Кольцо

[dovlato]

Источник тока обеспечивает протекание постоянного тока в кольце.
Кольцо находится в вязкой однородной среде; под действием собственного магнитного поля оно медленно растягивается: кольцо так устроено, что имеет возможность беспрепятственно увеличивать свой радиус. Внешних магнитных полей нет.
Начальный радиус кольца пренебрежимо мал. Когда он достиг определённой величины, источник тока совершил работу $A$.
Какова будет работа источника, необходимая для удвоения радиуса?

[waxtep]

Наверное, махровую глупость напишу, за что заранее прошу прощения
Элементарная работа $dA$ источника тока расходуется на:
- запасение энергии магнитного поля, за счет увеличения индуктивности кольца при постоянной величине тока;
- выделение тепла в кольце, за счет увеличения сопротивления кольца при постоянной величине тока;
- преодоление вязкого трения среды при расширении кольца.
Последние два члена $\sim rdr$, а первый более хитрый, $\sim(a\ln r+b)dr$, но и более скромный (глядя на выражение для индуктивности кольца). Если им пренебречь, $dA\sim rdr$ и для удвоения радиуса понадобится еще $3A$ сверх исходно затраченной работы $A$

[EUgeneUS]

waxtep в сообщении #1378421 писал(а):

- выделение тепла в кольце, за счет увеличения сопротивления кольца при постоянной величине тока;

Тепло на активном сопротивлении выделяется не за счет увеличения сопротивления, а за счет него самого. То есть второй член будет:
$dA_2 = IR dt$, где $R$ - сопротивление кольца. Как оно зависит от $r$ - неизвестно. И как зависит $r$ от $t$ - тоже.
ИМХО, активным сопротивлением кольца нужно пренебрегать.

[waxtep]

EUgeneUS, мне мое "решение" представляется крайне сомнительным, еще чего (кажется) полезного можно сказать: в качестве более простой модельной задачи можно рассмотреть два (полу)бесконечных параллельных провода, которые замыкает едущий по ним как по рельсам проводничок. Больше похоже на типовые школьные задачи, правда, тут не моделируется увеличение размеров тела, преодолевающего сопротивление среды

[waxtep]

Но можно в этой модельной задаче рассмотреть вязкость, линейно растущую вдоль проводов т.о., в этой задаче все линейно растёт: коэффициент сопротивления, инерция (индуктивность) и вынуждающая сила. Выглядит как движение тела в вязкой среде под действием постоянной силы

[dovlato]

Прошу прощения, забыл написать - омическими потерями простоты ради пренебрегаем.

[EUgeneUS]

Еще уточнение.
Как кольцо растягивается?
а) Сохраняя массу (и объем)
б) Сохраняя сечение провода

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1378512 писал(а):

б) Сохраняя сечение провода

EUgeneUS

Для "подкачки" растущей массы работу тоже учитывать?
Или плотность убывает?

[EUgeneUS]

Хорошо.
1. Работа источника тока между моментами времени $t_1$ и $t_2$ равна

$A_{t_1,t_2} = \int\limits_{t_1}^{t_2}P(t) dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} U(t)I(t) dt$

2. учитывая, что
а) $I = \operatorname{const}$
б) $U = -\varepsilon = \frac{d\Phi}{dt}$
в) $\Phi = LI$
г) $L = L(r) = L(r(t))$ - индуктивность витка есть функция от его радиуса, который в свою очередь есть функция от времени.

записываем:

$A_{t_1,t_2} = I^2 \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{dL}{dr} \frac{dr}{dt} dt$

3. Переходим от времени к радиусу. Работа источника тока при изменении радиуса витка от $r_1$ до $r_2$ равна

$A_{r_1,r_2} = I^2 \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dL}{dr} dr = I^2 (L(r_2) - L(r_1))$

Зная $L(r)$, можно получить ответ.

А вот дальше начинаются вопросы:

1. Изменяется ли с изменением радиуса витка диаметр проволоки, который входит в формулу индуктивности одного витка? (см. уточняющий вопрос выше)
2. Известная формула индуктивности одного витка работает при радиусе витка много больше радиуса проволоки. А тут надо от нулевого радиуса витка смотреть. Не понятно, что делать.
3. Причем тут медленный рост радиуса и вязкое трение? Выкладки выше никак это не используют.
Ответов на эти вопросы у меня (пока) нет.

-- 26.02.2019, 16:47 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1378522 писал(а):

Для "подкачки" растущей массы работу тоже учитывать?
Или плотность убывает?

Наплевать на растущую массу, в том смысле, что растущая масса (как и растущая луна) никак в ответ не входит.
Не плевать на сечение провода, так как оно в выражение для $L$ входит.

[dovlato]

Ну пусть, например, кольцо вытягивает тонкий провод из некого запаса.

[EUgeneUS]

dovlato

Если много чем пренебречь, то получается так:

$A_{r_0, 2r_0} = \frac{2A^2}{\mu_0 r_0 I^2} - A$

[dovlato]

Ого. Возможно, я сильно ошибаюсь. Но я обошёлся простыми соображениями.
Из которых у меня получилось, что поток собственного поля внутри любого плоского контура из тонкого провода, сохраняющего свою форму, пропорционален линейным размерам этого контура. Или я неправ?

[EUgeneUS]

dovlato

А можно привести эти соображения?

(что интересно)

1. Ваш вывод похож на правду. Но при условии, что толщина проводников также меняется пропорционально другим размерам. То есть в условиях задачи - толщина проволоки должна расти с ростом радиуса витка.
2. Считать толщину проводников "нулевой" нельзя (нельзя делать переход $a \to 0$), так как тогда любой контур будет иметь бесконечную индуктивность. Она должна быть малой (по сравнению с другими размерами), но конечной.

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1378527 писал(а):

Наплевать на растущую массу

Это как-то pas comme il faut!
И ещё.
Кто-то должен отрабатывать прирост массы. Эту работу тоже учитывать, или она с неба падает?

dovlato в сообщении #1378531 писал(а):

Или я неправ?

Или.

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior)

Извините меня, пожалуйста. Что-то на аллюзии потянуло.

(Оффтоп)

Igrickiy(senior) в сообщении #1378544 писал(а):

Это как-то pas comme il faut!

Тут аллюзии на "Понедельник начинается в субботу"

Igrickiy(senior) в сообщении #1378544 писал(а):

Кто-то должен отрабатывать прирост массы. Эту работу тоже учитывать, или она с неба падает?

А тут на старый анекдот:
физик упал, набил шишку и воскликнул:- Хорошо, что пополам!!!
Его спрашивают - что пополам?
- хорошо, что эм-вэ-квадрат пополам. Без пополама убился бы.

Видите ли. Энергия магнитного поля $W = \frac{LI^2}{2}$, а из источника тянется $A = LI^2$, без "пополама".
Разница (эл-и-квадрат пополам) идет на всякие разности: торможение в вязкой среде, разгон элементов кольца, в том числе новых элементов - той самой переменной массы, в том числе в поле тяжести Земли, Солнца и растущей Луны. Но нам на это всё плевать. Так как вопрос задачи - сколько энергии вытянули из источника тока? - не требует рассмотрения всех этих штук, безусловно сами по себе интересных.