иррациональная обмотка n-мерного тора

[Padawan]

Всем спасибо!

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1377863 писал(а):

Только вот из совпадения временных и пространственных средних для непрерывных функций не следует совпадения для функций из $L^{1}$, а Ваше доказательство там существенно это использует

из чего вытекает, что доказательства вы существенно не поняли :)

[vpb]

Действительно, в книге Арнольда есть доказательство. Но оно там в середине, и, как обычно у Арнольда, труднопонимаемо. Приведу доказательство, использующее обычный матан (но следующее той же основной идее; есть и основанные на других идеях).

Пусть $a\in{\mathbb R}$, $0<\delta\leq1/2$. Рассмотрим функцию

$$\varphi_{\delta,a}(x)=\begin{cases} 1-(x-a-n)/\delta\, & \text{если $a+n\leq x\leq a+n+\delta$;} \\ 1+(x-a-n)/\delta\, & \text{если $a+n-\delta\leq x\leq a+n$;} \\ 0 & \text{ в остальных случаях.} \end{cases} $$

т.е. $\varphi_{\delta,a}$ --- кусочно-линейная, и периодическая с периодом $1$. В точках $a+n$ ($n\in{\mathbb Z}$) равна $1$, $a+n\pm\delta$ --- нулю.

Пусть $\sum_{n\in{\mathbb Z}} b_ne^{2\pi i xn}$ --- ее ряд Фурье. Поскольку $\varphi_{\delta, a}$ удовлетворяет условию Дини равномерно на ${\mathbb R}$, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Ясно, что мы можем рассматривать ее как функцию на окружности $S^1={\mathbb R}/{\mathbb Z}$. При этом

$$b_0=\int_0^1 \varphi_{\delta, a}(x)\,dx=\int_{S^1} \varphi_{\delta, a}(x)\,dx =\delta.$$

Теперь пусть $T^n=(S^1)^n={\mathbb R}^n/{\mathbb Z}^n$. Для произвольных $\overline a=(a_1,\ldots,a_n)$, $\overline\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ можно рассмотреть функцию

$$ \varphi_{\overline{\delta}, \overline{a}}(x_1,\ldots,x_n)=\varphi_{\delta_1, a_1}(x_1) \ldots \varphi_{\delta_n, a_n}(x_n). $$

Перемножая ряды Фурье (и их отрезки) для $\varphi_{\delta_i, a_i}$, видим, что ряд Фурье для $\varphi_{\overline{\delta},\overline{a}}$ равномерно сходится к ней на $T^n$. Следовательно, верно
Предложение. Для любых $\overline a$, $\overline\delta$, и $\varepsilon>0$ существуют $M\geq0$ и числа $b(\overline m)\in{\mathbb C}$, где $\overline m$ пробегает мультииндексы, подчиненные условию $-M\leq m_1,\ldots,m_n\leq M$, такие, что

$$\left|\varphi_{\overline{\delta}, \overline{a}}(\overline x)-\sum_{(M)} b(\overline m)e^{2\pi i(\overline m,\overline x)}\right| <\varepsilon $$

всюду на $T^n$. Здесь $(\overline m,\overline x)=m_1x_1+\ldots+m_nx_n$. При этом $b(\overline 0)=\delta_1\ldots\delta_n$. $\square$
( Здесь и ниже $\sum_{(M)}$ означает сумму по мультииндексам, подчиненнным указанным условиям. )

-- 24.02.2019, 21:06 --

Затем нам понадобится
Лемма.

$$ \sum_{n=N_1}^{N_2} e^{2\pi ixn} =O(\frac1{((x))}), $$

где $((x))$ есть расстояние до ближайшего целого числа.

Доказательство следует из соотношения

$$\sum_{n=0}^N e^{2\pi inx}=\frac{e^{2\pi i(N+1)x}-1}{e^{2\pi ix}-1}\,. $$

Теорема. Пусть $\overline x=(x_1,\ldots,x_n)\in T^n$, где $x_i\in S^1$ и линейно независимы над ${\mathbb Z}$. Тогда множество $\{k\overline x\mid k\in {\mathbb N}\}$ всюду плотно в $T^n$.

Доказательство. Допустим противное. Тогда существует точка $\overline a=(a_1,\ldots,a_n)$, некоторая окрестность которой не содержит точек вида $k\overline x$. Следовательно, для некоторого $\delta$ имеем $\varphi_{\overline\delta, \overline a}(k\overline x)=0$, для любого $k\in{\mathbb N}$, где $\overline\delta=(\delta,\ldots,\delta)$.

Возьмем $\varepsilon < 1/(2\delta^n)$. Пусть

$$ r_M(\overline x)=\varphi_{\overline\delta, \overline a}(k\overline x)- \sum_{(M)} b(\overline m)e^{2\pi i(\overline m,\overline x)}\,, $$

где $\overline m=(m_1,\ldots,m_n)$, $b(\overline m)$ --- коэффициенты Фурье для $\varphi_{\overline\delta, \overline a}$. Существует $M$такое, что $|r_M(\overline x)|<\varepsilon$ $\forall\overline x\in T^n$.

Рассмотрим сумму $\sum_{k=1}^N \varphi_{\overline\delta, \overline a} (k\overline x)$. Это нуль. Значит

$$\sum_{(M)} b(\overline m) \sum_{k=1}^N e^{2\pi i(\overline m,k\overline x)}$$

по модулю не превосходит $\varepsilon N$.
Рассмотрим внутреннюю сумму для каждого $\overline m$. При $\overline m=\overline 0$ это, естественно, $N$. При $\overline m\ne\overline 0$ это

$$ \sum_{k=1}^N e^{2\pi i k(\overline m,\overline x)}=\sum_{k=1}^N e^{2\pi i k\alpha}$$

где $\alpha=(\overline m,\overline x)$. Но $\alpha\ne0$ в $S^1$ в силу линейной независимости $x_1,\ldots,x_n$, поэтому сумма есть $O(1)$. Постоянная в последнем $O()$ зависит от $\overline m$, но, во всяком случае, таких сумм конечное число. Поэтому

$$\sum_{(M)} b(\overline m)\sum_{k=1}^N e^{2\pi i(\overline m,k\overline x)}=b(\overline 0) N+ O(1)=\delta^nN+O(1). $$

Отсюда видно, что $|\delta^n N+ O(1)|\leq \varepsilon N$, чего при $\varepsilon < 1/(2\delta^n)$ не может быть. $\square$