2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: иррациональная обмотка n-мерного тора
Сообщение23.02.2019, 07:43 
Заслуженный участник


13/12/05
3907
Всем спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: иррациональная обмотка n-мерного тора
Сообщение23.02.2019, 10:28 
Аватара пользователя


31/08/17
1873
demolishka в сообщении #1377863 писал(а):
Только вот из совпадения временных и пространственных средних для непрерывных функций не следует совпадения для функций из $L^{1}$, а Ваше доказательство там существенно это использует


из чего вытекает, что доказательства вы существенно не поняли :)

 Профиль  
                  
 
 Re: иррациональная обмотка n-мерного тора
Сообщение24.02.2019, 21:58 
Заслуженный участник


18/01/15
1966
Действительно, в книге Арнольда есть доказательство. Но оно там в середине, и, как обычно у Арнольда, труднопонимаемо. Приведу доказательство, использующее обычный матан (но следующее той же основной идее; есть и основанные на других идеях).

Пусть $a\in{\mathbb R}$, $0<\delta\leq1/2$. Рассмотрим функцию $$\varphi_{\delta,a}(x)=\begin{cases} 1-(x-a-n)/\delta\, & \text{если $a+n\leq x\leq a+n+\delta$;} \\ 1+(x-a-n)/\delta\, & \text{если $a+n-\delta\leq x\leq a+n$;} \\ 0 & \text{ в остальных случаях.} \end{cases} $$ т.е. $\varphi_{\delta,a}$ --- кусочно-линейная, и периодическая с периодом $1$. В точках $a+n$ ($n\in{\mathbb Z}$) равна $1$, $a+n\pm\delta$ --- нулю.

Пусть $\sum_{n\in{\mathbb Z}} b_ne^{2\pi i xn}$ --- ее ряд Фурье. Поскольку $\varphi_{\delta, a}$ удовлетворяет условию Дини равномерно на ${\mathbb R}$, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Ясно, что мы можем рассматривать ее как функцию на окружности $S^1={\mathbb R}/{\mathbb Z}$. При этом $$b_0=\int_0^1 \varphi_{\delta, a}(x)\,dx=\int_{S^1} \varphi_{\delta, a}(x)\,dx =\delta.$$
Теперь пусть $T^n=(S^1)^n={\mathbb R}^n/{\mathbb Z}^n$. Для произвольных $\overline a=(a_1,\ldots,a_n)$, $\overline\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ можно рассмотреть функцию $$ \varphi_{\overline{\delta}, \overline{a}}(x_1,\ldots,x_n)=\varphi_{\delta_1, a_1}(x_1) \ldots \varphi_{\delta_n, a_n}(x_n). $$
Перемножая ряды Фурье (и их отрезки) для $\varphi_{\delta_i, a_i}$, видим, что ряд Фурье для $\varphi_{\overline{\delta},\overline{a}}$ равномерно сходится к ней на $T^n$. Следовательно, верно
Предложение. Для любых $\overline a$, $\overline\delta$, и $\varepsilon>0$ существуют $M\geq0$ и числа $b(\overline m)\in{\mathbb C}$, где $\overline m$ пробегает мультииндексы, подчиненные условию $-M\leq m_1,\ldots,m_n\leq M$, такие, что $$\left|\varphi_{\overline{\delta}, \overline{a}}(\overline x)-\sum_{(M)} 
b(\overline m)e^{2\pi i(\overline m,\overline x)}\right| <\varepsilon $$ всюду на $T^n$. Здесь $(\overline m,\overline x)=m_1x_1+\ldots+m_nx_n$. При этом $b(\overline 0)=\delta_1\ldots\delta_n$. $\square$
( Здесь и ниже $\sum_{(M)}$ означает сумму по мультииндексам, подчиненнным указанным условиям. )

-- 24.02.2019, 21:06 --

Затем нам понадобится
Лемма. $$ \sum_{n=N_1}^{N_2} e^{2\pi ixn} =O(\frac1{((x))}), $$ где $((x))$ есть расстояние до ближайшего целого числа.

Доказательство следует из соотношения $$\sum_{n=0}^N e^{2\pi inx}=\frac{e^{2\pi i(N+1)x}-1}{e^{2\pi ix}-1}\,. $$

Теорема. Пусть $\overline x=(x_1,\ldots,x_n)\in T^n$, где $x_i\in S^1$ и линейно независимы над ${\mathbb Z}$. Тогда множество $\{k\overline x\mid k\in {\mathbb N}\}$ всюду плотно в $T^n$.

Доказательство. Допустим противное. Тогда существует точка $\overline a=(a_1,\ldots,a_n)$, некоторая окрестность которой не содержит точек вида $k\overline x$. Следовательно, для некоторого $\delta$ имеем $\varphi_{\overline\delta, \overline a}(k\overline x)=0$, для любого $k\in{\mathbb N}$, где $\overline\delta=(\delta,\ldots,\delta)$.

Возьмем $\varepsilon < 1/(2\delta^n)$. Пусть $$ r_M(\overline x)=\varphi_{\overline\delta, \overline a}(k\overline x)-
\sum_{(M)} b(\overline m)e^{2\pi i(\overline m,\overline x)}\,, $$ где $\overline m=(m_1,\ldots,m_n)$, $b(\overline m)$ --- коэффициенты Фурье для $\varphi_{\overline\delta, \overline a}$. Существует $M$такое, что $|r_M(\overline x)|<\varepsilon$ $\forall\overline x\in T^n$.

Рассмотрим сумму $\sum_{k=1}^N \varphi_{\overline\delta, \overline a} (k\overline x)$. Это нуль. Значит
$$\sum_{(M)} b(\overline m) \sum_{k=1}^N e^{2\pi i(\overline m,k\overline x)}$$
по модулю не превосходит $\varepsilon N$.
Рассмотрим внутреннюю сумму для каждого $\overline m$. При $\overline m=\overline 0$ это, естественно, $N$. При $\overline m\ne\overline 0$ это
$$ \sum_{k=1}^N e^{2\pi i k(\overline m,\overline x)}=\sum_{k=1}^N e^{2\pi i k\alpha}$$
где $\alpha=(\overline m,\overline x)$. Но $\alpha\ne0$ в $S^1$ в силу линейной независимости $x_1,\ldots,x_n$, поэтому сумма есть $O(1)$. Постоянная в последнем $O()$ зависит от $\overline m$, но, во всяком случае, таких сумм конечное число. Поэтому
$$\sum_{(M)} b(\overline m)\sum_{k=1}^N e^{2\pi i(\overline m,k\overline x)}=b(\overline 0) N+ O(1)=\delta^nN+O(1). $$
Отсюда видно, что $|\delta^n N+ O(1)|\leq \varepsilon N$, чего при $\varepsilon < 1/(2\delta^n)$ не может быть. $\square$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group