Помогите разобраться: откуда взялись свойства чисел

[RoadRunner]

Всем доброго времени суток.

Самостоятельно изучаю мат. анализ по второму кругу (первый был в универе) по Фихтенгольцу.
Вопросы возникают уже в самом начале, при введении таких понятий как сумма, произведение.

В частности, понятие суммы чисел a и b определяется как понятие, имеющее свойства:
1. $a + b = b + a$ (переместительное свойство)
2. $(a + b) + c = a + (b + c)$ (сочетательное свойство)

Плюс, вводится понятие нуля, как понятие, обладающее свойством:
3. $a + 0 = a$,
и симметричного числа со свойством:
4. $a + (-a) = 0$.

Мне непонятна мотивация введения этих понятий именно таким, надо сказать, нетривиальным образом. О ней (мотивации) в учебниках по мат. анализу ни слова не сказано. Возникает вопрос: а где сказано? Из каких соображений вообще взялись подобные формулировки? Где об этом можно найти информацию?

Понятно, что раз вводят объекты a,b,c и пр., для которых свойства выше выполняются, логично предположить, что могут быть и другие объекты, для которых эти свойства выполняться не будут. И неплохо бы их сравнить, ведь все познается в сравнении: трудно воспринимать понятие "белое", если тебе не показали "черное". А желательно еще и "красное", "зеленое", "желтое" и т.д.

Дальше больше: понятие умножения вводят через свойства аналогичные сложению и связывают его (умножение) со сложением через свойство: $(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$ . Опять же вопрос мотивации такого имхо не очень естественного поступка
И непонятно, как из такой связи сложения и умножения вывести имхо куда более естественную $\underbrace{a + a + \dots + a}_{n раз} = n\cdot a$. Ее дальше везде используют, но вывода нигде нет.

В общем, у меня такое ощущение, что целые куски рассуждений пропускаются. Буду очень благодарен за помощь: где об этом можно что-то почитать, как восстановить логику.

[gris]

Чисто по последней формуле. Фихтенгольц же вначале постулирует "особую роль единицы": $a\cdot 1=a$. То есть после её применения к левой части можно вынести за скобки $a$ и получить в скобках сумму $n$ единиц. Останется вопрос: почему сумма $n$ единиц равна $n$?
Я думаю, что Фихтенгольц вводит рациональные числа, предполагая, что натуральные уже каким-то образом введены, хотя натуральные они тоже рациональны. Но тогда надо было сказать, что-де обязательно существуют ноль и единица, обладающие особыми свойствами

[RoadRunner]

gris в сообщении #1384471 писал(а):

Останется вопрос: почему сумма $n$ единиц равна $n$?

В нем и проблема: мы про единицу постулировали только ее свойство $a\cdot1=a$. Формально, больше о ней инфы нет. Мы даже не можем утверждать, что 1+1=2.

Я на это наткнулся, когда пытался понять его (Фихтенгольца) доказательство свойства плотности рациональных чисел, а именно: что из $a>b$ следует $a>\frac{a+b}{2}>b$. Всплывает двойка, которую непонятно как соотносить с единицей, а стало быть и с a, и с b.

Потому и думаю, что может я какой раздел математики недоучил, типа теории чисел, групп, алгебры.. Я все-таки физик по образованию - эти вещи нам поверхностно давали.

gris в сообщении #1384471 писал(а):

Я думаю, что Фихтенгольц вводит рациональные числа, предполагая, что натуральные уже каким-то образом введены, хотя натуральные они тоже рациональны. Но тогда надо было сказать, что-де обязательно существуют ноль и единица, обладающие особыми свойствами

Да. Как-то привязать натуральные числа и их свойства к объяснениям. А для начала вообще их ввести или сослаться на источник. Я, например, вот так с ходу и не знаю, что там про натуральные числа известно и откуда.

[demolishka]

RoadRunner в сообщении #1384476 писал(а):

Мы даже не можем утверждать, что 1+1=2.

А что такое $2$? Как оно определяется? Вопрос восходит к

RoadRunner в сообщении #1384476 писал(а):

что там про натуральные числа известно и откуда.

[gris]

Не поленившись, посмотрел. Фихтенгольц предполагает, что даже и рациональные числа знакомы уже из школы. И приводит не все, а основные их свойства, из которых полный перечень можно вывести. Строго начинают вводиться иррациональные числа на основе сечений Дедекинда. Да и тут Ф. делает оговорку, что в некоторых курсах все нужные для матана свойства вводятся аксиоматически.
Можно согласиться с некоторой обоснованностью и разумностью побыстрее переходить к пределам, производным и прочим полезным делам, а первоначальное занудство оставить теории чисел и Бурбакам, буде засвербит .

[Someone]

gris в сообщении #1384483 писал(а):

Фихтенгольц предполагает, что даже и рациональные числа знакомы уже из школы. И приводит не все, а основные их свойства, из которых полный перечень можно вывести.

Собственно, введение натуральных чисел, видимо, следует отнести к основаниям математики, целые и рациональные — это алгебра, а математический анализ начинается с введения действительных чисел.

[RoadRunner]

gris в сообщении #1384483 писал(а):

Не поленившись, посмотрел. Фихтенгольц предполагает, что даже и рациональные числа знакомы уже из школы.

Непонятно тогда, зачем так дотошно доказывать свойства единственности и существования разности, частного, симметричных чисел и неравенств - они тоже вроде знакомы со школы и не менее очевидны, чем свойства натуральных чисел. Да и производные с интегралами тоже. Я просто логики не пойму.

gris в сообщении #1384483 писал(а):

а первоначальное занудство оставить теории чисел и Бурбакам, буде засвербит .

Я вот и пытаюсь уже довольно долго найти это первоначальное занудство Только во всем, что я читаю по теории чисел, я ответов на свои вопросы не нахожу. Там какая-то своя дичь. Она может и увлекательна сама по себе, но в упор не вижу, как она пересекается с моими вопросами по матану.

-- 28.03.2019, 12:10 --

Someone в сообщении #1384493 писал(а):

gris в сообщении #1384483 писал(а):

Фихтенгольц предполагает, что даже и рациональные числа знакомы уже из школы. И приводит не все, а основные их свойства, из которых полный перечень можно вывести.

Собственно, введение натуральных чисел, видимо, следует отнести к основаниям математики, целые и рациональные — это алгебра, а математический анализ начинается с введения действительных чисел.

Можете посоветовать какую-то на ваш взгляд хорошую литературу по этим разделам? Хочется начать с самого основания и плавно перейти к матану.

[gris]

Фихтенгольц подробно рассматривает свойства действительных чисел. Для матанализа очень важны не столько их алгебраические, сколько топологические и метрические свойства. Непрерывность, полнота и так далее. Нужно их глубокое понимание, что обычному школьнику не по силам. А ещё обычно курсы начинаются с множеств. Представляете, что бы испытал первокурсник, если ему начать читать теорию множеств во всех подробностях? Да, как уже сказали, это относится к основаниям математики, а для их изучения необходима математическая логика. Самые хорошие учебники по матанализу из категории "для втузов"
А в математических заведениях есть кафедры матанализа, довольно многочисленные. Там уж знают всё про методологию преподавания. При самостоятельном изучении легко заблудиться именно в основаниях. Мне кажется, что туда надо заглядывать уже после хорошего изучения основного курса матанализа (до Фурье), а также линейной алгебры, основ функана и прочего. Будет легче.

[wrest]

RoadRunner в сообщении #1384497 писал(а):

со школы и не менее очевидны, чем свойства натуральных чисел. Да и производные с интегралами тоже.

Так ведь почти весь Фихтенгольц про "производные с интегралами", вы чего?

[Munin]

RoadRunner в сообщении #1384497 писал(а):

Хочется начать с самого основания

Это ошибка. В математике "основания" - более сложный и продвинутый предмет.

RoadRunner в сообщении #1384454 писал(а):

Мне непонятна мотивация введения этих понятий именно таким, надо сказать, нетривиальным образом. О ней (мотивации) в учебниках по мат. анализу ни слова не сказано. Возникает вопрос: а где сказано? Из каких соображений вообще взялись подобные формулировки? Где об этом можно найти информацию?

Есть некоторое количество учебников с изложением мотивации. И книги по истории математики. Но всё-таки пока вам не стоит в них спешить. По той причине, что мотивация лежит впереди. Есть более сложные математические теории и понятия, которые хорошо ложатся на именно такую систему начальных понятий. Но вы этих сложных понятий пока не знаете, и если вам их просто назвать, это для вас будет пустой звук.

Например, система понятий для сложения (она называется алгебраической группой) встречается:
- в системах чисел (целые, действительные, комплексные), в том числе и для умножения (если убрать из этих систем 0);
- в алгебре векторов;
- в разнообразных системах преобразований: геометрические повороты вокруг точки, параллельные переносы; или например, действия над кубиком Рубика (там не выполняются "переместительное свойство", это случается довольно часто)...

Система понятий для сложения и умножения (она называется алгебраическим кольцом) встречается:
- опять же, в системах чисел;
- в системе десятичных дробей, или в системе двоичных дробей;
- в системе остатков от деления целых чисел на какое-то одно фиксированное целое число - такие остатки можно складывать и умножать, вычитать и иногда делить нацело;
- множество функций, если взять функции на одной и той же области определения, образует кольцо: их можно складывать и умножать.
При некоторых условиях (если всегда можно делить на любой элемент, не равный 0), кольцо называется полем.

Система понятия для сложения между собой и умножения на числа - это другая система понятий, она называется в разных вариантах алгебраическим модулем или векторным пространством. Примеры:
- и снова, системы чисел;
- также векторным пространством является координатная плоскость и координатное пространство;
- можно взять на координатной плоскости только точки с обеими целыми координатами - "целочисленную решётку". Это тоже будет векторное пространство, если разрешить умножение на целые числа.
- множество функций, опять же на одной и той же области определения, образует векторное пространство.

Дальше вам встретятся и другие объекты похожих типов (комплексные числа, кватернионы, матрицы, тензоры, перестановки, операторы, и т.д.).

-- 28.03.2019 14:06:13 --

RoadRunner в сообщении #1384476 писал(а):

В нем и проблема: мы про единицу постулировали только ее свойство $a\cdot1=a$. Формально, больше о ней инфы нет. Мы даже не можем утверждать, что 1+1=2.

Я на это наткнулся, когда пытался понять его (Фихтенгольца) доказательство свойства плотности рациональных чисел, а именно: что из $a>b$ следует $a>\frac{a+b}{2}>b$. Всплывает двойка, которую непонятно как соотносить с единицей, а стало быть и с a, и с b.

Видимо, тут пропущен момент (явно он проговаривается в аксиоматике натуральных чисел). Мы ввели элементы $0$ и $1,$ причём $0\ne 1.$ А дальше, проделывая разные действия с этими элементами, мы быстро натыкаемся на бесконечную серию новых элементов (то, что она бесконечная, где-то заложено в аксиомах):

$1+1, (1+1)+1, ((1+1)+1)+1,\ldots$

И для неё мы выбираем имена, которые записываются как привычные вам числа:

$2:=1+1, 3:=(1+1)+1, 4:=((1+1)+1)+1,\ldots$

Дальше можно доказывать теоремы, такого вида: $1+2=3, 2+2=4\ldots$ Но это в сторону от целей Фихтенгольца.

В общем, всегда, когда увидите $2,$ можете думать, что подразумевается $1+1.$

[mihaild]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1384530 писал(а):

она называется в разных вариантах алгебраическим модулем или векторным пространством

Всё-таки обычно векторное пространство только над полем, а модуль над произвольным кольцом.

[Munin]

Я подразумевал, что модуль и векторное пространство - разные системы понятий. Но достаточно похожие, на начальном уровне знакомства. И операция

RoadRunner в сообщении #1384454 писал(а):

$\underbrace{a + a + \dots + a}_{n раз} = n\cdot a$

может быть примером операции умножения в модуле и в векторном пространстве.

[mihaild]

А, я неправильно отнес "в разных вариантах" к "называется" а не к "система понятий".

[Munin]

Да, я сформулировал не слишком удачно. Спасибо за вопрос, надеюсь, уточнение поможет.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1384530 писал(а):

В общем, всегда, когда увидите $2,$ можете думать, что подразумевается $1+1.$

Кроме того совершенно естественно так думать даже если при этом $1 + 1 = 0$ или например $1 + 1 = (1 + 1 + 1)^{-1}$ (что можно наблюдать в полукольцах с единицей, не содержащих $\mathbb N$): есть единица и ассоциативное сложение — значит, допустимо использовать натуральные числа для названия образов этих чисел при единственном гомоморфизме из $\mathbb N$.