Помогите разобраться: откуда взялись свойства чисел

[Munin]

RoadRunner в сообщении #1385504 писал(а):

Если в доказательстве не используются термины, понятия, заключения, не определенные перед этим, либо явно, либо по ссылке.

Вы понимаете, что это невыполнимое требование? Определение одного понятия использует другие понятия, и так далее, и эта цепочка либо продолжается до бесконечности, либо зацикливается.

[RoadRunner]

Igrickiy(senior) в сообщении #1385515 писал(а):

Вы не могли бы сформулировать, что лично Вы понимаете под доказательством какого-либо утверждения. Без понимания этого затруднительно формулировать умозаключения так, чтобы они стали для Вас убедительными

Чтобы была понятна мотивация каждого шага в рассуждениях. Тогда не очевидное становится очевидным - это,имхо, и называется "доказать".

Если какие-то шаги/совокупности шагов делаются "просто так, ради результата", с ними теряется связь и они воспринимаются просто как отдельные куски, которые вместе по какой-то причине и приводят к желаемому результату.

При этом формируется кусочное восприятие рассуждений/доказательства, а не целостное, как если бы они были связаны мотивирующей цепью.

А человеку с кусочным восприятием очень легко обмануться: достаточно найти контрпример по одному из таких кусков в его видении и посыпется все остальное. Такому знанию трудно доверять.

Плюс, из такого восприятия трудно развивать дальнейшие умозаключения/выводы опять же из-за отсутствия мотивирующей связи.

[vpb]

Автор может стараться, чтобы у читателя в голове возникла целостная картинка, но не может (и тем более не обязан) это гарантировать. Проще говоря, если у читателя способностей слишком мало, то ему, как ни старайся, ничего не объяснишь.

[Igrickiy(senior)]

vpb в сообщении #1385531 писал(а):

Проще говоря, если у читателя способностей слишком мало, то ему, как ни старайся, ничего не объяснишь.

Я не стал бы заострять вопрос о способностях. Может отсутствовать способность объяснять, может не быть способности понять объяснение. Более того, это очень сильно зависит от ситуации и предмета обсуждения.

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Чтобы была понятна мотивация каждого шага в рассуждениях.

Кому понятна?

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Если какие-то шаги/совокупности шагов делаются "просто так, ради результата", с ними теряется связь и они воспринимаются просто как отдельные куски, которые вместе по какой-то причине и приводят к желаемому результату.

Любой шаг делается ради результата. и мы возвращаемся к первому вопросу: кому должна быть понятна мотивация?

-- 02.04.2019, 18:47 --

Наивные вопросы:
Какая должна быть следующая пара чисел:
16 18 03 39 88 75..... ?
Какой год будет следующим?

-- 02.04.2019, 18:50 --

Не сочтите за флуд или оффтоп!
Исключительно по теме:

Однажды Незнайка пришел к Цветику и сказал:
– Слушай, Цветик, научи меня сочинять стихи. Я тоже хочу быть поэтом.
– А у тебя способности есть? – спросил Цветик.
– Конечно, есть. Я очень способный, – ответил Незнайка.
– Это надо проверить, – сказал Цветик. – Ты знаешь, что такое рифма?
– Рифма? Нет, не знаю.
– Рифма – это когда два слова оканчиваются одинаково, – объяснил Цветик. – Например: утка – шутка, коржик – моржик. Понял?
– Понял.
– Ну, скажи рифму на слово «палка».
– Селедка, – ответил Незнайка.
– Какая же это рифма: палка – селедка? Никакой рифмы нет в этих словах.
– Почему нет? Они ведь оканчиваются одинаково.
– Этого мало, – сказал Цветик. – Надо, чтобы слова были похожи, так чтобы получалось складно. Вот послушай: палка – галка, печка – свечка, книжка – шишка.
– Понял, понял! – закричал Незнайка. – Палка – галка, печка – свечка, книжка – шишка! Вот здорово! Ха-ха-ха!
– Ну, придумай рифму на слово «пакля», – сказал Цветик.
– Шмакля, – ответил Незнайка.
– Какая шмакля? – удивился Цветик. – Разве есть такое слово?
– А разве нету?
– Конечно, нет.
– Ну, тогда рвакля.
– Что это за рвакля такая? – снова удивился Цветик.
– Ну, это когда рвут что-нибудь, вот и получается рвакля, – объяснил Незнайка.
– Врешь ты все, – сказал Цветик, – такого слова не бывает. Надо подбирать такие слова, которые бывают, а не выдумывать.
– А если я не могу подобрать другого слова?
– Значит, у тебя нет способностей к поэзии.

[Dragon27]

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Чтобы была понятна мотивация каждого шага в рассуждениях. Тогда не очевидное становится очевидным - это,имхо, и называется "доказать".

Но ведь мотивация и очевидность - субъективная вещь, а доказательство должно быть формальным и объективным, не зависящим от способности человек "прозревать" откуда и зачем человек вытащил ту или иную конструкцию. Чтобы убедиться в верности доказательства нужно просто аккуратно проследить его по всем шагам и убедиться, что нигде не допущено логической ошибки. Мотивация на верность самого доказательства совершенно не должна влиять.
Разумеется, для опытных математиков те или иные вещи опускаются или не проговариваются так подробно.

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Если какие-то шаги/совокупности шагов делаются "просто так, ради результата", с ними теряется связь и они воспринимаются просто как отдельные куски, которые вместе по какой-то причине и приводят к желаемому результату.

Что значит "по какой-то причине"? Математик в принципе может сделать (даже случайно) доказательство, в котором нет никаких логических ошибок и которое приводит к нужному утверждению из начальных посылок (или написать программу, которая за него это доказательство выведет), и только потом уже заметить в нём какие-то общие абстрактные принципы, которые делают доказательство очевидным, естественным, "человечным". Но последнее уже не влияет на строгость доказательства.

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

При этом формируется кусочное восприятие рассуждений/доказательства, а не целостное, как если бы они были связаны мотивирующей цепью.

А человеку с кусочным восприятием очень легко обмануться: достаточно найти контрпример по одному из таких кусков в его видении и посыпется все остальное. Такому знанию трудно доверять.

Это понятно. Если доказательство скучное и длинное и чисто формальное, и читающий не видит те идеи, которые вложил в них доказывающий (потому что он их явно не выписал), то ему труднее формально проверить по шагам верность всех логических связей. Однако если он это сделал и логика (без мотивации) верна, то какие тут могут быть контрпримеры?
В обратную сторону это, кстати, тоже действует. Доказательство может выглядеть "мотивированным" и казаться очевидным (и человек может даже не пытаться проверять или проверить только поверхностно - ведь очевидно же), но при тщательной проверке мы можем обнаружить, что какие-то логически переходы не учли формальным правил логики и доказательство рассыпается.

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Плюс, из такого восприятия трудно развивать дальнейшие умозаключения/выводы опять же из-за отсутствия мотивирующей связи.

Ну да. Но ведь это нисколько не влияет на строгость доказательства.
Разумеется, если доказательство непонятно в плане "а почему сделано именно так и откуда такое придумалось", то нужно пытаться самому придумать мотивировку или общие принципы хотя бы для части доказательства.

[Igrickiy(senior)]

RoadRunner в сообщении #1385530 писал(а):

Чтобы была понятна мотивация каждого шага в рассуждениях. Тогда не очевидное становится очевидным - это,имхо, и называется "доказать".

Скажите, пожалуйста, является ли для Вас очевидным простое и понятное утверждение:
Забор в виде простой замкнутой кривой делит плоскость на внутреннюю часть и внешнюю часть?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Похоже, ТС почти набрал здесь материал на реферат по философии естественных наук.

[RoadRunner]

Dragon27 в сообщении #1385561 писал(а):

Но ведь мотивация и очевидность - субъективная вещь, а доказательство должно быть формальным и объективным, не зависящим от способности человек "прозревать" откуда и зачем человек вытащил ту или иную конструкцию. Чтобы убедиться в верности доказательства нужно просто аккуратно проследить его по всем шагам и убедиться, что нигде не допущено логической ошибки. Мотивация на верность самого доказательства совершенно не должна влиять.

Я думаю, Ваши вопросы по моим умозаключениям, возникают из-за того, что мы по-разному смотрим на такие вещи как логика и мотивация.
Вы считаете (поправьте, если не прав), что логика и мотивация вещи не взаимосвязанные.
Я же, напротив, считаю, что человек вообще ничего не делает без причины, т.е. мотивации, в том числе и логические заключения. Поэтому отрывать логику от мотивации и возводить ее в абсолют на мой взгляд, ошибка априори.

Обычно считают, что границы применимости математической теории определяет граница применимости ее первоначальных положений. И то, что эти положения вырастают из опыта, а потому содержат долю субъективности, даже если опыт имеет максимально всеобщий характер, никто вроде не отрицает.

Но вот дальше считается, что логические умозаключения на основании этих положений, уже имеют абсолютный, объективный характер и лишены уже какого либо субъективизма и мотивации первоначальных положений. На мой взгляд так полагать наивно.

Если поступки человека зависят от причин его мотивирующих, то с чего решили, что его рассуждения лишены этого недостатка? Он может хотеть этого, стремиться к этому, повышая уровень самоосознания (и меня лично привлекает эта идея) но это, думается, достижимо только в пределе. Понятно, что математики стремится к этому - абстрагироваться от первоначального опыта и причин как можно сильнее. И у них это получается в известной степени, иначе в математических абстракциях не было бы смысла.

Вот только сокрытие мотивации рассуждений за формализмом этой цели, имхо, никак не способствует, если не вредит. На мой взгляд, абстрагироваться от мотивации нужно, изучая ее, а не делая вид, что ее нет.

Пока же стремление формально изложить мат. теорию напоминает именно это. А именно: люди приходят к каким-либо умозаключениям (положения, теоремы) через опыт, какие-то свои мотивы, озарения и т.д. А потом убирают из формулировок первоначальную мотивацию их породившую, делая вид, что ее там никогда и не было, а если и была, то сейчас оно (формализованное доказательство) от нее уже не зависит: логические шаги делаются уже "просто так", не подумайте, что по какой-то причине Это, как мне кажется, довольно наивно, если не сказать больше. Если вы переформулировали теоремы так, что теперь мотивация в них явно не звучит, это же не значит, что ее там больше нет Так учитель вводит в заблуждение и себя, и учеников.

[Munin]

RoadRunner
По правилам форума, на некоторые вопросы вы обязаны отвечать.

[RoadRunner]

Munin в сообщении #1385528 писал(а):

RoadRunner в сообщении #1385504 писал(а):

Если в доказательстве не используются термины, понятия, заключения, не определенные перед этим, либо явно, либо по ссылке.

Вы понимаете, что это невыполнимое требование? Определение одного понятия использует другие понятия, и так далее, и эта цепочка либо продолжается до бесконечности, либо зацикливается.

Почему зацикливается? Оно останавливается на исходных, атомарных понятиях, тех, которые автор теории посчитал атомарными, взял за исходные. И теория, таким образом, не претендует на всеобщность, а получает свои границы применимости, а именно: с точностью до определения этих атомарных понятий. При условии,разумеется, что автор в дальнейшем соблюдает строгость: не подсаживает больше "пассажиров" (не исходные понятия и которые так же не были выведены)

Но возьмите учебник по матану того же Фихтенгольца: где там определения этих исходных атомарных понятий и аксиом? Они даются в других работах другими авторами? Хорошо, где ссылки в тексте на них, чтобы можно было начать оттуда? Я не нашел

Создается впечатление, что о соблюдении этой самой математической строгости особо никто не заботится. У меня возник вопрос: может я не заметил ссылку или еще чего не допонял. Потому и пришел сюда с вопросами.

-- 03.04.2019, 09:57 --

Munin в сообщении #1385674 писал(а):

RoadRunner
По правилам форума, на некоторые вопросы вы обязаны отвечать.

На какие именно?

-- 03.04.2019, 10:04 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1385559 писал(а):

Кому понятна?

Слушателям. В идеале понятна, но для начала - хотя бы просто изложена хоть в каком-нибудь виде.

[Munin]

RoadRunner в сообщении #1385675 писал(а):

На какие именно?

Заголовок: Правила научного форума (обновлены 18.04.2018)


Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

3.2. Публикуя свои взгляды на форуме, автор принимает на себя обязательства вежливо, четко и по существу отвечать на вопросы, заданные участниками обсуждения вежливо, четко и по существу. Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками, представителями администрации или участниками форума, имеющими статус "Заслуженный". В случае невыполнения этих обязательств, игнорирования вопросов, а также если ответы и аргументы автора признаются участниками форума неубедительными или бессодержательными, тема может быть закрыта.

Someone имеет статус "Заслуженный участник", ewert имеет.

--------

RoadRunner в сообщении #1385675 писал(а):

Почему зацикливается? Оно останавливается на исходных, атомарных понятиях, тех, которые автор теории посчитал атомарными, взял за исходные.

Вы же требуете, чтобы все термины были определены, значит, и атомарные тоже. В ваших требованиях никаких исключений не было.

[RoadRunner]

Igrickiy(senior) в сообщении #1385574 писал(а):

Скажите, пожалуйста, является ли для Вас очевидным простое и понятное утверждение:
Забор в виде простой замкнутой кривой делит плоскость на внутреннюю часть и внешнюю часть?

Вообще, не очень, хотя я представляю, как это скорее всего надо понимать.

Не очень потому что: во-первых, забор - довольно практическое понятие, включающее в себя множество деталей, непонятно какую роль играющих в данном абстрактном вопросе. Иными словами, почему забор, а не изгородь, например?

Во-вторых, внутренняя/внешняя по отношению к чему или к кому..

В-третьих, что значит "простой"? Есть еще "сложный"? Если есть, то где и почему вы сложный в вопросе не поставили?

Вопросы, как видите, возникли из-за того, что Вы не дали мне понять (подозреваю, что может не по злому умыслу, но тем не менее намеренно) Вашу мотивацию этого утверждения, т.е. зачем Вы мне задали этот вопрос.

Вот такая же ситуация постоянно происходит на лекциях по математике: куча вопросов из-за отсутствия понимания мотивации утверждений.

[Munin]

И ещё такой момент.

Вы писали:

RoadRunner в сообщении #1385458 писал(а):

З.Ы. Спасибо всем, что развернутые объяснения даете, литературу советуете. Мне на этом все ж полегче самому дальше как-то двигаться

Но что-то не видно, чтобы вы двигались дальше. Скорее, вы начали завышать требования так, чтобы оправдать непродвижение дальше. И в то время, как все ждали, что вы начнёте задавать следующие вопросы по более продвинутым темам, вы упёрлись рогом в одну точку.

Боюсь, именно это может привести к тому, что продолжение разговора сочтут бесполезным, а к теме и к вам применят какие-то меры.

Вам было сказано вполне достаточно, чтобы вы перешли к чтению дальнейшего текста Фихтенгольца. Если вас в самом деле именно это интересует.

[Dragon27]

RoadRunner в сообщении #1385671 писал(а):

Я думаю, Ваши вопросы по моим умозаключениям, возникают из-за того, что мы по-разному смотрим на такие вещи как логика и мотивация.
Вы считаете (поправьте, если не прав), что логика и мотивация вещи не взаимосвязанные.
Я же, напротив, считаю, что человек вообще ничего не делает без причины, т.е. мотивации, в том числе и логические заключения. Поэтому отрывать логику от мотивации и возводить ее в абсолют на мой взгляд, ошибка априори.

Всё это, конечно, очень хорошо, но какое это имеет значение для строгости доказательства? Человек может быть мотивирован и заинтересован самыми разными вещами. Доказательство же не должно зависеть от того, видит ли человек что-то мотивирующее тот или иной шаг, или нет.
То, что человек потеряет интерес в математических построениях, если они для него лично слишком абстрактны - это уже другой вопрос. Вопрос педагогики, а не строгости доказательства.

RoadRunner в сообщении #1385671 писал(а):

Но вот дальше считается, что логические умозаключения на основании этих положений, уже имеют абсолютный, объективный характер и лишены уже какого либо субъективизма и мотивации первоначальных положений. На мой взгляд так полагать наивно.

Хм.. мне кажется вы уже о чём-то другом. О том, верить ли математике в применении к задачам из реального мира, если сами эти модели - чисто умозрительные построения на основе каких-то аксиом и постулатов, которые для вас кажутся магическим образом вынутыми из шляпы.
Когда в математике говорят, что что-то строго доказано, имеется в виду, что выведенное утверждение истинно при условии, что аксиомы/постулаты/изначальные предположения (которые стоят в условиях теоремы, например) истинны. И ничего больше. Разумеется, если начальные посылки неверны, то и следствие не обязано быть верным. Любое утверждение в математике это не "X верно и всё тут", а "X верно, если Y верно".
А вот то, что в реальном мире математические модели успешно описывают наблюдаемую физику мира - это уже совсем другой вопрос. Математика вообще может какие-то свои теории строить, которые (пока) никакого реального применения не имеют.

RoadRunner в сообщении #1385671 писал(а):

А потом убирают из формулировок первоначальную мотивацию их породившую, делая вид, что ее там никогда и не было, а если и была, то сейчас оно (формализованное доказательство) от нее уже не зависит: логические шаги делаются уже "просто так", не подумайте, что по какой-то причине Это, как мне кажется, довольно наивно, если не сказать больше.

Это, конечно, порой очень неприятно, если у нас осталось только сухое формализованное доказательство, но от этого оно не перестаёт работать. Убрать мотивировку из доказательства можно, но убрать изначальные посылки (аксиомы/постулаты) уже нельзя - иначе доказательство вообще перестанет быть доказательством. Но мотивировка - это совсем другое.
Мотивировка - это как комментарий в программном коде. Мы можем написать совершенно непонятный, но совершенно правильный, работающий код (можем его даже обфусцировать) и не оставить комментариев в коде. Код от отсутствия комментариев не перестанет быть работающим.

RoadRunner в сообщении #1385675 писал(а):

Но возьмите учебник по матану того же Фихтенгольца: где там определения этих исходных атомарных понятий и аксиом? Они даются в других работах другими авторами? Хорошо, где ссылки в тексте на них, чтобы можно было начать оттуда?

Про базовые понятия арифметики вам, если не ошибаюсь, сказали что-то вроде "забейте, примите результирующие свойства чисел за аксиомы, и работайте дальше". Вопросы самых-самых оснований математики очень сложны и запутаны (и всё равно зиждятся на каких-то базовых недоказываемых утверждениях), и на начальном этапе скорее всего просто отобьют желание заниматься математикой вообще.

[RoadRunner]

Munin в сообщении #1385681 писал(а):

Вы же требуете, чтобы все термины были определены, значит, и атомарные тоже. В ваших требованиях никаких исключений не было.

Я написал "либо явно, либо по ссылке", т.е. можно сослаться на опыт. Скажем, определение натуральных чисел, как чисел возникающих при счете мне понятно. Мне непонятно, когда ссылки нет вообще.

-- 03.04.2019, 10:44 --

Munin в сообщении #1385686 писал(а):

Но что-то не видно, чтобы вы двигались дальше. Скорее, вы начали завышать требования так, чтобы оправдать непродвижение дальше. И в то время, как все ждали, что вы начнёте задавать следующие вопросы по более продвинутым темам, вы упёрлись рогом в одну точку.

Вы хотите, чтобы я двигался по-вашему. А не по-вашему, значит не двигаюсь. Так не будет: тешить Ваше или чье-либо эго за счет прогресса именно так, как Вы хотите, а не так как заложено природой и провидением в моем случае, я не буду. И за медвежью услугу, оказанную в обмен на такой "прогресс", благодарен тоже не буду, прошу прощения.

-- 03.04.2019, 10:48 --

Munin в сообщении #1385686 писал(а):

Вам было сказано вполне достаточно, чтобы вы перешли к чтению дальнейшего текста Фихтенгольца. Если вас в самом деле именно это интересует.

Я нигде не писал, что у меня цель - непременно продолжить чтение Фихтенгольца (см. внимательно заголовок темы)