Периодичность функции

[Igrickiy(senior)]

Walker_XXI в сообщении #1381813 писал(а):

Куда $x$ пропал (про период уж и не спрашиваю)?

Это очевидная описка.
Предлагаю подождать реакции ТС.

[bot]

Igrickiy(senior) в сообщении #1381808 писал(а):

Вас лично ответ $T=k\pi$ устраивает?

Нет. Вообще-то период, если есть, то их много. В ответе их целая куча предположительно (т.к. пока и это не показано). Почему это все периоды?
Требовалось найти один - ясно, что подразумевалось найти тот, которому все другие кратны. Где он?
PS. Бывает, что такого не бывает, пример - функция Дирихле или куда проще - постоянная функция.

[Igrickiy(senior)]

bot
А чем конкретно он Вас не устраивает?

bot в сообщении #1381825 писал(а):

Почему это все периоды?

Просто они периоды. И это можно не только увидеть на приведенном выше графике, но и проверить при любом значении $k\inХZЪ$.
Как и договорились, о выводе не говорим, хотя результат абсолютно правильный: период функции $\cos(x)\cos(3x)$ действительно равен $k\pi$.
Минимальный равен $\pi$.
Если удастся найти положительный элемент $Z$, меньший 1, то значение минимального периода придётся пересмотреть.

[bot]

Igrickiy(senior) в сообщении #1381831 писал(а):

Просто они периоды.

Я спросил, почему это все периоды, а не "просто" периоды. С тем же успехом $4\pi k^2$ - тоже просто периоды, а вдруг $\frac\pi2$ - тоже период?

[Igrickiy(senior)]

bot в сообщении #1381857 писал(а):

Я спросил, почему это все периоды, а не "просто" периоды. С тем же успехом $4\pi k^2$ - тоже просто периоды, а вдруг $\frac\pi2$ - тоже период?

Согласен с Вами.
"Просто" можно опустить без ущерба для смысла.
И ещё раз соглашусь с Вами, что приведенный пример $4\pi k^2$ - тоже периоды.
Даже
$2019\pi k^{1917}$
тоже периоды.
А $\frac\pi2$ - не повезло, поскольку дробь $\frac12$ не попала в $Z$.
Но это вопрос к тригонометрическим функциям.
Правда, есть особенность.
Если основная формула для периода $T=k\pi$ описывает полное множество всех возможных периодов, то приведенные примеры только некоторые подмножества.

[IvanPhys]

Всем спасибо за ответы! Ошибку я свою понял, дальше такого грубого упущения буду стараться не делать. Жалко, что мой ответ полученный через неверные вычисления оказался правильным

-- 14.03.2019, 22:16 --

Walker_XXI в сообщении #1381813 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Я попытался доказать ее периодичность, то есть придал ей вид $\cos(x)\cos(3x)=(\cos(2x)+\cos(4x))/2$
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$, значит

Может я туплю, но этих преобразований совершенно не понимаю!
Начнём с того, что должно быть $\cos(3(x+T))$ вместо $\cos(3x+T)$ (это уже отметили).
Далее, почему во второй строчке в правой части в первом слагаемом период вообще отсутствует, а во втором - с множителем 2 вместо 4?
Почему в третьей строчке под косинусом осталась только $2$? Куда $x$ пропал (про период уж и не спрашиваю)?

Странно, что при таком подходе кто-то ещё надеется получить верный ответ.

Решение не верно, согласен. $x$ пропал из-за невнимательности

-- 14.03.2019, 22:29 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1381888 писал(а):

bot в сообщении #1381857 писал(а):

Я спросил, почему это все периоды, а не "просто" периоды. С тем же успехом $4\pi k^2$ - тоже просто периоды, а вдруг $\frac\pi2$ - тоже период?

Согласен с Вами.
"Просто" можно опустить без ущерба для смысла.
И ещё раз соглашусь с Вами, что приведенный пример $4\pi k^2$ - тоже периоды.
Даже
$2019\pi k^{1917}$
тоже периоды.
А $\frac\pi2$ - не повезло, поскольку дробь $\frac12$ не попала в $Z$.
Но это вопрос к тригонометрическим функциям.
Правда, есть особенность.
Если основная формула для периода $T=k\pi$ описывает полное множество всех возможных периодов, то приведенные примеры только некоторые подмножества.

Не понял последнюю строчку. Как я понял $\pi k^2$ будет период т.к в этих точках максимально значение такое же как и для $\pi k$, но как показать, что $\pi k$ единственный верны период ?

[Walker_XXI]

IvanPhys в сообщении #1381934 писал(а):

Как я понял $\pi k^2$ будет период т.к в этих точках максимально значение такое же как и для $\pi k$, но как показать, что $\pi k$ единственный верны период ?

Что значит "единственно верный"? Просто если Вы записали период как $\pi k$ , где $k$ - произвольное целое число, то в это множество периодов (кратных $\pi$) входят и все периоды, кратность которых квадрат целого числа (т.к. квадрат целого числа тоже целое). Или я опять чего-то не понимаю?

[IvanPhys]

Walker_XXI в сообщении #1381941 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1381934 писал(а):

Как я понял $\pi k^2$ будет период т.к в этих точках максимально значение такое же как и для $\pi k$, но как показать, что $\pi k$ единственный верны период ?

Что значит "единственно верный"? Просто если Вы записали период как $\pi k$ , где $k$ - произвольное целое число, то в это множество периодов (кратных $\pi$) входят и все периоды, кратность которых квадрат целого числа (т.к. квадрат целого числа тоже целое). Или я опять чего-то не понимаю?

Так как тогда записывать ответ ? $T= 2m \pi k^n$, где $n\in N$ ,а $m,k\in Z$?

[Fedorov]

$\cos (x+T)$$\cdot$\cos 3(x+T) =$\cos x$$\cdot$\cos 3x

При $x=0$$\quad$ имеем \quad$\cos T$$\cdot$\cos 3T = 1

Откуда$\quad$ $T=\pi$.$\quad$ Если T < \pi,$ то $\quad$ \cos T$$\cdot$\cos 3T < 1

[Igrickiy(senior)]

Fedorov
Никто и не спорит.
А что будет при аргументах, отличных от нуля, Вы не задумывались?

-- 15.03.2019, 00:40 --

IvanPhys в сообщении #1381942 писал(а):

Так как тогда записывать ответ ?

Ответ обычно записываюn в таком виде, какой представляет все решения задачи.
В данном случае таким видом будет только $T=k\pi$.

[bot]

Igrickiy(senior) в сообщении #1381949 писал(а):

В данном случае таким видом будет только $T=k\pi$.

Опять 25! Это будет ответ на какой вопрос? Варианты:
1) Указать все периоды
2) Указать наименьший положительный период.
3) Указать просто период
В первом варианте остаётся вопрос - почему это все периоды.
Во втором варианте вообще ерунда получается, просили указать один, а в ответе непонятно что - то ли множество то ли ... ну, в общем,
"просто ответ".
Если коротко, то возникает вопрос, а известен ли смысл вопроса? Что это вообще за понятие такое - период?

[Igrickiy(senior)]

bot в сообщении #1382142 писал(а):

Если коротко, то возникает вопрос, а известен ли смысл вопроса? Что это вообще за понятие такое - период?

Смысл вопроса - это к Вам.
Понятие период изложено выше.
Указаны все периоды.
Указан наименьший период.
Ещё вопросы?

[vicvolf]

Fedorov в сообщении #1381947 писал(а):

$\cos (x+T)$$\cdot$\cos 3(x+T) =$\cos x$$\cdot$\cos 3x

При $x=0$$\quad$ имеем \quad$\cos T$$\cdot$\cos 3T = 1

Откуда$\quad$ $T=\pi$.$\quad$ Если T < \pi,$ то $\quad$ \cos T$$\cdot$\cos 3T < 1

Обычно имеют в виду наименьший положительный период. Здесь он как раз найден.

[Igrickiy(senior)]

vicvolf в сообщении #1382191 писал(а):

Обычно имеют в виду наименьший положительный период. Здесь он как раз найден.

Нет.
Это грубая ошибка.
Вынужден повторить свои возражения.
Здесь показано лишь, что при $x=0$ одно из возможных значений переменной $T$ равно $\pi$
И ничего более.
Совпадение c действительным минимальным периодом исходной функции $\cos(x)\cos(3x)$ является случайным.

[vicvolf]

Igrickiy(senior) Здесь периодичность не зависит от значения аргумента, поэтому можно подставить любое значение $x$ в том числе $0$.

Повторяю обычно под периодом понимают минимальный возможный период. В данном случае он равен $\pi$.

Если хотят определить все периоды, то это подчеркивают отдельно в условиях задачи, тогда Вы укажите ответ - $k\pi$, $k=1,2,...$.

Все, остальное это мудрость от лукавого