Преподавание программирования

[ozheredov]

Munin в сообщении #1383033 писал(а):

экспонента от матрицы

Это степенной ряд, его назвали по аналогии, потому что в тот же ряд разлагается обычная экспонента. А так любая функция от матрицы берётся поэлементно

[arseniiv]

Тут плохо, что если матрицы — это функции (из пар индексов), на них естественно доопределяются вещи одним образом — в том числе умножение, а если они хоть как-то связаны с линейными операторами, на них естественно определяется умножение другим способом, а если вообще просто с тензорами, то ещё третьим способом. Что с этим делать? Видимо, не ставить матрицы сами по себе во главу угла.

-- Чт мар 21, 2019 14:10:04 --

(Можно, конечно, выдумать, что второе умножение — не умножение, а дескать «композиция», но отличительные черты умножения — ассоциативность и дистрибутивность по $+$ (ещё лучше: раз матрицы образуют модуль, можно говорить о билинейности) — налицо. С третьим, тензорным, то же.)

[Munin]

Вы как-то разгулялись. Матрицы образуют алгебру при стандартном матричном умножении - это общеизвестно. Далее, из них можно строить полиномы и функции в этой алгебре, не зависимо от интерпретации как линейных операторов или тензоров. Ну и всё.

Даже наоборот, не для всех операторов осмысленно строить полиномы и функции. Операторы очень часто бывают между разными пространствами, например. Или сами по себе обладают свойствами, "не выдерживающими" возведения в степень.

В общем, мотивировать матрицы операторами - это хорошо и ярко, но с какого-то момента матрицы интересно изучать и сами по себе. (И не забываем, что у них есть и другие мотивации, по крайней мере у квадратных.)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1383316 писал(а):

Вы как-то разгулялись.

Я как раз приводил аргументы, почему нельзя просто взять и написать, что

ozheredov в сообщении #1383265 писал(а):

А так любая функция от матрицы берётся поэлементно

Munin в сообщении #1383316 писал(а):

Матрицы образуют алгебру при стандартном матричном умножении - это общеизвестно. Далее, из них можно строить полиномы и функции в этой алгебре, не зависимо от интерпретации как линейных операторов или тензоров.

Зависимо — если интерпретировать их как дважды ко(нтра)вариантные тензоры, надо будет ещё взять скалярное произведение, чтобы сворачивать.

Munin в сообщении #1383316 писал(а):

Даже наоборот, не для всех операторов осмысленно строить полиномы и функции. Операторы очень часто бывают между разными пространствами, например.

Да, для таких двух линейных отображений конечно тоже не будет композиции, ну это понятно. Но если матрица квадратная, мы уже потеряли возможное различие между всеми пространствами одной размерности, вот ещё один минус матриц.

Munin в сообщении #1383316 писал(а):

(И не забываем, что у них есть и другие мотивации, по крайней мере у квадратных.)

Так я о чём и говорю, и в какой-то теме писал и никто ничего не возразил, что нашёл только два источника: тензоры из произвольных $V\otimes W$ и просто функции на кусочке целочисленной решётки. Матрицы отношений и перехода марковской цепи укладываются в первый источник (для отношений нужно будет рассматривать модули над булевым полукольцом $(\{0,1\},\wedge,\vee)$ [UPD: формула была исправлена]).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1383389 писал(а):

если интерпретировать их как дважды ко(нтра)вариантные тензоры, надо будет ещё взять скалярное произведение

Прочитайте ещё раз, внимательно:

Munin в сообщении #1383316 писал(а):

Матрицы образуют алгебру при стандартном матричном умножении

arseniiv в сообщении #1383389 писал(а):

Да, для таких двух линейных отображений конечно тоже не будет композиции, ну это понятно.

Как раз будет, но более сложная, учитывающая разные пространства. Такая как между стрелками в категориях.

arseniiv в сообщении #1383389 писал(а):

Но если матрица квадратная, мы уже потеряли возможное различие между всеми пространствами одной размерности, вот ещё один минус матриц.

Вы слишком увлеклись. "Минус матриц как (чего-то)". А они не что-то. Они просто матрицы.

arseniiv в сообщении #1383389 писал(а):

Так я о чём и говорю, и в какой-то теме писал и никто ничего не возразил, что нашёл только два источника: тензоры из произвольных $V\otimes W$ и просто функции на кусочке целочисленной решётки.

А, ну это типичный эффект "никто не возразил => я прав". Разумеется, источников больше. Ну например, матрицы (размера $2\times 2$) очень хорошо моделируют комплексные числа и кватернионы. Или (матрицы специального вида) - перестановки. Думаю, если специально поспрашивать математиков из разных разделов, вам ещё идей накидают.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1383389 писал(а):

для отношений нужно будет рассматривать модули над булевым полукольцом $(\{0,1\},\wedge,\oplus)$)

Вы его с $GF(2)$ не перепутали?

[arseniiv]

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

Прочитайте ещё раз, внимательно:

Это да, но дальше вы говорите «не зависимо от интерпретации как линейных операторов или тензоров», отчего я подумал, что вы не совсем отбрасываете интерпретации — и тогда там получается тот нюанс — да и в любом случае их нельзя совсем отбросить. Можно говорить, что матричное умножение, вылезшее из свёртки тензоров, взято с потолка и ни с чем не связано, но оно не взято с потолка и связано.

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

Как раз будет, но более сложная, учитывающая разные пространства. Такая как между стрелками в категориях.

Я имел в виду случай когда $f\in\operatorname{Hom}(V,W)$ и $f'\in\operatorname{Hom}(V',W')$, и ни $V = W'$, ни $V' = W$. Во всех остальных одна из композиций конечно же существует.

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

А они не что-то. Они просто матрицы.

Как я уже говорил, минус в том, что на них слишком много структур, он в том и остаётся и останется. Я точно так же буду катить бочку на неумеренное пользование $\mathbb R$ в каких-то местах.

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

А, ну это типичный эффект "никто не возразил => я прав".

«Прав в некоторой разумной степени». А если совсем во всём сомневаться и ничего не предполагать до того как получишь опровержение, жить невозможно. Почему вы мимо тех постов прошли, я не знаю.

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

Ну например, матрицы (размера $2\times 2$) очень хорошо моделируют комплексные числа и кватернионы.

Ну это просто изоморфизм алгебры некоторых матриц, а лучше линейных операторов, и этих алгебр. Почему здесь нужно видеть что-то ещё?

Munin в сообщении #1383408 писал(а):

Или (матрицы специального вида) - перестановки.

Линейные представления групп, так что опять операторы.

realeugene в сообщении #1383409 писал(а):

Вы его с $GF(2)$ не перепутали?

Не, иначе умножение матриц не будет соответствовать композиции отношений.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1383414 писал(а):

Не, иначе умножение матриц не будет соответствовать композиции отношений.

Я про символ $\oplus$ вместо $\vee$.

[arseniiv]

Спасибо, конечно перепутал. (Ужасно, о чём надо было думать…)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1383414 писал(а):

Как я уже говорил, минус в том, что на них слишком много структур, он в том и остаётся и останется.

Это как-то странно. Скорее, это плюс.

arseniiv в сообщении #1383414 писал(а):

Я точно так же буду катить бочку на неумеренное пользование $\mathbb R$ в каких-то местах. :-)

Ну, это означает катить бочку на почти всю математику :-)

arseniiv в сообщении #1383414 писал(а):

Почему вы мимо тех постов прошли, я не знаю.

Я тоже не знаю, я даже не знаю, о каких вы говорите. Но возможно, потому что вы изъяснялись на непонятном мне языке на показавшиеся неинтересными темы.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1383424 писал(а):

Это как-то странно. Скорее, это плюс.

Плюс, что они сочетаемы, когда это понадобится, но если бы они были нужны всегда все вместе, линейная алгебра так бы и оперировала одними матрицами.

Munin в сообщении #1383424 писал(а):

Ну, это означает катить бочку на почти всю математику

Не знаю, обычно вроде злоупотребляют лишь практики.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1383424 писал(а):

Я тоже не знаю, я даже не знаю, о каких вы говорите.

Ничего более интересного не нашёл, но вот например.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1383431 писал(а):

но если бы они были нужны всегда все вместе

А кто и когда и с чего выдвигал такое требование?

arseniiv в сообщении #1383431 писал(а):

Не знаю, обычно вроде злоупотребляют лишь практики.

Которых, я напомню, в $10^{2\text{-}4}$ раза больше, чем непрактиков.

-- 22.03.2019 00:40:44 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1383431 писал(а):

Ничего более интересного не нашёл, но вот например.

В это я точно настолько глубоко не вчитывался, и уж тем более не счёл настолько важным, чтобы критиковать.

С другой стороны, может быть, тогда (и в том контексте) я так и думал. Сейчас я посмотрел немного лекций про группы матриц, и думаю по-другому.

Ну и думаю, абсолютное большинство математиков dxdy, которые куда сильнее меня, прошли мимо этого замечания, не заметив.

[george66]

Преподавать программирование надо на Lua.

[george66]

george66 в сообщении #1383579 писал(а):

Преподавать программирование надо на Lua.

"стоит несколько минут, потрясённый этой новой идеей и падает замертво." Все молчат.

[arseniiv]

Мне один знакомый напомнил, что надо и можно это разные слова (это вообще к теме — наверно, я сам не замечая тоже не раз перепутал модальность), а так я тоже Lua предлагал выше.