группе $G$ мёбиусовых отображений единичного шара ${\Bbb B}^n$ на себя, действующая разрывно в ${\Bbb B}^n$ и не имеющая неподвижных точек внутри ${\Bbb B}^n.$ Будет ли данное топологическое пространство иметь счётную базу открытых множеств ? Заранее благодарен !

[Padawan]

Дайте определение, что значит "действует разрывно".
Я сомневаюсь, что данное утверждение верно, т.к. с ходу не получается его доказать.

[Evgenii2012]

Padawan, большое спасибо за сообщение. Группа $G$ действует разрывно на ${\Bbb B}^n,$ если каждая точка $x_0\in {\Bbb B}^n$ имеет окрестность $U,$ содержащую точку $x_0,$ такую что $g(U)\cap U=\varnothing$ для всех $g\in G$ за исключением, может быть, конечного числа

[vpb]

Утверждение вообще весьма общее. Разрывность, мёбиусовость и даже хаусдорфовость ни при чём.
Предложение. Пусть $X$ --- топологическое пространство, $G$ --- группа гомеоморфизмов $X$. Допустим, что $X$ имеет базу открытых множеств мощности $\leq{\frak m}$. Тогда $X/G$ тоже имеет базу мощности $\leq{\frak m}$.

Доказательство. Как множество, $X/G$ --- это множество всех орбит $Gx$. Топология на $X/G$, по определению, задается тем, что $K\subseteq X/G$ открыто тогда и только тогда, когда объединение орбит, входящих в $K$, открыто в $X$.Можно еще сказать так: открытые множества в $X/G$ --- это $G$-инвариантные открытые множества в $X$.

Для любого подмножества $A\subseteq X$ обозначаем $GA=\cup_{g\in G}\ gA$.
Если $A$ открыто, то все $gA$ открыты, значит, $GA$ открыто. Поэтому естественное отображение $X\longrightarrow X/G$ открыто.

Пусть ${\mathcal B}$ --- база открытых множеств для $X$. Мы утверждаем, что $\{GB\mid B\in{\mathcal B}\}$ --- база для $X/G$. Отсюда будет следовать нужное утверждение, так как мощность последнего множества не больше, чем мощность ${\mathcal B}$.

Нам достаточно доказать, что для любого $G$-инвариантного открытого множества $E$, и любого $x$ такого, что $Gx\subseteq E$, существует $B\in{\mathcal B}$ такое, что $Gx\subseteq GB\subseteq E$. Пусть $B$ --- некоторое множество из базы такое, что $x\in B\subseteq E$ Поскольку $x\in B$, то $Gx\subseteq GB$. Поскольку $E$ --- $G$-инвариантно и $B\subseteq E$, то $GB\subseteq E$. Значит, $B$ обладает нужными свойствами. $\square$

Литература: Бурбаки, Общая топология (русское изд. 1968-69 г.), гл.3. Топологические группы (элементарная теория)

[Evgenii2012]

vpb, я очень благодарен Вам за доказательство и помощь в этом вопросе, большое спасибо !

[Evgenii2012]

vpb,
хотел бы однако уточнить насчёт книги Бурбаки, которую Вы рекомендовали. Содержится ли в этой книге обсуждаемое нами утверждение ? Немного полистав, я обнаружил здесь нечто похожее для фактор-группы $G/H,$ где $G$ -- группа, а $H$ -- некоторая её подгруппа. Но единичный шар ${\Bbb B}^n$ не группа, поэтому сказанное не переносится на $X/G,$ где $X$ -- топологическое пространство. Был бы рад увидеть Ваш комментарий

[demolishka]

Если рассматривать общую конструкцию фактор-пространства, то хочется, чтобы каноническая проекция $\pi \colon X \to X/\sim$ переводила базу топологии $X$ в базу топологии на факторе. Но вот беда, открытые множества в факторе -- образы проекции некоторых открытых в $X$, поэтому образы элементов базы в общем случае открытыми быть не обязаны. В случае, если фактор есть пространство орбит под алгебраическим действием некоторой группы, то, как показал vpb, этот как раз тот случай, когда проекция -- открытое отображение и потому образы элементов базы открыты.

[vpb]

Evgenii2012 в сообщении #1386260 писал(а):

vpb, я очень благодарен Вам за доказательство и помощь в этом вопросе, большое спасибо !

На здоровье !

Evgenii2012 в сообщении #1386266 писал(а):

Был бы рад увидеть Ваш комментарий

Не знаю, буквально в таком виде, скорее всего, не содержится. Эта книга --- общее пособие по общей топологии, основные понятия, факты и рассуждения. Я имел в виду, что, поизучав ее (и вовсе не обязательно для этого три главы от корки до корки изучать), Вы узнаете все понятия и идеи, которые достаточны, чтоб понять то, что я написал.

demolishka в сообщении #1386291 писал(а):

поэтому элементы базы в общем случае открытыми быть не обязаны.

В смысле, образы элементов базы могут и не быть открытыми множествами в факторпространстве.
Если же отображение $X\longrightarrow Y$ непрерывно, открыто и сюръективно, то, действительно, образ базы --- база. И это замечание demolishka еще упрощает то рассуждение, которое я привел.

[g______d]

Добавлю (не сам придумал, нашёл в википедии), что в общем случае факторпространство пространства со счётной базой не обязано обладать этим свойством. Пример: $\mathbb R$ со стандартной топологией, отношение эквивалентности склеивает все точки $\mathbb N$ в одну точку.

[Evgenii2012]

g______d, спасибо за сообщение. Ваш последний пост не совсем понятен, я имею в виду, приведённый Вами пример. Вы не могли бы более подробно пояснить, что играет роль фактор-пространства (как определяется отношение эквивалентности), и почему счётной базы нет в этом факторе

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1386318 писал(а):

как определяется отношение эквивалентности

Для $a,b\in \mathbb R$ определим $a\sim b$ если $a=b$ или $a,b\in \mathbb N$.

Доказательство того, что $\mathbb R/\sim$ не имеет счётной базы является несложным упражнением по общей топологии. Могу подсказать, что указанное факторпространство не удовлетворяет даже первой аксиоме счётности, для доказательства достаточно внимательно посмотреть, как устроены окрестности точки, соответствующей классу эквивалентности $\mathbb N$.

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, меня заинтересовал Ваш пример, я попытался в нём разобраться. К сожалению, у меня что-то не выходит установить желаемое утверждение о том, что данное фактор-пространство не имеет счётной базы. Более того, наводящие рассуждения говорят об обратном. Открытыми окрестностями точки 1, которую можно ассоциировать с классом эквивалентности ${\Bbb N}$ в фактор-пространстве ${\Bbb R}/\sim$ -- это либо открытые в ${\Bbb R}$ множества $A\subset {\Bbb R}\setminus\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\{n\},$ содержащие элемент 1 как внутреннюю точку, либо множества вида $\{1\}\cup A,$ где $A$ открыто в ${\Bbb R}\setminus\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\{n\}.$. Но такие множества $A$в обоих случаях могут быть представлены в виде объединения интервалов с рациональными концами, что указывает на наличие счётной базы. Где я ошибся ? (Хотел бы также заметить, данное пространство является, очевидно, сепарабельным, что само по себе очень близко к наличию счётной базы в нём). Буду благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Ошибка здесь:

Evgenii2012 в сообщении #1386479 писал(а):

Открытыми окрестностями точки 1, которую можно ассоциировать с классом эквивалентности ${\Bbb N}$ в фактор-пространстве ${\Bbb R}/\sim$ -- это либо открытые в ${\Bbb R}$ множества $A\subset {\Bbb R}\setminus\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\{n\},$ содержащие элемент 1 как внутреннюю точку, либо множества вида $\{1\}\cup A,$ где $A$ открыто в ${\Bbb R}\setminus\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\{n\}.$.

Попробуйте описать открытые множества в $\mathbb R$, являющиеся прообразами открытых подмножеств в факторпространстве $\mathbb R/\sim$. Заметьте, что все такие множества либо содержат $\mathbb N$, либо с ним не пересекаются. В частности, например, интервал $(-1/2,1/2)$ таковым не является.

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, я, к сожалению, вообще сейчас не совсем понимаю. Ведь, по определению, у нас множество $A$ открыто в фактор-пространстве тогда и только тогда, когда его прообраз в исходном пространстве открыт -- или я не прав ? Что касается интервала $(-1/2, -1/2),$ то на первый взгляд его образ в фактор-пространстве совпадает с ним самим. Ведь у нас в этом интервале нет ни одного натурального числа, значит, ничего в нём отождествляться не должно. То есть, $(-1/2, -1/2)$ является открытым в ${\Bbb R}$ и, одновременно, в ${\Bbb R}/\sim .$ Где ошибка ?

[nya]

Имелись в виду $\mathbb{N}$ с нулём, а ещё лучше (= симметричнее) заменить $\mathbb{N}$ на $\mathbb{Z}$.